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Satz von Mazur Einbettungen In der Mathematik ist der Satz von Mazur die höherdimensionale Verallgemeinerung des jordans

Satz von Mazur (Einbettungen)

In der Mathematik ist der Satz von Mazur die höherdimensionale Verallgemeinerung des jordanschen Kurvensatzes, die aber nur für differenzierbare Einbettungen gilt. Er wird mittels Morse-Theorie bewiesen.

Die Ellipse auf der Kugeloberfläche zerlegt diese in zwei Teile, die ihrerseits beide homöomorph zum Kreis sind.

Aussage Bearbeiten

Eine in der -dimensionalen Sphäre differenzierbar eingebettete -Sphäre zerlegt die in zwei Zusammenhangskomponenten, die beide homöomorph zur -dimensionalen Vollkugel sind.

Dimension 2 Bearbeiten

In 2 Dimensionen erhält man den jordanschen Kurvensatz, zumindest für differenzierbare Jordankurven. Dazu bilde man die Ebene zusammen mit einer darin enthaltenen diffenrenzierbaren Jordankurve mittels umgekehrter stereographischer Projektion auf die Kugeloberfläche ab, es kommt dann nur ein Punkt, etwa ein Nordpol, hinzu. Obiger Satz garantiert dann die Zerlegung in zwei Zusammenhangskomponenten, etwa wie in nebenstehender Illustration, wovon in der Ebene diejenige die unbeschränkte ist, die den Nordpol enthält.

Gegenbeispiel Bearbeiten

Für topologische (nicht differenzierbare) Einbettungen gilt der Satz in Dimensionen nicht mehr, ein Gegenbeispiel ist Alexanders Sphäre. Es gilt aber jedenfalls der Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz, nach dem das Komplement einer eingebetteten Sphäre stets aus zwei Zusammenhangskomponenten besteht.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik ist der Satz von Mazur die hoherdimensionale Verallgemeinerung des jordanschen Kurvensatzes die aber nur fur differenzierbare Einbettungen gilt Er wird mittels Morse Theorie bewiesen Die Ellipse auf der Kugeloberflache zerlegt diese in zwei Teile die ihrerseits beide homoomorph zum Kreis sind Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Dimension 2 3 Gegenbeispiel 4 Literatur 5 WeblinksAussage BearbeitenEine in der n displaystyle n nbsp dimensionalen Sphare S n displaystyle S n nbsp differenzierbar eingebettete n 1 displaystyle n 1 nbsp Sphare zerlegt die S n displaystyle S n nbsp in zwei Zusammenhangskomponenten die beide homoomorph zur n displaystyle n nbsp dimensionalen Vollkugel sind Dimension 2 BearbeitenIn 2 Dimensionen erhalt man den jordanschen Kurvensatz zumindest fur differenzierbare Jordankurven Dazu bilde man die Ebene zusammen mit einer darin enthaltenen diffenrenzierbaren Jordankurve mittels umgekehrter stereographischer Projektion auf die Kugeloberflache ab es kommt dann nur ein Punkt etwa ein Nordpol hinzu Obiger Satz garantiert dann die Zerlegung in zwei Zusammenhangskomponenten etwa wie in nebenstehender Illustration wovon in der Ebene diejenige die unbeschrankte ist die den Nordpol enthalt Gegenbeispiel BearbeitenFur topologische nicht differenzierbare Einbettungen gilt der Satz in Dimensionen n 3 displaystyle n geq 3 nbsp nicht mehr ein Gegenbeispiel ist Alexanders Sphare Es gilt aber jedenfalls der Jordan Brouwer Zerlegungssatz nach dem das Komplement einer eingebetteten Sphare stets aus zwei Zusammenhangskomponenten besteht Literatur BearbeitenBarry Mazur On embeddings of spheres In Bulletin of the American Mathematical Society Band 65 Nummer 2 1959 S 59 65 online Maxwell H A Newman On the division of Euclidean n sphere by topological n 1 spheres In Proceedings of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences Band 257 Nummer 1288 Aug 23 1960 S 1 12 JSTOR 2413794 Weblinks BearbeitenMazur s Theorem Wolfram MathWorld Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Mazur Einbettungen amp oldid 213583202