In der Mathematik ist der Verma Modul ein unendlich dimensionaler Modul uber der universellen einhullenden Algebra einer Lie Algebra aus dem sich die endlich dimensionalen Darstellungen eines gegebenen hochsten Gewichts gewinnen lassen Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Beispiel sl 2 C 3 Universelle Eigenschaft 4 LiteraturKonstruktion BearbeitenSei g displaystyle mathfrak g nbsp eine komplexe halbeinfache Lie Algebra h displaystyle mathfrak h nbsp eine Cartan Unteralgebra R displaystyle R nbsp das Wurzelsystem mit R displaystyle R nbsp als Menge der positiven Wurzeln Fur jedes a R displaystyle alpha in R nbsp wahlen wir ein Xa ga displaystyle X alpha in mathfrak g alpha nbsp und Ya g a displaystyle Y alpha in mathfrak g alpha nbsp Zu einem Gewicht l h C displaystyle lambda colon mathfrak h to mathbb C nbsp konstruiert man den Verma Modul Wl displaystyle W lambda nbsp als Quotient Wl U g Il displaystyle W lambda U mathfrak g I lambda nbsp der universellen einhullenden Algebra U g displaystyle U mathfrak g nbsp nach dem Linksideal Il displaystyle I lambda nbsp erzeugt von allen Elementen der Form Xa a R displaystyle X alpha alpha in R nbsp und H l H 1 H h displaystyle H lambda H 1 H in mathfrak h nbsp Fur einen Vektor hochsten Gewichts v Wl displaystyle v in W lambda nbsp ist die durch F x x v displaystyle Phi x x cdot v nbsp definierte Abbildung F U g Wl displaystyle Phi colon U mathfrak g to W lambda nbsp ein surjektiver Homomorphismus Beispiel sl 2 C BearbeitenWir betrachten das Beispiel g sl 2 C displaystyle mathfrak g mathfrak sl 2 mathbb C nbsp Fur h displaystyle mathfrak h nbsp wahlen wir den Aufspann von H 100 1 displaystyle H left begin array cc 1 amp 0 0 amp 1 end array right nbsp Fur ein beliebiges m C displaystyle m in mathbb C nbsp definieren wir l h C displaystyle lambda colon mathfrak h to mathbb C nbsp durch l H m displaystyle lambda H m nbsp Wir wahlen X 0100 displaystyle X left begin array cc 0 amp 1 0 amp 0 end array right nbsp und Y 0010 displaystyle Y left begin array cc 0 amp 0 1 amp 0 end array right nbsp Dann wird der Verma Modul Wl displaystyle W lambda nbsp von linear unabhangigen Vektoren v0 v1 v2 displaystyle v 0 v 1 v 2 ldots nbsp erzeugt und U g displaystyle U mathfrak g nbsp wirkt durch X vj j m j 1 vj 1 Y vj vj 1 H vj m 2j vj displaystyle X cdot v j j m j 1 v j 1 Y cdot v j v j 1 H cdot v j m 2j v j nbsp Wegen X vm 1 0 displaystyle X cdot v m 1 0 nbsp ist der von vm 1 vm 2 displaystyle v m 1 v m 2 ldots nbsp aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum Der Quotient von Wl displaystyle W lambda nbsp nach diesem Unterraum gibt die endlich dimensionale Darstellung von g sl 2 C displaystyle mathfrak g mathfrak sl 2 mathbb C nbsp mit hochstem Gewicht l displaystyle lambda nbsp Universelle Eigenschaft BearbeitenZu jeder Darstellung V displaystyle V nbsp von g displaystyle mathfrak g nbsp deren hochstes Gewicht l displaystyle lambda nbsp ist gibt es einen surjektiven Lie Algebren Homomorphismus Wl V displaystyle W lambda to V nbsp Literatur BearbeitenHall Brian C 2015 Lie Groups Lie Algebras and Representations An Elementary Introduction Graduate Texts in Mathematics 222 2nd ed Springer ISBN 978 3319134666 Humphreys J 1980 Introduction to Lie Algebras and Representation Theory Springer Verlag ISBN 978 3 540 90052 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verma Modul amp oldid 213490151
