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Alternierende Reihe Euler Eulers alternierende Reihen sind ein mathematisches Paradoxon Sie befassen sich mit divergente

Alternierende Reihe (Euler)

Eulers alternierende Reihen sind ein mathematisches Paradoxon. Sie befassen sich mit divergenten Reihen, die scheinbar konvergent sind. Des Weiteren stellte Leonhard Euler dabei eine Beziehung zwischen den alternierenden Reihen potenzierter natürlicher Zahlen und denen der potenzierten Reziproken natürlicher Zahlen auf. Eine Erklärung des Paradoxons liegt in der Umordnung von Reihen.

Die Reihe alternierender natürlicher Zahlen Bearbeiten

Wenn man die Reihe

mit den Partialsummen

betrachtet, stellt man fest, dass diese divergiert, da die Partialsummen eine Folge der nach dem Betrag sortierten ganzen Zahlen (1, -1, 2, -2, 3, -3, …) bilden. Außerdem konvergiert eine Reihe erst dann, wenn mindestens die Folge der Summanden eine Nullfolge darstellt.

Die folgende Umordnung ist daher nicht legitim, da nur das Umordnen absolut konvergenter Reihen keinen Einfluss auf die Summe der Reihe hat. In einigen Fällen reicht eine einfache Konvergenz.

Da aber die moderne Analysis und damit auch der Begriff der Konvergenz erst durch Leonhard Euler und Augustin Louis Cauchy praktiziert wurde, ist diese Herleitung ein Abbild dessen, was damals als unerklärbar paradox galt.

Sei nun . Dann ist

und damit gilt

Cauchy-Produkt Bearbeiten

Eine ebenso paradoxe Gleichung erzeugt die Grandi-Reihe

für die bei einer ähnlich eleganten Umordnung gilt.
Entfernt man sich von der üblichen Definition einer Summe und stellt sich die Frage „Was sollte das Ergebnis dieser sein?“, erhält man zwei mögliche Ergebnisse:

Natürlich ist es nach heutigem Verständnis ad absurdum zu führen, wenn man zeigt, dass

Das Cauchyprodukt der Grandi-Reihe mit sich selbst, erzeugt jedoch überraschend das explizit dargestellte Folgeglied

Die Reihe über cn ist dann folglich

Eulers Potenzreihen Bearbeiten

In Bemerkungen zu einer schönen Beziehung zwischen echten und reziproken Potenzreihen widmete Leonhard Euler seine ganze Aufmerksamkeit den beiden Reihen

wobei beliebig zu wählen sind.

Die echte Potenzreihe Bearbeiten

Euler versucht in seinen Bemerkungen die Reihen nicht als Summen zu betrachten, sondern sie eher einem analytisch identischen Ausdruck gleichzusetzen. Dabei helfen sie bei der Herleitung höherer Potenzen. Dass die Ausdrücke tatsächlich nur bedingt identisch sind, wurde erst später klar.

Er beginnt mit der Relation (3),
die man problemlos über eine Taylor-Entwicklung um xo=0 oder durch schriftliche Division erhält.
Für x=1 ergibt sich daher die Grandi-Reihe mit ihrem paradoxen Ergebnis.

Er führt des Weiteren folgende rekursive Bildungsvorschrift an, um die höheren Potenzen zu ermitteln


erschließen lassen.

Für P1(1) ergibt sich dementsprechend die oben angeführte alternierende Reihe der ganzen Zahlen und für Pm(1) die Reihe (1).


Erklärungsversuche Bearbeiten

Wie bereits oben erwähnt, ist eine Umordnung mindestens für geeignete konvergente Reihen, höchstens aber für absolut konvergente Reihen zulässig.

Der Hauptgrund liegt jedoch in Gleichung (3). Denn nur für wäre eine Gleichheit gegeben, die aber nie erreicht werden kann, da Unendlich unerreichbar ist.

Hinzu kommt, dass man bei einer Entwicklung von irgendwann zu einem Abbruch gezwungen wird, sodass immer ein Restterm übrig bleibt, der die Gleichheit stört.

Dieses Problem kann man nur umgehen, wenn man die Reihe nur für betrachtet, da dann für entsprechend kleine Beträge von x oder für entsprechend große n der Restterm gegen Null strebt.

Daher ist es lediglich möglich den Grenzwert zu betrachten.

Literatur Bearbeiten

  • Leonhard Euler: Translation with notes of Euler’s paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. Hrsg.: The Euler Archive. E352, 2006 (englisch, math.dartmouth.edu [PDF; 337 kB; abgerufen am 28. September 2016] französisch: Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques. Übersetzt von Lucas Willis, Thomas J Osler, – zuerst in: Memoires de l’academie des sciences de Berlin, 17, S. 83–106).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. jstor.org
  2. Leonhard Euler: Translation with notes of Euler’s paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. Hrsg.: The Euler Archive. E352, 2006 (englisch, math.dartmouth.edu [PDF; 337 kB; abgerufen am 28. September 2016] französisch: Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques. Übersetzt von Lucas Willis, Thomas J Osler, Memoires de l’academie des sciences de Berlin, 17, S. 83–106).
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Veröffentlichungsdatum:
Eulers alternierende Reihen sind ein mathematisches Paradoxon Sie befassen sich mit divergenten Reihen die scheinbar konvergent sind Des Weiteren stellte Leonhard Euler dabei eine Beziehung zwischen den alternierenden Reihen potenzierter naturlicher Zahlen und denen der potenzierten Reziproken naturlicher Zahlen auf Eine Erklarung des Paradoxons liegt in der Umordnung von Reihen Inhaltsverzeichnis 1 Die Reihe alternierender naturlicher Zahlen 1 1 Cauchy Produkt 2 Eulers Potenzreihen 2 1 Die echte Potenzreihe 3 Erklarungsversuche 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDie Reihe alternierender naturlicher Zahlen BearbeitenWenn man die Reihe k 0 1 k k 1 1 2 3 4 displaystyle sum k 0 infty 1 k k 1 1 2 3 4 ldots nbsp mit den Partialsummen s n k 0 n 1 k k 1 1 2 3 4 1 n n 1 displaystyle s n sum k 0 n 1 k k 1 1 2 3 4 ldots 1 n cdot n 1 nbsp betrachtet stellt man fest dass diese divergiert da die Partialsummen eine Folge der nach dem Betrag sortierten ganzen Zahlen 1 1 2 2 3 3 bilden Ausserdem konvergiert eine Reihe erst dann wenn mindestens die Folge der Summanden eine Nullfolge darstellt Die folgende Umordnung ist daher nicht legitim da nur das Umordnen absolut konvergenter Reihen keinen Einfluss auf die Summe der Reihe hat In einigen Fallen reicht eine einfache Konvergenz Da aber die moderne Analysis und damit auch der Begriff der Konvergenz erst durch Leonhard Euler und Augustin Louis Cauchy praktiziert wurde ist diese Herleitung ein Abbild dessen was damals als unerklarbar paradox galt Sei nun s lim n s n displaystyle s lim n to infty s n nbsp Dann ist 4 s 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 1 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 5 6 1 0 0 0 0 4 s 1 displaystyle begin array rclllll 4s amp amp amp 1 2 3 4 cdots amp 1 2 3 4 cdots amp 1 2 3 4 cdots amp 1 2 3 4 cdots amp amp amp 1 2 3 4 cdots amp 1 2 3 4 5 cdots amp 1 2 3 4 5 cdots amp 1 3 4 5 6 cdots amp amp 1 amp 1 2 2 3 amp 2 3 3 4 amp 3 4 4 5 amp 4 5 5 6 cdots amp amp 1 amp 0 0 0 0 cdots 4s amp amp 1 end array nbsp und damit gilt 1 2 3 4 1 4 displaystyle 1 2 3 4 cdots frac 1 4 nbsp Cauchy Produkt Bearbeiten Eine ebenso paradoxe Gleichung erzeugt die Grandi Reihe 1 e n k 0 n 1 k 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 displaystyle e n sum k 0 n 1 k 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 nbsp fur die bei einer ahnlich eleganten Umordnung lim n e n 1 2 displaystyle lim n to infty e n frac 1 2 nbsp gilt Entfernt man sich von der ublichen Definition einer Summe und stellt sich die Frage Was sollte das Ergebnis dieser sein erhalt man zwei mogliche Ergebnisse 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 und 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 Naturlich ist es nach heutigem Verstandnis ad absurdum zu fuhren wenn man zeigt dass S 1 1 1 1 also 1 S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ist Das Cauchyprodukt der Grandi Reihe mit sich selbst erzeugt jedoch uberraschend das explizit dargestellte Folgeglied c n k 0 n a k b n k k 0 n 1 k 1 n k k 0 n 1 n 1 n n 1 displaystyle begin array rcl c n amp amp displaystyle sum k 0 n a k b n k sum k 0 n 1 k 1 n k 1em amp amp displaystyle sum k 0 n 1 n 1 n n 1 end array nbsp Die Reihe uber cn ist dann folglich n 0 1 n n 1 1 2 3 4 displaystyle sum n 0 infty 1 n n 1 1 2 3 4 cdots nbsp Eulers Potenzreihen BearbeitenIn Bemerkungen zu einer schonen Beziehung zwischen echten und reziproken Potenzreihen 2 widmete Leonhard Euler seine ganze Aufmerksamkeit den beiden Reihen k 0 k 1 m 1 k 1 2 m 3 m 4 m displaystyle sum k 0 infty k 1 m 1 k 1 2 m 3 m 4 m cdots nbsp 1 k 0 1 k 1 n 1 k 1 1 2 n 1 3 n 1 4 n displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 1 n 1 k 1 frac 1 2 n frac 1 3 n frac 1 4 n cdots nbsp 2 wobei m n N displaystyle m n in mathbb N nbsp beliebig zu wahlen sind Die echte Potenzreihe Bearbeiten Euler versucht in seinen Bemerkungen die Reihen nicht als Summen zu betrachten sondern sie eher einem analytisch identischen Ausdruck gleichzusetzen Dabei helfen sie bei der Herleitung hoherer Potenzen Dass die Ausdrucke tatsachlich nur bedingt identisch sind wurde erst spater klar Er beginnt mit der Relation P 0 x 1 1 x 1 x x 2 x 3 k 0 1 k x k displaystyle P 0 x frac 1 1 x 1 x x 2 x 3 cdots sum k 0 infty 1 k cdot x k nbsp 3 die man problemlos uber eine Taylor Entwicklung um xo 0 oder durch schriftliche Division erhalt Fur x 1 ergibt sich daher die Grandi Reihe mit ihrem paradoxen Ergebnis Er fuhrt des Weiteren folgende rekursive Bildungsvorschrift an um die hoheren Potenzen zu ermitteln P n 1 x d d x x P n x displaystyle P n 1 x frac mathrm d mathrm d x left x cdot P n x right nbsp woraus sichP 1 x 1 2 x 3 x 2 4 x 3 1 1 x 2 P 2 x 1 2 2 x 3 2 x 2 4 2 x 3 1 x 1 x 3 P 3 x 1 2 3 x 3 3 x 2 4 3 x 3 1 4 x x 2 1 x 4 P 4 x 1 2 4 x 3 4 x 2 4 4 x 3 1 11 x 11 x 2 x 3 1 x 5 P 5 x 1 2 5 x 3 5 x 2 4 5 x 3 1 26 x 66 x 2 26 x 3 x 4 1 x 6 P 6 x 1 2 6 x 3 6 x 2 4 6 x 3 1 57 x 302 x 2 302 x 3 57 x 4 x 5 1 x 7 P m x 1 2 m x 3 m x 2 4 m x 3 displaystyle begin aligned P 1 x amp 1 2 cdot x 3 cdot x 2 4 cdot x 3 cdots amp amp frac 1 1 x 2 P 2 x amp 1 2 2 cdot x 3 2 cdot x 2 4 2 cdot x 3 cdots amp amp frac 1 x 1 x 3 P 3 x amp 1 2 3 cdot x 3 3 cdot x 2 4 3 cdot x 3 cdots amp amp frac 1 4x x 2 1 x 4 P 4 x amp 1 2 4 cdot x 3 4 cdot x 2 4 4 cdot x 3 cdots amp amp frac 1 11x 11x 2 x 3 1 x 5 P 5 x amp 1 2 5 cdot x 3 5 cdot x 2 4 5 cdot x 3 cdots amp amp frac 1 26x 66x 2 26x 3 x 4 1 x 6 P 6 x amp 1 2 6 cdot x 3 6 cdot x 2 4 6 cdot x 3 cdots amp amp frac 1 57x 302x 2 302x 3 57x 4 x 5 1 x 7 vdots P m x amp 1 2 m cdot x 3 m cdot x 2 4 m cdot x 3 cdots end aligned nbsp erschliessen lassen Fur P1 1 ergibt sich dementsprechend die oben angefuhrte alternierende Reihe der ganzen Zahlen und fur Pm 1 die Reihe 1 Erklarungsversuche BearbeitenWie bereits oben erwahnt ist eine Umordnung mindestens fur geeignete konvergente Reihen hochstens aber fur absolut konvergente Reihen zulassig Der Hauptgrund liegt jedoch in Gleichung 3 Denn nur fur n displaystyle n infty nbsp ware eine Gleichheit gegeben die aber nie erreicht werden kann da Unendlich unerreichbar ist Hinzu kommt dass man bei einer Entwicklung von 1 1 x displaystyle textstyle frac 1 1 x nbsp irgendwann zu einem Abbruch gezwungen wird sodass immer ein Restterm ubrig bleibt der die Gleichheit stort 1 1 x k 0 n 1 k x k 1 n 1 x n 1 1 x 1 1 2 wenn n gerade x 1 0 1 2 wenn n ungerade x 1 k 0 n 1 k x k displaystyle begin aligned frac 1 1 x amp left sum k 0 n 1 k cdot x k right 1 n 1 cdot frac x n 1 1 x begin cases 1 frac 1 2 amp text wenn n text gerade x 1 0 frac 1 2 amp text wenn n text ungerade x 1 end cases amp neq sum k 0 n 1 k cdot x k end aligned nbsp Dieses Problem kann man nur umgehen wenn man die Reihe nur fur x lt 1 displaystyle textstyle x lt 1 nbsp betrachtet da dann fur entsprechend kleine Betrage von x oder fur entsprechend grosse n der Restterm gegen Null strebt Daher ist es lediglich moglich den Grenzwert lim x 1 P m x displaystyle textstyle lim x to 1 P m x nbsp zu betrachten Literatur BearbeitenLeonhard Euler Translation with notes of Euler s paper Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series Hrsg The Euler Archive E352 2006 englisch math dartmouth edu PDF 337 kB abgerufen am 28 September 2016 franzosisch Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques Ubersetzt von Lucas Willis Thomas J Osler zuerst in Memoires de l academie des sciences de Berlin 17 S 83 106 Einzelnachweise Bearbeiten jstor org Leonhard Euler Translation with notes of Euler s paper Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series Hrsg The Euler Archive E352 2006 englisch math dartmouth edu PDF 337 kB abgerufen am 28 September 2016 franzosisch Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques Ubersetzt von Lucas Willis Thomas J Osler Memoires de l academie des sciences de Berlin 17 S 83 106 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Alternierende Reihe Euler amp oldid 242184798