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Ungleichung von Lévy Die englisch Lévy s inequality ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrsch

Ungleichung von Lévy

Die Ungleichung von Lévy (englisch Lévy’s inequality) ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf den Mathematiker Paul Lévy (1886–1971) zurückgeht. Sie bezieht sich auf endliche Familien von unabhängigen reellwertigen Zufallsvariablen und liefert dafür eine obere Abschätzung unter Einbeziehung von Medianen. Nach A. N. Širjaevs Lehrbuch Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht zuletzt mit Hilfe (einer speziellen Version) dieser Ungleichung ein Hilfssatz zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für Summen von Zufallsvariablen gewinnen.

Formulierung Bearbeiten

Die Ungleichung lässt sich wie folgt angeben:

Spezialfall Bearbeiten

Die obige Ungleichung vereinfacht sich für den Fall, dass symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen. Es gilt nämlich gemäß Širjaev folgendes:

Varianten Bearbeiten

Nach Darstellung von Michel Loève in dessen Lehrbuch Probability Theory I und ebenso nach der von Laha/Rohatgi in deren Lehrbuch Probability Theory (s. u.) spricht man sogar von zwei Ungleichungen von Lévy (englisch Lévy inequalities). Sie lassen sich folgendermaßen angeben:

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Es existieren Verallgemeinerungen der Ungleichung von Lévy und darunter sogar eine mit dieser direkt verwandte Ungleichung, welche die obige Variante (ii) (bei fast gleichem Wortlaut) auf den Fall verallgemeinert, dass (vergleichbar dem obigen Spezialfall) endlich viele symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen, die dann aber sogar Werte in einem beliebigen separablen Banachraum annehmen dürfen, wobei dessen Norm dann an die Stelle der obigen Betragsfunktion tritt.

Literatur Bearbeiten

  • M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017).
  • R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto 1979, ISBN 0-471-03262-X (MR0534143).
  • A. I. Sakhanenko: On Lévy–Kolmogorov Inequalities for Banach-Space-Valued Random Variables. In: Theory of Probability & Its Applications. Band 29, 1985, S. 830–836, doi:10.1137/1129113 (MR0773454).
  • A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9 (MR0967761).
  • Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band. Inp bis Mon. Springer Spektrum, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0435-5.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 388–391
  2. ↑ Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band. Inp bis Mon. 2001, S. 276
  3. Širjaev, op. cit., S. 391
  4. Širjaev, op. cit., S. 388
  5. M. Loève: Probability Theory I. 1977, S. 259–260
  6. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 98–99
  7. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 465
  8. A. I. Sakhanenko: On Lévy–Kolmogorov Inequalities for Banach-Space-Valued Random Variables. In: Theory of Probability & Its Applications. 29, S. 830–836

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Hier ist dann selbstverständlich gesetzt.
  2. Dies ist die spezielle Version, die zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für Summen von Zufallsvariablen benötigt wird.
  3. Diese beiden sind mit der zuvor formulierten Lévy-Ungleichung offenbar eng verwandt.
  4. Mit ist die reelle Betragsfunktion gemeint.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Ungleichung von Levy englisch Levy s inequality ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung welche auf den Mathematiker Paul Levy 1886 1971 zuruckgeht Sie bezieht sich auf endliche Familien von unabhangigen reellwertigen Zufallsvariablen und liefert dafur eine obere Abschatzung unter Einbeziehung von Medianen Nach A N Sirjaevs Lehrbuch Wahrscheinlichkeit lasst sich nicht zuletzt mit Hilfe einer speziellen Version dieser Ungleichung ein Hilfssatz zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus fur Summen von Zufallsvariablen gewinnen 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 1 1 Spezialfall 2 Varianten 3 Verallgemeinerungen 4 Literatur 5 Weblinks 6 Einzelnachweise 7 AnmerkungenFormulierung BearbeitenDie Ungleichung lasst sich wie folgt angeben 2 3 Gegeben seien eine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A operatorname P nbsp und dazu n displaystyle n nbsp unabhangige reellwertige Zufallsvariablen X 1 X n W A P R displaystyle X 1 ldots X n colon Omega mathcal A operatorname P to mathbb R nbsp und dabei sei fur i 0 1 n displaystyle i 0 1 ldots n nbsp wie ublich S i j 1 i X j displaystyle S i sum j 1 i X j nbsp A 1 gesetzt Weiter sei fur reellwertige Zufallsvariable Y W A P R displaystyle Y colon Omega mathcal A operatorname P to mathbb R nbsp mit m Y displaystyle mu Y nbsp stets ein Y displaystyle Y nbsp Median gemeint Dann ist fur reelle Zahlen a R displaystyle a in mathbb R nbsp stets die Ungleichung P max 0 k n S k m S n S k gt a 2 P S n gt a displaystyle operatorname P left max 0 leq k leq n left S k mu S n S k right gt a right leq 2 cdot operatorname P left S n gt a right nbsp erfullt Spezialfall Bearbeiten Die obige Ungleichung vereinfacht sich fur den Fall dass symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen A 2 Es gilt namlich gemass Sirjaev folgendes 4 Sind die allgemeinen Voraussetzungen wie oben angegeben und sind uberdies die Zufallsvariablen X 1 X n W A P R displaystyle X 1 ldots X n colon Omega mathcal A operatorname P to mathbb R nbsp alle symmetrisch um Null verteilt so ist die Ungleichung P max S 0 S 1 S n gt a 2 P S n gt a displaystyle operatorname P bigl max S 0 S 1 ldots S n gt a bigr leq 2 cdot operatorname P left S n gt a right nbsp gultig Varianten BearbeitenNach Darstellung von Michel Loeve in dessen Lehrbuch Probability Theory I und ebenso nach der von Laha Rohatgi in deren Lehrbuch Probability Theory s u spricht man sogar von zwei Ungleichungen von Levy englisch Levy inequalities A 3 Sie lassen sich folgendermassen angeben 5 6 Unter den zuvor angegebenen Grundvoraussetzungen sind fur reelle Zahlen ϵ R displaystyle epsilon in mathbb R nbsp stets die beiden Ungleichungen i P max 0 k n S k m S k S n ϵ 2 P S n ϵ displaystyle operatorname P left max 0 leq k leq n left S k mu S k S n right geq epsilon right leq 2 cdot operatorname P left S n geq epsilon right nbsp und ii P max 0 k n S k m S k S n ϵ 2 P S n ϵ displaystyle operatorname P left max 0 leq k leq n S k mu S k S n geq epsilon right leq 2 cdot operatorname P left S n geq epsilon right nbsp A 4 erfullt Verallgemeinerungen BearbeitenEs existieren Verallgemeinerungen der Ungleichung von Levy und darunter sogar eine mit dieser direkt verwandte Ungleichung welche die obige Variante ii bei fast gleichem Wortlaut auf den Fall verallgemeinert dass vergleichbar dem obigen Spezialfall endlich viele symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen die dann aber sogar Werte in einem beliebigen separablen Banachraum annehmen durfen wobei dessen Norm dann an die Stelle der obigen Betragsfunktion tritt 7 8 Literatur BearbeitenM Loeve Probability Theory I Graduate Texts in Mathematics Band 45 4 Auflage Springer Verlag New York Heidelberg Berlin 1977 ISBN 3 540 90210 4 MR0651017 R G Laha V K Rohatgi Probability Theory Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics John Wiley amp Sons New York Chichester Brisbane Toronto 1979 ISBN 0 471 03262 X MR0534143 A I Sakhanenko On Levy Kolmogorov Inequalities for Banach Space Valued Random Variables In Theory of Probability amp Its Applications Band 29 1985 S 830 836 doi 10 1137 1129113 MR0773454 A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit Hochschulbucher fur Mathematik Band 91 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1988 ISBN 3 326 00195 9 MR0967761 Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik in sechs Banden Dritter Band Inp bis Mon Springer Spektrum Heidelberg Berlin 2001 ISBN 3 8274 0435 5 Weblinks BearbeitenEintrag Levy Ungleichung von im Lexikon der Mathematik 2017 Einzelnachweise Bearbeiten A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit 1988 S 388 391 a b Lexikon der Mathematik in sechs Banden Dritter Band Inp bis Mon 2001 S 276 Sirjaev op cit S 391 Sirjaev op cit S 388 M Loeve Probability Theory I 1977 S 259 260 R G Laha V K Rohatgi Probability Theory 1979 S 98 99 R G Laha V K Rohatgi Probability Theory 1979 S 465 A I Sakhanenko On Levy Kolmogorov Inequalities for Banach Space Valued Random Variables In Theory of Probability amp Its Applications 29 S 830 836Anmerkungen Bearbeiten Hier ist dann selbstverstandlich S 0 0 displaystyle S 0 0 nbsp gesetzt Dies ist die spezielle Version die zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus fur Summen von Zufallsvariablen benotigt wird Diese beiden sind mit der zuvor formulierten Levy Ungleichung offenbar eng verwandt Mit displaystyle cdot nbsp ist die reelle Betragsfunktion gemeint Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung von Levy amp oldid 241841292