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Auflösung Blockplan Eine Auflösung 1 eines 2 Blockplanes einer speziellen Inzidenzstruktur ist in der endlichen Geometri

Auflösung (Blockplan)

Eine Auflösung eines 2-Blockplanes (einer speziellen Inzidenzstruktur) ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der d-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer affinen Geometrie in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt auflösbarer Blockplan, zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen-Scharen, dann spricht man von einer starken Auflösung und nennt den Blockplan stark auflösbar.

Definitionen Bearbeiten

  • Sei ein -Blockplan. Eine Auflösung von ist eine Partition der Blockmenge von in Scharen , so dass es positive ganze Zahlen gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in auf genau Blöcken von liegt. Die Zahlen heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich , so spricht man von einer -Auflösung.
  • Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. -auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine -Auflösung besitzt.
  • Ist ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt , dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
  • Sind zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse , dann schreibt man auch und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
  • Für eine Auflösung setzt man für die Anzahl der Blöcke in der Schar .

Eigenschaften Bearbeiten

Sei ein -Blockplan, der eine Auflösung mit den Parametern besitzt. Dann gilt

  3. Besitzt eine -Auflösung, so ist k ein Teiler von und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.
  • Ist ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist . Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge von größtmöglichen Anzahl an Scharen.

Satz von Hughes und Piper über starke Auflösungen Bearbeiten

  • Der folgende Satz von Hughes und Piper charakterisiert die starken Auflösungen:

Satz von Beker über auflösbare 3-Blockpläne Bearbeiten

  • Der Satz von Beker klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:

Beispiele Bearbeiten

  • Jeder Blockplan besitzt die triviale Auflösung , d. h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. – Die Zahl gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
  • Ist eine Auflösung von , dann erhält man wieder eine Auflösung von , wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind und wieder Auflösungen von .
  • Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt , die innere Schnittzahl ist dann , die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

Verallgemeinerung: Taktische Zerlegung Bearbeiten

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Literatur Bearbeiten

Artikel zu Einzelfragen

  • Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: On resolutions and Bose’s theorem. In: Geom. Dedicata. Band 5, 1976, S. 129–133, doi:10.1007/BF00148147.
  • Henry Beker: On strong tactical decompositions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 16, 1977, S. 191–196 (Abstract [abgerufen am 2. Mai 2013]).

Lehrbücher

  • Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich / New York 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen, S. 196–240.
  • Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1986, ISBN 0-521-33334-2.
  • D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973 (Hier wird die Auflösbarkeit nur für die Spezialfälle der affinen Geometrien definiert und untersucht.).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Beutelspacher (1982)
  2. Beutelspacher (1982), Lemma 5.1.1
  3. Beutelspacher (1982), Korollar 5.1.2
  4. Hughes, Piper (1976); Beutelspacher (1982), Hauptsatz 5.1.9
  5. Beker (1977)
  6. Beutelspacher (1982), Satz 5.1.10
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Auflosung 1 eines 2 Blockplanes einer speziellen Inzidenzstruktur ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplanen So ist die Partition der Menge der d dimensionalen Unterraume als Blocke einer affinen Geometrie A G d n q displaystyle AG d n q in Parallelenscharen eine 1 Auflosung dieser Geometrie als 2 Blockplan Ein Blockplan der eine Auflosung zulasst heisst auflosbarer Blockplan 1 zerfallt bei dieser Auflosung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen Scharen dann spricht man von einer starken Auflosung 1 und nennt den Blockplan stark auflosbar 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Eigenschaften 2 1 Satz von Hughes und Piper uber starke Auflosungen 2 2 Satz von Beker uber auflosbare 3 Blockplane 3 Beispiele 4 Verallgemeinerung Taktische Zerlegung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSei I p B I displaystyle mathcal I mathfrak p mathfrak B I nbsp ein 2 v k l displaystyle 2 v k lambda nbsp Blockplan Eine Auflosung von I displaystyle mathcal I nbsp ist eine Partition der Blockmenge B displaystyle mathfrak B nbsp von I displaystyle mathcal I nbsp in Scharen B 1 B c displaystyle mathfrak B 1 ldots mathfrak B c nbsp so dass es positive ganze Zahlen r 1 r c displaystyle rho 1 ldots rho c nbsp gibt mit der Eigenschaft dass jeder Punkt in p displaystyle mathfrak p nbsp auf genau r i displaystyle rho i nbsp Blocken von B i displaystyle mathfrak B i nbsp liegt Die Zahlen r 1 r c displaystyle rho 1 ldots rho c nbsp heissen die Parameter der Auflosung Sind alle Parameter einer Auflosung gleich r displaystyle rho nbsp so spricht man von einer r displaystyle rho nbsp Auflosung Ein Blockplan heisst auflosbar bzw r displaystyle rho nbsp auflosbar wenn er eine Auflosung bzw eine r displaystyle rho nbsp Auflosung besitzt Ist I displaystyle mathcal I nbsp ein auflosbarer Blockplan mit c Klassen und gilt b 1 v c displaystyle b 1 v c nbsp dann wird diese Auflosung starke Auflosung des Blockplanes und der Blockplan stark auflosbar genannt Sind B C B i displaystyle B C in mathfrak B i nbsp zwei Blocke eines auflosbaren Blockplanes in derselben Klasse B i displaystyle mathfrak B i nbsp dann schreibt man auch B C displaystyle B parallel C nbsp und nennt die Blocke parallel bezuglich der Auflosung Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Aquivalenzrelation auf der Menge der Blocke Fur eine Auflosung B 1 B c displaystyle mathfrak B 1 ldots mathfrak B c nbsp setzt man m i B i 1 i c displaystyle m i mathfrak B i 1 leq i leq c nbsp fur die Anzahl der Blocke in der Schar B i displaystyle mathfrak B i nbsp Eigenschaften BearbeitenSei I p B I displaystyle mathcal I mathfrak p mathfrak B I nbsp ein 2 v k l displaystyle 2 v k lambda nbsp Blockplan der eine Auflosung B 1 B c displaystyle mathfrak B 1 ldots mathfrak B c nbsp mit den Parametern r 1 r c displaystyle rho 1 ldots rho c nbsp besitzt Dann gilt 2 m i k v r i 1 i c displaystyle m i cdot k v cdot rho i quad 1 leq i leq c nbsp r 1 r c r m 1 m c b displaystyle rho 1 cdots rho c r quad m 1 cdots m c b nbsp Besitzt I displaystyle mathcal I nbsp eine r displaystyle rho nbsp Auflosung so ist k ein Teiler von v r displaystyle v cdot rho nbsp und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blocken Ist I displaystyle mathcal I nbsp ein auflosbarer Blockplan mit c Klassen dann ist b 1 v c displaystyle b 1 geq v c nbsp 3 Eine starke Auflosung ist also eine Auflosung mit der fur die Blockmenge B displaystyle mathfrak B nbsp von I displaystyle mathcal I nbsp grosstmoglichen Anzahl an Scharen Satz von Hughes und Piper uber starke Auflosungen Bearbeiten Der folgende Satz von Hughes und Piper 4 charakterisiert die starken Auflosungen Sei I p B I displaystyle mathcal I mathfrak p mathfrak B I nbsp ein 2 v k l displaystyle 2 v k lambda nbsp Blockplan mit b Blocken der eine Auflosung B 1 B c displaystyle mathfrak B 1 ldots mathfrak B c nbsp besitzt Dann gilt b 1 v c displaystyle b 1 geq v c nbsp und Gleichheit genau dann wenn es zwei nichtnegative Zahlen m I displaystyle mu I nbsp innere Schnittzahl und m A displaystyle mu A nbsp aussere Schnittzahl mit folgenden Eigenschaften gibt Je zwei verschiedene Blocke derselben Klasse haben stets genau m I displaystyle mu I nbsp Schnittpunkte und je zwei Blocke aus verschiedenen Klassen haben stets genau m A displaystyle mu A nbsp Schnittpunkte dd Satz von Beker uber auflosbare 3 Blockplane Bearbeiten Der Satz von Beker 5 klart die Frage wann ein stark auflosbarer Blockplan ein 3 Blockplan ist Die stark auflosbaren 3 Blockplane sind genau die Hadamard 3 Blockplane 6 dd Beispiele BearbeitenJeder Blockplan I p B I displaystyle mathcal I mathfrak p mathfrak B I nbsp besitzt die triviale Auflosung B displaystyle mathfrak B nbsp d h jeder Blockplan ist r auflosbar Die Zahl r b 1 displaystyle r b 1 nbsp gibt bei einem Blockplan an mit wie vielen Blocken ein beliebiger Punkt inzidiert Ist B 1 B c displaystyle mathfrak B 1 ldots mathfrak B c nbsp eine Auflosung von I displaystyle mathcal I nbsp dann erhalt man wieder eine Auflosung von I displaystyle mathcal I nbsp wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt Zum Beispiel sind B 1 B 2 B c displaystyle mathfrak B 1 cup mathfrak B 2 ldots mathfrak B c nbsp und B 1 B c 1 B c displaystyle mathfrak B 1 cup ldots cup mathfrak B c 1 mathfrak B c nbsp wieder Auflosungen von I displaystyle mathcal I nbsp Ein Blockplan ist genau dann 1 auflosbar wenn er einen Parallelismus besitzt Die Auflosung B 1 B c displaystyle mathfrak B 1 ldots mathfrak B c nbsp ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt c r b 1 displaystyle c r b 1 nbsp die innere Schnittzahl ist dann m I 0 displaystyle mu I 0 nbsp die aussere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein Speziell ist eine affine Geometrie A G d n q displaystyle AG d n q nbsp mit ihrem gewohnlichen Parallelismus 1 auflosbar und es gilt dann m i b r displaystyle m i b r nbsp das heisst die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich die aussere Schnittzahl ist konstant falls d n 1 displaystyle d n 1 nbsp also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1 auflosbar auch hier ist m i b r displaystyle m i b r nbsp fur jede Parallelenschar gleich Verallgemeinerung Taktische Zerlegung BearbeitenJede Auflosung eines 2 Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes Auflosung eines Blockplanes wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in verallgemeinerte Parallelen Scharen auch die Punktmenge in mehrere Punktklassen zerlegt Literatur BearbeitenArtikel zu Einzelfragen Daniel R Hughes Fred C Piper On resolutions and Bose s theorem In Geom Dedicata Band 5 1976 S 129 133 doi 10 1007 BF00148147 Henry Beker On strong tactical decompositions In Journal of the London Mathematical Society Band 16 1977 S 191 196 Abstract abgerufen am 2 Mai 2013 Lehrbucher Albrecht Beutelspacher Einfuhrung in die endliche Geometrie I Blockplane Bibliographisches Institut Mannheim Wien Zurich New York 1982 ISBN 3 411 01632 9 Kapitel 5 Auflosungen und Zerlegungen S 196 240 Thomas Beth Dieter Jungnickel Hanfried Lenz Design Theory BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1986 ISBN 0 521 33334 2 D R Hughes F C Piper Projective planes Springer Berlin Heidelberg New York 1973 Hier wird die Auflosbarkeit nur fur die Spezialfalle der affinen Geometrien definiert und untersucht Einzelnachweise Bearbeiten a b c d Beutelspacher 1982 Beutelspacher 1982 Lemma 5 1 1 Beutelspacher 1982 Korollar 5 1 2 Hughes Piper 1976 Beutelspacher 1982 Hauptsatz 5 1 9 Beker 1977 Beutelspacher 1982 Satz 5 1 10 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Auflosung Blockplan amp oldid 239457125