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Ungleichung von Wirtinger Die englisch Wirtinger s inequality ist eine der klassischen Ungleichungen des mathematischen

Ungleichung von Wirtinger

Die Ungleichung von Wirtinger (englisch Wirtinger’s inequality) ist eine der klassischen Ungleichungen des mathematischen Gebiets der Analysis. Sie wird – offenbar dank der Zuweisung von Wilhelm Blaschke in dessen Monographie Kreis und Kugel aus dem Jahre 1916 – nach dem österreichischen Mathematiker Wilhelm Wirtinger benannt, obwohl bekannt ist, dass zuvor schon von anderen Mathematikern ähnliche und unter schwächeren Bedingungen gültige Ungleichungen vorgelegt wurden. Die wirtingersche Ungleichung gab Anlass zu einer großen Anzahl weiterführender Untersuchungen. Sie ist unter anderem mit der Poincaré-Ungleichung verwandt.

Formulierung Bearbeiten

Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen angeben:

Dann gilt:

Dabei gilt in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen dann und nur dann, wenn es reelle Zahlen gibt derart, dass die Gestalt

hat.

Ungleichung von Almansi Bearbeiten

Schon vor dem Jahre 1916 hat der italienische Mathematiker Emilio Almansi eine der wirtingerschen eng verwandte Ungleichung gefunden und im Jahre 1905 publiziert:

Dann gilt:

Von einigen Autoren, etwa von Leonida Tonelli in einer Arbeit aus dem Jahre 1911, wurde diese Ungleichung von Almansi durch Abschwächung der Annahmen über die Funktion weiter verbessert.

Literatur Bearbeiten

  • E. Almansi: Sopra una delle esperienze di Plateau. In: Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie III. Band 12, 1905, S. 1–17.
  • Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: Inequalities (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 30). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo 1983, ISBN 3-540-03283-5.
  • D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).
  • L. Tonelli: Su una proposizione dell' Almansi. In: Rendiconti della Regia Accademia dei Lincei. Band 23, 1914, S. 676–682.
  • Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. Veit, Leipzig 1916.

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. ↑ Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: Inequalities. 1983, S. 177–185
  2. ↑ D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 141–154
  3. J. B. Diaz, F. T. Metcalf: Variations of Wirtinger’s inequality. In: Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19 - 27, 1965. Academic Press, New York, London (1967), S. 73–77
  4. Vgl. Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. 1916, S. 105–106: Dort gibt Blaschke die Ungleichung unter der Überschrift Ein Lemma von Wirtinger an.
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Die Ungleichung von Wirtinger englisch Wirtinger s inequality ist eine der klassischen Ungleichungen des mathematischen Gebiets der Analysis Sie wird offenbar dank der Zuweisung von Wilhelm Blaschke in dessen Monographie Kreis und Kugel aus dem Jahre 1916 nach dem osterreichischen Mathematiker Wilhelm Wirtinger benannt obwohl bekannt ist dass zuvor schon von anderen Mathematikern ahnliche und unter schwacheren Bedingungen gultige Ungleichungen vorgelegt wurden Die wirtingersche Ungleichung gab Anlass zu einer grossen Anzahl weiterfuhrender Untersuchungen Sie ist unter anderem mit der Poincare Ungleichung verwandt 1 2 3 4 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Ungleichung von Almansi 3 Literatur 4 Einzelnachweise und FussnotenFormulierung BearbeitenDie Ungleichung lasst sich folgendermassen angeben 1 2 Auf dem Korper der reellen Zahlen sei eine reelle Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp mit folgenden Eigenschaften gegeben 1 f displaystyle f nbsp ist eine differenzierbare Funktion 2 f displaystyle f nbsp ist eine periodische Funktion der Periode 2p displaystyle 2 pi nbsp 3 Die Ableitungsfunktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp ist eine quadratisch integrierbare Funktion 4 Es ist 02pf x dx 0 displaystyle int 0 2 pi f x dx 0 nbsp dd Dann gilt 02p f x 2dx 02p f x 2dx displaystyle int 0 2 pi f x 2 dx leq int 0 2 pi f x 2 dx nbsp dd Dabei gilt in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen dann und nur dann wenn es reelle Zahlen A B displaystyle A B nbsp gibt derart dass f displaystyle f nbsp die Gestalt f x Acos x Bsin x A B R displaystyle f x A cos x B sin x A B in mathbb R nbsp dd hat Ungleichung von Almansi BearbeitenSchon vor dem Jahre 1916 hat der italienische Mathematiker Emilio Almansi eine der wirtingerschen eng verwandte Ungleichung gefunden und im Jahre 1905 publiziert 2 Gegeben seien zwei reelle Zahlen a b displaystyle a b nbsp und eine reelle Funktion f a b R displaystyle f colon left a b right to mathbb R nbsp mit folgenden Eigenschaften 1 Die Einschrankung f a b displaystyle f a b nbsp ist stetig differenzierbar 2 Es ist f a f b displaystyle f a f b nbsp 3 abf x dx 0 displaystyle int a b f x dx 0 nbsp dd Dann gilt 2pb a 2 ab f x 2dx ab f x 2dx displaystyle left frac 2 pi b a right 2 cdot int a b f x 2 dx leq int a b f x 2 dx nbsp dd Von einigen Autoren etwa von Leonida Tonelli in einer Arbeit aus dem Jahre 1911 wurde diese Ungleichung von Almansi durch Abschwachung der Annahmen uber die Funktion f displaystyle f nbsp weiter verbessert Literatur BearbeitenE Almansi Sopra una delle esperienze di Plateau In Annali di Matematica Pura ed Applicata Serie III Band 12 1905 S 1 17 Edwin F Beckenbach Richard Bellman Inequalities Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 30 4 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo 1983 ISBN 3 540 03283 5 D S Mitrinovic Analytic Inequalities In cooperation with P M Vasic Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 165 Springer Verlag Berlin u a 1970 ISBN 3 540 62903 3 MR0274686 L Tonelli Su una proposizione dell Almansi In Rendiconti della Regia Accademia dei Lincei Band 23 1914 S 676 682 Wilhelm Blaschke Kreis und Kugel Veit Leipzig 1916 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten a b Edwin F Beckenbach Richard Bellman Inequalities 1983 S 177 185 a b c D S Mitrinovic Analytic Inequalities 1970 S 141 154 J B Diaz F T Metcalf Variations of Wirtinger s inequality In Oved Shisha Hrsg Inequalities Proceedings of a Symposium Held at Wright Patterson Air Force Base Ohio August 19 27 1965 Academic Press New York London 1967 S 73 77 Vgl Wilhelm Blaschke Kreis und Kugel 1916 S 105 106 Dort gibt Blaschke die Ungleichung unter der Uberschrift Ein Lemma von Wirtinger an Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung von Wirtinger amp oldid 210404401