In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum .
Definition Bearbeiten
Im Folgenden bezeichne den Linksshift
und die Folge, die nur aus Einsen besteht.
Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional , das die folgenden Eigenschaften besitzt:
- für alle gilt
- falls für alle , so ist auch
Eigenschaften Bearbeiten
Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen definiert ist, nach fortsetzt:
Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist
Aufgrund der Linearität von und der Invarianz unter ist der Banachgrenzwert von gleich .
Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus , das nicht von der Gestalt
ist.
Literatur Bearbeiten
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 126.