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Äquivalenzsatz von Lax In der numerischen Mathematik ist der der fundamentale Satz bei der Analyse der Finite Differenze

Äquivalenzsatz von Lax

In der numerischen Mathematik ist der Äquivalenzsatz von Lax der fundamentale Satz bei der Analyse der Finite-Differenzen-Methode für die numerische Lösung von partiellen Differenzialgleichungen. Die Behauptung ist, dass für ein korrekt gestelltes lineares Anfangswertproblem eine konsistente Methode genau dann konvergent ist, wenn sie stabil ist.

Der Satz bedeutet, dass zwar die erwünschte Konvergenz der Lösung der Finite-Differenzen-Methode für die Lösung der partiellen Differentialgleichung nur sehr schwer feststellbar ist, da die numerische Lösung rekursiv definiert ist. Jedoch ist die Konsistenz der Methode, d. h., dass die numerische Methode die Differenzialgleichung approximiert, einfach zu überprüfen, und Stabilität ist üblicherweise viel einfacher zu zeigen als die Konvergenz (dies würde ohnehin nachzuweisen sein, um zu zeigen, dass Rundungsfehler die Lösung nicht verfälschen). Daher wird Konvergenz üblicherweise über den Äquivalenzsatz gezeigt.

Stabilität heißt in diesem Zusammenhang, dass eine Matrixnorm der Matrix, die in der Iteration benutzt wird, höchstens Eins ist. Dies wird (praktische) Lax-Richtmyer-Stabilität genannt. Oft wird stattdessen eine Von-Neumann-Stabilitätsanalyse durchgeführt, obgleich eine Von-Neumann-Stabilität eine Lax-Richtmyer-Stabilität nur in bestimmten Fällen impliziert.

Der Satz ist nach Peter Lax benannt. Manchmal wird er auch nach Peter Lax und Robert Richtmyer als Lax-Richtmyer-Satz bezeichnet.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John C. Strikwerda: Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Chapman & Hall, 1989, S. 26/222 (englisch).
  2. G.D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3rd ed. Oxford University Press, 1985, S. 67–68 (englisch).
  3. P.D. Lax, R.D. Richtmyer: Survey of the stability of linear finite difference equations. Comm. Pure Appl. Math. 9 (1956), 267–293 MR0079204 doi:10.1002/cpa.3160090206 (englisch).

Weblinks Bearbeiten

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In der numerischen Mathematik ist der Aquivalenzsatz von Lax der fundamentale Satz bei der Analyse der Finite Differenzen Methode fur die numerische Losung von partiellen Differenzialgleichungen Die Behauptung ist dass fur ein korrekt gestelltes lineares Anfangswertproblem eine konsistente Methode genau dann konvergent ist wenn sie stabil ist 1 Der Satz bedeutet dass zwar die erwunschte Konvergenz der Losung der Finite Differenzen Methode fur die Losung der partiellen Differentialgleichung nur sehr schwer feststellbar ist da die numerische Losung rekursiv definiert ist Jedoch ist die Konsistenz der Methode d h dass die numerische Methode die Differenzialgleichung approximiert einfach zu uberprufen und Stabilitat ist ublicherweise viel einfacher zu zeigen als die Konvergenz dies wurde ohnehin nachzuweisen sein um zu zeigen dass Rundungsfehler die Losung nicht verfalschen Daher wird Konvergenz ublicherweise uber den Aquivalenzsatz gezeigt Stabilitat heisst in diesem Zusammenhang dass eine Matrixnorm der Matrix die in der Iteration benutzt wird hochstens Eins ist Dies wird praktische Lax Richtmyer Stabilitat genannt 2 Oft wird stattdessen eine Von Neumann Stabilitatsanalyse durchgefuhrt obgleich eine Von Neumann Stabilitat eine Lax Richtmyer Stabilitat nur in bestimmten Fallen impliziert Der Satz ist nach Peter Lax benannt Manchmal wird er auch nach Peter Lax und Robert Richtmyer als Lax Richtmyer Satz bezeichnet 3 Einzelnachweise Bearbeiten John C Strikwerda Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations Chapman amp Hall 1989 S 26 222 englisch G D Smith Numerical Solution of Partial Differential Equations Finite Difference Methods 3rd ed Oxford University Press 1985 S 67 68 englisch P D Lax R D Richtmyer Survey of the stability of linear finite difference equations Comm Pure Appl Math 9 1956 267 293 MR0079204 doi 10 1002 cpa 3160090206 englisch Weblinks BearbeitenAmerican Meteorological Society Glossary englisch Methods of Numerical Simulation Chapter 5 PDF Datei S 62 englisch 97 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Aquivalenzsatz von Lax amp oldid 226337223