In der Mathematik ist die n displaystyle n te Taxicab Zahl definiert als die kleinste naturliche Zahl die sich auf n displaystyle n verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lasst Godfrey Harold Hardy und E M Wright haben bewiesen dass es fur jede naturliche Zahl n displaystyle n eine Taxicab Zahl Ta n displaystyle operatorname Ta n gibt 1 Der Beweis sagt jedoch nichts uber die Werte dieser Zahlen aus sodass sie nur mit grossem computerunterstutztem Aufwand gefunden werden konnen Ihren Namen verdankt sie einer beruhmten Anekdote von Hardy Er besuchte Ramanujan am Krankenbett und erwahnte dass er mit einem Taxi der Nummer 1 729 displaystyle 1 729 gekommen sei was Hardy fur eine uninteressante Zahl hielt Ramanujan fand dies nicht indem er Hardy die oben erwahnten Eigenschaften darlegte 2 Inhaltsverzeichnis 1 Bekannte Taxicab Zahlen 2 Obere Schranken fur Taxicab Zahlen 2 1 Entdeckungsgeschichte 3 Verallgemeinerte Taxicab Zahl 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBekannte Taxicab Zahlen BearbeitenDie folgenden sechs Taxicab Zahlen sind bekannt Folge A011541 in OEIS Ta 1 2 1 3 1 3 displaystyle begin aligned operatorname Ta 1 amp 2 amp 1 3 1 3 end aligned nbsp Ta 2 1 729 1 3 12 3 9 3 10 3 displaystyle begin aligned operatorname Ta 2 amp 1 729 amp 1 3 12 3 amp 9 3 10 3 end aligned nbsp Ta 3 87 539 319 167 3 436 3 228 3 423 3 255 3 414 3 displaystyle begin aligned operatorname Ta 3 amp 87 539 319 amp 167 3 436 3 amp 228 3 423 3 amp 255 3 414 3 end aligned nbsp Ta 4 6 963 472 309 248 2 421 3 19 083 3 5 436 3 18 948 3 10 200 3 18 072 3 13 322 3 16 630 3 displaystyle begin aligned operatorname Ta 4 amp 6 963 472 309 248 amp 2 421 3 19 083 3 amp 5 436 3 18 948 3 amp 10 200 3 18 072 3 amp 13 322 3 16 630 3 end aligned nbsp Ta 5 48 988 659 276 962 496 38 787 3 365 757 3 107 839 3 362 753 3 205 292 3 342 952 3 221 424 3 336 588 3 231 518 3 331 954 3 displaystyle begin aligned operatorname Ta 5 amp 48 988 659 276 962 496 amp 38 787 3 365 757 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displaystyle operatorname Ta 4 nbsp wurde 1991 von dem Amateur Zahlentheoretiker E Rosenstiel gefunden 6 Ta 5 displaystyle operatorname Ta 5 nbsp wird seit 1999 David W Wilson verdankt 7 Unabhangig davon fand wenige Monate spater auch Daniel Bernstein diese Zahl Ta 6 displaystyle operatorname Ta 6 nbsp wurde 2003 entdeckt 8 Zuvor hatte 1998 Daniel Bernstein schon eine obere Schranke angegeben Verallgemeinerte Taxicab Zahl BearbeitenAls verallgemeinerte Taxicab Zahlen bezeichnet man eine Abwandlung der gewohnlichen Taxicab Zahlen Die Definition lautet Taxicab k j n displaystyle operatorname Taxicab k j n nbsp ist die kleinste naturliche Zahl die auf n displaystyle n nbsp verschiedene Arten als Summe von j displaystyle j nbsp k displaystyle k nbsp ten Potenzen ausgedruckt werden kann Fur k 3 displaystyle k 3 nbsp und j 2 displaystyle j 2 nbsp handelt es sich um die gewohnlichen Taxicab Zahlen Leonhard Euler zeigte dass gilt Taxicab 4 2 2 635 318 657 59 4 158 4 133 4 134 4 displaystyle operatorname Taxicab 4 2 2 635 318 657 59 4 158 4 133 4 134 4 nbsp Stuart Gascoigne zeigte dass 2 6 10 26 displaystyle 2 6 cdot 10 26 nbsp eine untere Schranke fur Taxicab 4 2 3 displaystyle operatorname Taxicab 4 2 3 nbsp ist das Analogon zu Eulers obiger Losung diesmal aber fur drei verschiedene Arten eine positive Zahl als Summe zweier Biquadrate darzustellen ein explizites Beispiel ist nicht bekannt 9 Fur Taxicab 4 3 n displaystyle operatorname Taxicab 4 3 n nbsp gibt es nach Hardy und Wright 10 Losungen fur beliebiges n displaystyle n nbsp und es sind Losungen zum Beispiel bekannt fur n 3 4 5 6 7 8 10 12 16 18 19 24 displaystyle n 3 4 5 6 7 8 10 12 16 18 19 24 nbsp 9 Schon bei der Summe von funften Potenzen ist nicht bekannt ob es Taxicab Zahlen Taxicab 5 2 n displaystyle operatorname Taxicab 5 2 n nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp gibt 11 Die Frage nach Taxicab Zahlen ist ein Spezialfall der Frage nach Losungen der Identitaten i 1 m a i k j 1 n b j k displaystyle sum i 1 m a i k sum j 1 n b j k nbsp 12 13 Ein anderer Spezialfall dieses Problemkreises ist die Eulersche Vermutung eine Verallgemeinerung des Grossen Fermatschen Satzes Literatur BearbeitenJoseph Silverman Taxicabs and Sums of Two Cubes In American Mathematical Monthly Band 100 1993 ISSN 0002 9890 S 331 340 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Taxicab Number In MathWorld englisch Taxicab Zahl von Meyrignac im Euler Netz Taxicab Zahlen im Euler Netz Ivars Peterson uber Taxicab Zahlen Memento vom 3 August 2002 im Internet Archive Einzelnachweise Bearbeiten Godfrey Harold Hardy Edward Maitland Wright An introduction to the theory of numbers Oxford UP 4 Auflage 1975 S 333 Theorem 412 mit Anmerkungen S 338 f Die erste Auflage ist von 1938 Hardy Ramanujan London 1940 Wortlich schrieb Hardy I remember once going to see him when he was lying ill at Putney I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one and that I hoped it was not an unfavorable omen No he replied it is a very interesting number it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways Quotations by G H Hardy Memento vom 16 Juli 2012 im Internet Archive Christian Boyer New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers Bruce Berndt S Bhargava Ramanujan For Lowbrows In American Mathematical Monthly Band 100 1993 S 645 656 J Leech Some Solutions of Diophantine Equations In Proc Cambridge Phil Soc 531957 S 778 780 E Rosenstiel J A Dardis C R Rosenstiel The Four Least Solutions in Distinct Positive Integers of the Diophantine Equation s x 3 y 3 z 3 w 3 u 3 v 3 m 3 n 3 displaystyle s x 3 y 3 z 3 w 3 u 3 v 3 m 3 n 3 nbsp In Bull Inst Math Appl 271991 S 155 157 D W Wilson The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 In J Integer Sequences 2 99 1 9 1999 C S Calude E Calude M J Dinneen What Is the Value of Taxicab 6 PDF 120 kB In J Uni Comp Sci 9 2003 S 1196 1203 a b Taxicab numbers 4th powers In Euler free fr Hardy Wright An introduction to the theory of numbers 1979 S 330 Walter Schneider Taxicab numbers Memento vom 25 April 2005 im Internet Archive 2003 Mathews the Archive of Recreational Mathematics Lander Parkin Selfridge A survey of equal sums of like powers In Mathematics of Computation Band 21 1967 S 446 459 Randy Ekl New results in equal sums of like powers In Mathematics of Computation Band 67 1998 S 1209 1315 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Taxicab Zahl amp oldid 229580161
