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Zurückschneiden durch Rangbetrachtung Das oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtun

Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung) ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschränken kann.

Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse die Teilklasse , wenn die Rangfunktion ist. Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen. Mit

ist eine Menge, deren Rang höchstens beträgt.

Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:

  • Für jede Relation existiert eine vorgängerkleine Teilrelation mit demselben Definitionsbereich.
  • Für jede Relation existiert eine Teilrelation mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
  • Wenn jede nicht leere Menge ein -kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein -kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel gilt:
  • Für jede Menge und endlich viele Relationen existiert eine für jedes fast -abgeschlossene Menge .
  • Für jede Äquivalenzrelation existiert eine Funktion , die

erfüllt.

Weblinks Bearbeiten

  • Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets, auch bekannt als Scott's trick.
  2. Tarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442–443
  3. Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 2.6, 2.8
  4. ↑ Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7
  5. Gloede, Klaus: Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre. SS 2004. Universitär Heidelberg, Mathematisches Institut, S. 181. PDF, Bei DOCZZ, Bei Yumpu. Hier Seite 62
  6. Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1
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Das Zuruckschneiden durch Rangbetrachtung oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung 1 ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski 2 und Scott 1955 vorgeschlagene Methode wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschranken kann 3 Um dies zu erreichen definiert man fur eine Klasse K V x y x y displaystyle K subseteq textrm V x exists y x in y die Teilklasse K min t K x K y K r x r y displaystyle K text min equiv tau K x in K forall y in K rho x leq rho y wenn r V On displaystyle rho textrm V rightarrow textrm On die Rangfunktion ist 4 5 Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs und des Ersetzungaxioms bewiesen 6 Mit 3 min x K r x displaystyle xi min x in K rho x ist t K displaystyle tau K eine Menge deren Rang hochstens 3 1 displaystyle xi 1 betragt Mittels Zuruckschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Satze beweisen 4 Fur jede Relation R displaystyle R existiert eine vorgangerkleine Teilrelation S displaystyle S mit demselben Definitionsbereich Fur jede Relation R displaystyle R existiert eine Teilrelation S displaystyle S mit demselben Wertebereich deren inverse Relation vorgangerklein ist Wenn jede nicht leere Menge ein displaystyle prec kleinstes Element hat dann hat auch jede nicht leere Klasse ein displaystyle prec kleinstes Element und fur jede mengentheoretische Formel F displaystyle Phi gilt x y x F y F x z F z displaystyle forall x forall y prec x Phi y Rightarrow Phi x Rightarrow forall z Phi z Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes Fur jede Menge A displaystyle A und endlich viele Relationen R 1 R k displaystyle R 1 R k existiert eine fur jedes i 1 k displaystyle i in 1 k fast R i displaystyle R i abgeschlossene Menge B A displaystyle B supseteq A Fur jede Aquivalenzrelation displaystyle approx existiert eine Funktion F displaystyle F die x y F x F y x y displaystyle forall x forall y F x F y Leftrightarrow x approx y erfullt Weblinks BearbeitenWolfram Pohlers Mengenlehre PDF Universitat Munster Institut fur mathematische Logik und Grundlagenforschung Vorlesungsskript SS 1994Einzelnachweise Bearbeiten Auf engl Cutting Down Classes to Sets auch bekannt als Scott s trick Tarski A General principles of induction and resursion The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications 1955 Bull Amer Math 61 S 442 443 Deiser O Einfuhrung in die Mengenlehre Springer 2004 ISBN 978 3 540 20401 5 2 6 2 8 a b Levy A Basic Set Theory Springer 1979 ISBN 3 540 08417 7 II 7 Gloede Klaus Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre SS 2004 Universitar Heidelberg Mathematisches Institut S 181 PDF Bei DOCZZ Bei Yumpu Hier Seite 62 Zuckerman M Sets and Transfinite Numbers Macmillian Publishing Co 1974 ISBN 0 02 432110 9 6 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zuruckschneiden durch Rangbetrachtung amp oldid 217280466