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Alexandrov-Raum

Alexandrov-Räume sind metrische Räume, die in der Differentialgeometrie und in der Topologie von wesentlicher Bedeutung sind. Ein Alexandrov-Raum ist ein vollständiger Längenraum mit unterer Krümmungschranke und endlicher Hausdorff-Dimension. Sie sind nach Alexander Danilowitsch Alexandrow benannt.

Definition Bearbeiten

Ein metrischer Raum heißt Längenraum, falls der Abstand je zweier Punkte in gegeben ist durch das Infimum der Längen aller (stetigen) Kurven, die diese Punkte miteinander verbinden. Eine kürzeste Geodätische zwischen zwei Punkten ist eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve von nach , deren Länge mit dem Abstand dieser Punkte übereinstimmt.

Ein Dreieck in einem Längenraum wird bestimmt durch drei Punkte und drei kürzeste Geodätische . Bezeichnet für eine gegebene reelle Zahl das Symbol die zweidimensionale Fläche konstanter Krümmung , so versteht man unter einem Vergleichsdreieck für ein Dreieck ein Dreieck in , dessen Seitenlängen mit den jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks übereinstimmen. Vergleichsdreiecke existieren und sind für oder für und

bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.

Ein Längenraum heißt Raum mit unterer Krümmungsschranke , oder kurz Raum mit , falls jeder Punkt eine Umgebung besitzt, so dass für je vier Punkte die Vergleichswinkel von in den entsprechenden Vergleichsdreiecken in die folgende Ungleichung erfüllen:

Ist der Längenraum eine eindimensionale Mannigfaltigkeit und , so verlangt man aus Konsistenzgründen zusätzlich, dass in diesem Fall der Durchmesser den Wert nicht überschreitet. Es gilt dann in Verallgemeinerung der Sätze von Toponogov und Bonnet-Myers:

Der Durchmesser eines vollständigen Raumes mit beträgt höchstens .

Kehrt man in der obigen Ungleichung das Ungleichheitszeichen um, erhält man die Definition eines Raumes mit oberer Krümmungsschranke . Ist ein Raum mit und vollständig, so gilt die obige Ungleichung global, also für beliebige (verschiedene) Punkte .

Für lokalkompakte Räume stimmt die oben gegebene Definition von mit der üblichen Abstandsvergleichsdefinition überein, nach der ein lokalkompakter Längenraum ein Raum mit unterer Krümmungsschranke ist, falls jeder Punkt eine Umgebung besitzt, so dass für jedes Dreieck in und je zwei Punkte die Abstandsgleichung

erfüllt ist, wobei und den Punkten und entsprechende Punkte im zum Dreieck korrespondierenden -Vergleichsdreieck bezeichnen.

Erste Beispiele von Räumen mit sind gegeben durch Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung sowie Quotienten von Räumen mit im allgemeinen metrische und/oder topologische Singularitäten auf (?).

Oftmals bezeichnet man Räume mit einer unteren Krümmungsschranke synonym auch als Alexandrov-Räume.

(Definition zitiert aus , s. auch Weblink)

Besonderes Bearbeiten

Jeder Punkt eines Alexandrov-Raumes besitzt eine offene Umgebung, welche zum Tangentialkegel dieses Punktes homöomorph ist. Ferner gilt: Ein Alexandrov-Raum besitzt eine Stratifikation in topologische Mannigfaltigkeiten. Die Strata der Dimension bestehen aus den Punkten, deren Tangentialkegel homöomorph ist zum Produkt eines Kegels mit einem euklidischen Raum einer Dimension .

Literatur Bearbeiten

Jonathan Alze: Hyperbolische Dehnchirurgie. Diplomarbeit 2002 ( (Memento vom 10. Juni 2007 im Internet Archive) Linktext fehlt.)
Martin Weilandt: Isospectral Alexandrov Spaces. (online)

Weblinks Bearbeiten

http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-0900.pdf.

Einzelnachweise Bearbeiten

Wilderich Tuschmann: Endlichkeitssätze und positive Krümmung Habilitationsschrift Max-Planck-Institut für Mathematik, Leipzig 2000, S. 18–19.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 23:40 pm

Alexandrov Raume sind metrische Raume die in der Differentialgeometrie und in der Topologie von wesentlicher Bedeutung sind Ein Alexandrov Raum ist ein vollstandiger Langenraum mit unterer Krummungschranke und endlicher Hausdorff Dimension Sie sind nach Alexander Danilowitsch Alexandrow benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Besonderes 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin metrischer Raum X displaystyle X nbsp heisst Langenraum falls der Abstand je zweier Punkte in X displaystyle X nbsp gegeben ist durch das Infimum der Langen aller stetigen Kurven die diese Punkte miteinander verbinden Eine kurzeste Geodatische x y displaystyle overline xy nbsp zwischen zwei Punkten x y X displaystyle x y in X nbsp ist eine nach Bogenlange parametrisierte Kurve von x displaystyle x nbsp nach y displaystyle y nbsp deren Lange mit dem Abstand x y displaystyle xy nbsp dieser Punkte ubereinstimmt Ein Dreieck x y z displaystyle x y z nbsp in einem Langenraum X displaystyle X nbsp wird bestimmt durch drei Punkte x y z X displaystyle x y z in X nbsp und drei kurzeste Geodatische x y x z y z displaystyle overline xy overline xz overline yz nbsp Bezeichnet fur eine gegebene reelle Zahl k displaystyle kappa nbsp das Symbol S k displaystyle S kappa nbsp die zweidimensionale Flache konstanter Krummung k displaystyle kappa nbsp so versteht man unter einem k displaystyle kappa nbsp Vergleichsdreieck fur ein Dreieck x y z X displaystyle xyz in X nbsp ein Dreieck x y z displaystyle tilde x tilde y tilde z nbsp in S k displaystyle S kappa nbsp dessen Seitenlangen mit den jeweiligen Seitenlangen des Dreiecks x y z displaystyle xyz nbsp ubereinstimmen Vergleichsdreiecke existieren und sind fur k 0 displaystyle kappa leq 0 nbsp oder fur k gt 0 displaystyle kappa gt 0 nbsp und x y y z x z lt 2 p k displaystyle xy yz xz lt frac 2 pi sqrt kappa nbsp bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt Ein Langenraum X displaystyle X nbsp heisst Raum mit unterer Krummungsschranke k 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pi sqrt kappa nbsp Kehrt man in der obigen Ungleichung das Ungleichheitszeichen um erhalt man die Definition eines Raumes mit oberer Krummungsschranke K k displaystyle K leq kappa nbsp Ist X displaystyle X nbsp ein Raum mit K k displaystyle K leq kappa nbsp und vollstandig so gilt die obige Ungleichung global also fur beliebige verschiedene Punkte a b c d X displaystyle a b c d in X nbsp Fur lokalkompakte Raume stimmt die oben gegebene Definition von K k displaystyle K leq kappa nbsp mit der ublichen Abstandsvergleichsdefinition uberein nach der ein lokalkompakter Langenraum X displaystyle X nbsp ein Raum mit unterer Krummungsschranke k displaystyle kappa nbsp ist falls jeder Punkt x X displaystyle x in X nbsp eine Umgebung U x displaystyle U x nbsp besitzt so dass fur jedes Dreieck x y z displaystyle xyz nbsp in U x displaystyle U x nbsp und je zwei Punkte y 0 x y z 0 x z displaystyle y 0 in overline xy z 0 in overline xz nbsp die Abstandsgleichung y 0 z 0 y 0 z 0 displaystyle y 0 z 0 leq tilde y 0 tilde z 0 nbsp erfullt ist wobei y 0 displaystyle tilde y 0 nbsp und z 0 displaystyle tilde z 0 nbsp den Punkten y 0 displaystyle y 0 nbsp und z 0 displaystyle z 0 nbsp entsprechende Punkte im zum Dreieck x y z displaystyle xyz nbsp korrespondierenden k displaystyle kappa nbsp Vergleichsdreieck bezeichnen Erste Beispiele von Raumen mit K k displaystyle K leq kappa nbsp sind gegeben durch Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrummung S e c k displaystyle Sec leq kappa nbsp sowie Quotienten von Raumen mit K k displaystyle K leq kappa nbsp im allgemeinen metrische und oder topologische Singularitaten auf Oftmals bezeichnet man Raume mit einer unteren Krummungsschranke K k displaystyle K leq kappa nbsp synonym auch als Alexandrov Raume Definition zitiert aus 1 s auch Weblink Besonderes BearbeitenJeder Punkt eines Alexandrov Raumes besitzt eine offene Umgebung welche zum Tangentialkegel dieses Punktes homoomorph ist Ferner gilt Ein Alexandrov Raum besitzt eine Stratifikation in topologische Mannigfaltigkeiten Die Strata der Dimension l displaystyle l nbsp bestehen aus den Punkten deren Tangentialkegel homoomorph ist zum Produkt eines Kegels mit einem euklidischen Raum R k displaystyle mathbb R k nbsp einer Dimension k l displaystyle k leq l nbsp Literatur BearbeitenJonathan Alze Hyperbolische Dehnchirurgie Diplomarbeit 2002 mathematik uni muenchen de Memento vom 10 Juni 2007 im Internet Archive Vorlage Webarchiv Wartung Linktext fehlt Linktext fehlt Martin Weilandt Isospectral Alexandrov Spaces online Weblinks Bearbeitenhttp www mis mpg de preprints ln lecturenote 0900 pdf Einzelnachweise Bearbeiten Wilderich Tuschmann Endlichkeitssatze und positive Krummung Habilitationsschrift Max Planck Institut fur Mathematik Leipzig 2000 S 18 19 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Alexandrov Raum amp oldid 192745748