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Zissoide des Diokles Die auch Kissoide des Diokles ist eine spezielle Kurve 3 Ordnung die von dem griechischen Mathemati

Zissoide des Diokles

Die Zissoide des Diokles (auch: Kissoide des Diokles) ist eine spezielle Kurve 3. Ordnung, die von dem griechischen Mathematiker Diokles (um 200 v. Chr.) beschrieben wurde, um mit diesem Hilfsmittel das Problem der Würfelverdoppelung (auch als delisches Problem bekannt) zu lösen. (Mit Zirkel und Lineal allein ist diese Konstruktionsaufgabe nicht zu schaffen.) Der Name stammt von dem griechischen Wort κισσοειδής (kissoeidēs) für efeuförmig.

Zissoide

Gleichungen der Zissoide Bearbeiten

  • Kartesische Koordinaten:
  • Parametergleichung:
  • Polarkoordinaten:

Eigenschaften der Zissoide Bearbeiten

Zissoide als Fußpunktkurve
  • Die Punkte der Zissoide sind gekennzeichnet durch folgende geometrische Eigenschaft: Gegeben seien ein Kreis mit Radius a, ein Punkt S auf diesem Kreis und diejenige Tangente, die diesen Kreis im Punkt gegenüber von S berührt. Bezeichnet man nun für einen beliebigen Punkt P der Zissoide den Schnittpunkt der Geraden SP mit dem Kreis als K und den Schnittpunkt von SP mit der erwähnten Kreistangente als A, so sind die Streckenlängen und gleich groß (Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition allgemeiner Zissoiden).
  • Die Gerade der Gleichung ist Asymptote der Kurve.
  • Die Fläche, die von der Zissoide und ihrer Asymptote begrenzt wird, hat den Flächeninhalt .
  • Die Zissoide ergibt sich auch als Fußpunktkurve einer Parabel, wenn man deren Scheitelpunkt als Bezugspunkt wählt.

Literatur Bearbeiten

  • Dörte Haftendorn: Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Springer, 2016, ISBN 9783658147495, S. 64–67, 74–78, 258–261
  • Eugene V. Shikin: Handbook and Atlas of Curves. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. 110-118
  • Jan van Maanen: From Quadrature to Integration: Thirteen Years in the Life of the Cissoid. In: The Mathematical Gazette, Band 75, Nr. 471 (März, 1991), S. 1–15 (JSTOR)

Weblinks Bearbeiten

Commons: Cissoid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Veröffentlichungsdatum:
Die Zissoide des Diokles auch Kissoide des Diokles ist eine spezielle Kurve 3 Ordnung die von dem griechischen Mathematiker Diokles um 200 v Chr beschrieben wurde um mit diesem Hilfsmittel das Problem der Wurfelverdoppelung auch als delisches Problem bekannt zu losen Mit Zirkel und Lineal allein ist diese Konstruktionsaufgabe nicht zu schaffen Der Name stammt von dem griechischen Wort kissoeidhs kissoeides fur efeuformig Zissoide Inhaltsverzeichnis 1 Gleichungen der Zissoide 2 Eigenschaften der Zissoide 3 Literatur 4 WeblinksGleichungen der Zissoide BearbeitenKartesische Koordinaten y 2 2 a x x 3 0 displaystyle y 2 2a x x 3 0 nbsp Parametergleichung x 2 a t 2 1 t 2 y 2 a t 3 1 t 2 displaystyle x frac 2at 2 1 t 2 qquad y frac 2at 3 1 t 2 nbsp Polarkoordinaten r 2 a cos f 2 a cos f 2 a sin f tan f displaystyle r frac 2a cos varphi 2a cos varphi 2a sin varphi tan varphi nbsp Eigenschaften der Zissoide Bearbeiten nbsp Zissoide als FusspunktkurveDie Punkte der Zissoide sind gekennzeichnet durch folgende geometrische Eigenschaft Gegeben seien ein Kreis mit Radius a ein Punkt S auf diesem Kreis und diejenige Tangente die diesen Kreis im Punkt gegenuber von S beruhrt Bezeichnet man nun fur einen beliebigen Punkt P der Zissoide den Schnittpunkt der Geraden SP mit dem Kreis als K und den Schnittpunkt von SP mit der erwahnten Kreistangente als A so sind die Streckenlangen S P displaystyle overline SP nbsp und K A displaystyle overline KA nbsp gleich gross Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition allgemeiner Zissoiden Die Gerade der Gleichung x 2 a displaystyle x 2a nbsp ist Asymptote der Kurve Die Flache die von der Zissoide und ihrer Asymptote begrenzt wird hat den Flacheninhalt 3 p a 2 displaystyle 3 pi a 2 nbsp Die Zissoide ergibt sich auch als Fusspunktkurve einer Parabel wenn man deren Scheitelpunkt als Bezugspunkt wahlt Literatur BearbeitenDorte Haftendorn Kurven erkunden und verstehen Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen Springer 2016 ISBN 9783658147495 S 64 67 74 78 258 261 Eugene V Shikin Handbook and Atlas of Curves CRC Press 1996 ISBN 9780849389634 S 110 118 Jan van Maanen From Quadrature to Integration Thirteen Years in the Life of the Cissoid In The Mathematical Gazette Band 75 Nr 471 Marz 1991 S 1 15 JSTOR Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Cissoid Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Cissoid of Diocles In MathWorld englisch John J O Connor Edmund F Robertson Cissoid In MacTutor History of Mathematics archive Xah Lee Cissoid of Diocles englisch allgemeine Kissoiden Zissoide zu Gerade und Kreis Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zissoide des Diokles amp oldid 231549532