Typ und Kotyp eines Banach Raumes sind eine Klassifikation von Banach Räumen und ein Maß um zu messen wie weit ein Banac

Typ und Kotyp eines Banach-Raumes

Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß um zu messen, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren die Identität

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Definition Bearbeiten

Sei

ein Banach-Raum,
eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt sowie für (Orthogonalität) und .

Typ Bearbeiten

ist vom Typ mit , falls eine endliche Konstante existiert, so dass

für alle endlichen Folgen . Die beste Konstante nennen wir Type--Konstante und notieren sie mit .

Kotyp Bearbeiten

ist vom Kotyp mit , falls eine endliche Konstante existiert, so dass

respektive

für alle endlichen Folgen . Die beste Konstante nennen wir Kotyp--Konstante und notieren sie mit .

Erläuterungen Bearbeiten

Durch ziehen der -ten resp. -ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)--Norm.

Eigenschaften Bearbeiten

Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben.
Jeder Banach-Raum ist von Typ (folgt aus der Dreiecksungleichung).

Ein Banach-Raum:

ist von Typ und Kotyp genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität.
der vom Typ ist, ist auch vom Typ .
der vom Kotyp ist, ist auch vom Kotyp .
der vom Typ (mit ) ist, besitzt einen Dualraum vom Kotyp , wobei der konjugierte Index ist. Weiter gilt

Beispiele Bearbeiten

Die -Räume für sind vom Typ und vom Kotyp , das heißt ist vom Typ , ist vom Typ usw.
Die -Räume für sind vom Typ und vom Kotyp .
ist vom Typ und vom Kotyp .

Literatur Bearbeiten

Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Hrsg.: Springer New York. 1984.
Laurent Schwartz: Geometry and Probability in Banach Spaces. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 2006, ISBN 978-3-540-10691-3.
M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.

Einzelnachweise Bearbeiten

Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 05, 2023, 02:24 am

Typ und Kotyp eines Banach Raumes sind eine Klassifikation von Banach Raumen und ein Mass um zu messen wie weit ein Banach Raum von einem Hilbert Raum entfernt ist Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identitat eines Hilbert Raumes In einem Hilbert Raum gilt fur orthogonale Vektoren e k k 1 n displaystyle e k k 1 n die Identitat k 1 n e k 2 k 1 n e k 2 displaystyle left sum k 1 n e k right 2 sum k 1 n left e k right 2 Dies ist in allgemeinen Banach Raumen nicht mehr der Fall Die Orthogonalitat wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher Zufallsvariablen formuliert deshalb spricht man auch von Rademacher Typ und Rademacher Kotyp Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Typ 1 2 Kotyp 1 3 Erlauterungen 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei X displaystyle X cdot nbsp ein Banach Raum e i displaystyle varepsilon i nbsp eine Folge von unabhangigen Rademacher Zufallsvariablen das heisst P e i 1 P e i 1 1 2 displaystyle P varepsilon i 1 P varepsilon i 1 1 2 nbsp sowie E e i e m 0 displaystyle mathbb E varepsilon i varepsilon m 0 nbsp fur i m displaystyle i neq m nbsp Orthogonalitat und Var e i 1 displaystyle operatorname Var varepsilon i 1 nbsp Typ Bearbeiten X displaystyle X nbsp ist vom Typ p displaystyle p nbsp mit p 1 2 displaystyle p in 1 2 nbsp falls eine endliche Konstante C 1 displaystyle C geq 1 nbsp existiert so dass E e i 1 n e i x i p C p i 1 n x i p displaystyle mathbb E varepsilon left left sum limits i 1 n varepsilon i x i right p right leq C p left sum limits i 1 n x i p right nbsp fur alle endlichen Folgen x i X displaystyle x i in X nbsp Die beste Konstante C displaystyle C nbsp nennen wir Type p displaystyle p nbsp Konstante und notieren sie mit T p X displaystyle T p X nbsp Kotyp Bearbeiten X displaystyle X nbsp ist vom Kotyp q displaystyle q nbsp mit q 2 displaystyle q in 2 infty nbsp falls eine endliche Konstante C 1 displaystyle C geq 1 nbsp existiert so dass E e i 1 n e i x i q 1 C q i 1 n x i q wenn 2 q lt 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displaystyle 2 nbsp genau dann wenn er isomorph zu einem Hilbert Raum ist dann gilt die pythagoreische Identitat der vom Typ p displaystyle p nbsp ist ist auch vom Typ p 1 p displaystyle p in 1 p nbsp der vom Kotyp q displaystyle q nbsp ist ist auch vom Kotyp q q displaystyle q in q infty nbsp der vom Typ p displaystyle p nbsp mit 1 lt p 2 displaystyle 1 lt p leq 2 nbsp ist besitzt einen Dualraum X displaystyle X nbsp vom Kotyp p displaystyle p nbsp wobei p displaystyle p nbsp der konjugierte Index p 1 1 p 1 displaystyle p 1 1 p 1 nbsp ist Weiter gilt C p X T p X displaystyle C p X leq T p X nbsp 2 Beispiele BearbeitenDie L p displaystyle L p nbsp Raume fur p 1 2 displaystyle p in 1 2 nbsp sind vom Typ p displaystyle p nbsp und vom Kotyp 2 displaystyle 2 nbsp das heisst L 1 displaystyle L 1 nbsp ist vom Typ 1 displaystyle 1 nbsp L 2 displaystyle L 2 nbsp ist vom Typ 2 displaystyle 2 nbsp usw Die L p displaystyle L p nbsp Raume fur p 2 displaystyle p in 2 infty nbsp sind vom Typ 2 displaystyle 2 nbsp und vom Kotyp p displaystyle p nbsp L displaystyle L infty nbsp ist vom Typ 1 displaystyle 1 nbsp und vom Kotyp displaystyle infty nbsp 3 Literatur BearbeitenDaniel Li und Herve Queffelec Introduction to Banach Spaces Analysis and Probability In Cambridge University Press Hrsg Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2017 S 159 209 doi 10 1017 CBO9781316675762 009 Joseph Diestel Sequences and Series in Banach Spaces Hrsg Springer New York 1984 Laurent Schwartz Geometry and Probability in Banach Spaces Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 ISBN 978 3 540 10691 3 M Ledoux und M Talagrand Probability in Banach Spaces In Springer Hrsg Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 23 Berlin Heidelberg 1991 doi 10 1007 978 3 642 20212 4 11 Einzelnachweise Bearbeiten Daniel Li und Herve Queffelec Introduction to Banach Spaces Analysis and Probability In Cambridge University Press Hrsg Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2017 S 159 209 doi 10 1017 CBO9781316675762 009 Daniel Li und Herve Queffelec Introduction to Banach Spaces Analysis and Probability In Cambridge University Press Hrsg Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2017 S 159 209 doi 10 1017 CBO9781316675762 009 M Ledoux und M Talagrand Probability in Banach Spaces In Springer Hrsg Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 23 Berlin Heidelberg 1991 doi 10 1007 978 3 642 20212 4 11 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Typ und Kotyp eines Banach Raumes amp oldid 235069620