www.wikidata.de-de.nina.az

Banach Mannigfaltigkeit Eine ist ein topologischer Raum X displaystyle X in dem es für jeden Punkt x X displaystyle x in

Banach-Mannigfaltigkeit

Eine Banach-Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum , in dem es für jeden Punkt eine Umgebung gibt, die homöomorph zu einem Banachraum ist.

Definition Bearbeiten

Die Definition einer Banach-Mannigfaltigkeit unterscheidet sich nur insofern von der einer Mannigfaltigkeit, als dass die Karten

Bilder in einem (möglicherweise unendlichdimensionalen) Banachraum haben und die verkette Abbildung

r-mal differenzierbar ist und daher die r-te Fréchet-Ableitung

existiert und eine stetige Funktion in Bezug auf die -Normtopologie auf Teilmengen von und der Operatornorm-Topologie auf ist.

Beispiele Bearbeiten

Wenn ein Banachraum ist, so ist eine Banach-Mannigfaltigkeit, deren Atlas eine einzige Karte beinhaltet, die global definiert ist. Ebenso ist eine offene Teilmenge eines Banachraumes eine Banach-Mannigfaltigkeit.

Klassifizierungen und Homöomorphismen Bearbeiten

Obwohl eine endlichdimensionale -dimensionale Mannigfaltigkeit nicht global homöomorph zum oder einer Teilmenge dieser ist, lassen sich in einem unendlichdimensionalen Rahmen einige Banach-Mannigfaltigkeiten bis auf Homöomorphie klassifizieren. Der Mathematiker David Henderson hat 1969 bewiesen, dass jede unendlichdimensionale, separable, metrische Banach-Mannigfaltigkeit als eine offene Teilmenge in den unendlichdimensionalen, separablen Hilbertraum eingebettet werden kann. Das Ergebnis ist eine noch allgemeinere Aussage, die lautet, dass dies für jede metrische Mannigfaltigkeit gilt, die durch Karten in einem separablen Fréchet-Raum definiert ist.

Banach-Bündel Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Banach-Mannigfaltigkeit der Klasse mit , welche den Basisraum darstellt, ein topologischer Raum als Totalraum und eine Abbildung . Die Faser habe die Struktur eines Banachraumes.

Sei eine offene Überdeckung von . Es gebe für jedes einen Banachraum und eine Abbildung

sodass

  • die Abbildung ein Homöomorphismus ist, welcher mit der Projektion zu kommutiert und für alle die induzierte Abbildung auf der Faser

eine stetige, invertierbare Abbildung und demzufolge ein Isomorphismus in die Kategorie der topologischen Vektorräume ist (im Rahmen einer üblichen Definition eines Faserbündels entspricht dies einer Übergangsfunktion).

  • Wenn und zwei Glieder der offenen Überdeckung sind, dann ist die Abbildung

ein Morphismus. ist hierbei die Menge der stetigen linearen Abbildungen zwischen zwei topologischen Vektorräumen und .

Die Familie heißt triviale Überdeckung für und die Abbildungen werden lokale Trivialisierung genannt. Diese Daten bestimmen eine Faserbündelstruktur auf der Banach-Mannigfaltigkeit .

Literatur Bearbeiten

  • Eberhard Zeidler: Nonlinear functional analysis and its Applications. Vol.4. Springer-Verlag New York Inc., 1997.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. David Henderson: Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space. Bull. Amer. Math. Soc. 75, 759–762 (1969).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine Banach Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum X displaystyle X in dem es fur jeden Punkt x X displaystyle x in X eine Umgebung gibt die homoomorph zu einem Banachraum ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Klassifizierungen und Homoomorphismen 4 Banach Bundel 4 1 Definition 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Definition einer Banach Mannigfaltigkeit unterscheidet sich nur insofern von der einer Mannigfaltigkeit als dass die Karten f i U i f i U i E i displaystyle varphi i colon U i to varphi i U i subset E i nbsp Bilder in einem moglicherweise unendlichdimensionalen Banachraum E i displaystyle E i nbsp haben und die verkette Abbildung f j f i 1 f i U i U j f j U i U j displaystyle varphi j circ varphi i 1 colon varphi i U i cap U j to varphi j U i cap U j nbsp r mal differenzierbar ist und daher die r te Frechet Ableitung d r f j f i 1 f i U i U j Lin E i r E j displaystyle mathrm d r big varphi j circ varphi i 1 big colon varphi i U i cap U j to operatorname Lin big E i r E j big nbsp existiert und eine stetige Funktion in Bezug auf die E i displaystyle E i nbsp Normtopologie auf Teilmengen von E i displaystyle E i nbsp und der Operatornorm Topologie auf Lin E i r E j displaystyle operatorname Lin big E i r E j big nbsp ist Beispiele BearbeitenWenn X displaystyle X left cdot right nbsp ein Banachraum ist so ist X displaystyle X nbsp eine Banach Mannigfaltigkeit deren Atlas eine einzige Karte beinhaltet die global definiert ist Ebenso ist eine offene Teilmenge U displaystyle U nbsp eines Banachraumes eine Banach Mannigfaltigkeit Klassifizierungen und Homoomorphismen BearbeitenObwohl eine endlichdimensionale n displaystyle n nbsp dimensionale Mannigfaltigkeit nicht global homoomorph zum R n displaystyle mathbb R n nbsp oder einer Teilmenge dieser ist lassen sich in einem unendlichdimensionalen Rahmen einige Banach Mannigfaltigkeiten bis auf Homoomorphie klassifizieren Der Mathematiker David Henderson hat 1969 bewiesen dass jede unendlichdimensionale separable metrische Banach Mannigfaltigkeit als eine offene Teilmenge in den unendlichdimensionalen separablen Hilbertraum eingebettet werden kann Das Ergebnis ist eine noch allgemeinere Aussage die lautet dass dies fur jede metrische Mannigfaltigkeit gilt die durch Karten in einem separablen Frechet Raum definiert ist 1 Banach Bundel BearbeitenDefinition Bearbeiten Gegeben sei eine Banach Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp der Klasse C p displaystyle C p nbsp mit p 0 displaystyle p geq 0 nbsp welche den Basisraum darstellt ein topologischer Raum E displaystyle E nbsp als Totalraum und eine Abbildung p E M displaystyle pi E rightarrow M nbsp Die Faser p 1 x E X displaystyle pi 1 x E text X nbsp habe die Struktur eines Banachraumes Sei U i i I displaystyle U i i in I nbsp eine offene Uberdeckung von M displaystyle M nbsp Es gebe fur jedes i I displaystyle i in I nbsp einen Banachraum X i displaystyle X i nbsp und eine Abbildung t i displaystyle tau i nbsp t i p 1 U i U i X i displaystyle tau i pi 1 U i to U i times X i nbsp sodass die Abbildung t i displaystyle tau i nbsp ein Homoomorphismus ist welcher mit der Projektion zu U i displaystyle U i nbsp kommutiert und fur alle x U i displaystyle x in U i nbsp die induzierte Abbildung t i x displaystyle tau ix nbsp auf der Faser E X displaystyle E X nbsp t i x p 1 x X i displaystyle tau ix pi 1 x to X i nbsp eine stetige invertierbare Abbildung und demzufolge ein Isomorphismus in die Kategorie der topologischen Vektorraume ist im Rahmen einer ublichen Definition eines Faserbundels entspricht dies einer Ubergangsfunktion Wenn U i displaystyle U i nbsp und U j displaystyle U j nbsp zwei Glieder der offenen Uberdeckung sind dann ist die AbbildungU i U j L i n X i X j displaystyle U i cap U j to mathrm Lin X i X j nbsp x t j t i 1 x displaystyle x mapsto tau j circ tau i 1 x nbsp dd ein Morphismus L i n X Y displaystyle Lin X Y nbsp ist hierbei die Menge der stetigen linearen Abbildungen zwischen zwei topologischen Vektorraumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Die Familie U i t i i I displaystyle U i tau i i in I nbsp heisst triviale Uberdeckung fur p E M displaystyle pi E rightarrow M nbsp und die Abbildungen t i displaystyle tau i nbsp werden lokale Trivialisierung genannt Diese Daten bestimmen eine Faserbundelstruktur auf der Banach Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp Literatur BearbeitenEberhard Zeidler Nonlinear functional analysis and its Applications Vol 4 Springer Verlag New York Inc 1997 Einzelnachweise Bearbeiten David Henderson Infinite dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space Bull Amer Math Soc 75 759 762 1969 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Banach Mannigfaltigkeit amp oldid 203778537