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Eulersche Vermutung Die aus dem Jahr 1769 ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallge

Eulersche Vermutung

Die Eulersche Vermutung aus dem Jahr 1769 ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die Fermatsche Vermutung. Die Eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt, während die Fermatsche Vermutung bewiesen wurde.

Vermutung Bearbeiten

Die Eulersche Vermutung besagt, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung gibt, wenn und ganze Zahlen sind mit . Fermat bewies angeblich die Vermutung für (Fermatsche Vermutung), veröffentlichte aber nur einen Beweis für und . Euler gab für einen Beweis an, siehe Großer Fermatscher Satz, für größere und konnte er weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden.

Widerlegungen Bearbeiten

Fall n = 5 Bearbeiten

Für den Fall fanden L. J. Lander und T. R. Parkin 1966 ein Gegenbeispiel:

Fall n = 4 Bearbeiten

Für fand Noam Elkies 1988 folgendes Gegenbeispiel:

Elkies bewies zudem, dass es für unendlich viele Lösungen gibt.

Die kleinste Lösung für lautet

Diese Minimallösung wurde nach der Publikation der ersten Lösung durch Elkies von Roger Frye gefunden.

Verwandte Fragestellung Bearbeiten

Zusammen mit seiner Vermutung äußerte Euler zudem, dass es möglich sein sollte, vier 4. Potenzen zu finden, deren Summe eine 4. Potenz ergibt. Diese Vermutung wurde 1911 durch R. Norrie positiv beantwortet:

Für diese allgemeine Form

wurde 2008 von Lee W. Jacobi und Daniel J. Madden gezeigt, dass sie unendlich viele positive ganzzahlige Lösungen hat. Es wurde auch eine besonders ästhetische Lösung der Form

in ganzen Zahlen gefunden:

Diese Gleichung nennt man auch Jacobi-Madden-Gleichung.

Literatur Bearbeiten

  • Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, New York 1994, ISBN 0-387-94289-0.
  • Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem. 3. Auflage. A K Peters, Natick MA 2002, ISBN 1-56881-119-5.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 72, 1966, S. 1079.
  2. Noam Elkies: On . In: Math. Comput. Band 51, 1988, S. 825–835.
  3. Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem. 3. Auflage. A. K. Peters, Natick MA 2002, ISBN 1-56881-119-5, S. 232.
  4. Ivars Peterson: (Memento vom 1. Dezember 2012 im Internet Archive) In: ScienceNews, 2004.
  5. American Mathematical Monthly. März 2008.
  6. nzz.ch
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Veröffentlichungsdatum:
Die Eulersche Vermutung aus dem Jahr 1769 ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die Fermatsche Vermutung Die Eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt wahrend die Fermatsche Vermutung bewiesen wurde Inhaltsverzeichnis 1 Vermutung 2 Widerlegungen 2 1 Fall n 5 2 2 Fall n 4 3 Verwandte Fragestellung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseVermutung BearbeitenDie Eulersche Vermutung besagt dass es keine positiven ganzzahligen Losungen a 1 a 2 a k displaystyle a 1 a 2 dotsc a k nbsp der Gleichung a 1 n a 2 n a k 1 n a k n displaystyle a 1 n a 2 n dotsb a k 1 n a k n nbsp gibt wenn n displaystyle n nbsp und k displaystyle k nbsp ganze Zahlen sind mit n k 3 displaystyle n geq k geq 3 nbsp Fermat bewies angeblich die Vermutung fur n k 3 displaystyle n geq k 3 nbsp Fermatsche Vermutung veroffentlichte aber nur einen Beweis fur n 4 displaystyle n 4 nbsp und k 3 displaystyle k 3 nbsp Euler gab fur n k 3 displaystyle n k 3 nbsp einen Beweis an siehe Grosser Fermatscher Satz fur grossere n displaystyle n nbsp und k displaystyle k nbsp konnte er weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden Widerlegungen BearbeitenFall n 5 Bearbeiten Fur den Fall n 5 displaystyle n 5 nbsp fanden L J Lander und T R Parkin 1966 ein Gegenbeispiel 1 27 5 84 5 110 5 133 5 144 5 displaystyle 27 5 84 5 110 5 133 5 144 5 nbsp Fall n 4 Bearbeiten Fur n 4 displaystyle n 4 nbsp fand Noam Elkies 1988 folgendes Gegenbeispiel 2 2 682 440 4 15 365 639 4 18 796 760 4 20 615 673 4 displaystyle 2 682 440 4 15 365 639 4 18 796 760 4 20 615 673 4 nbsp Elkies bewies zudem dass es fur n 4 displaystyle n 4 nbsp unendlich viele Losungen gibt Die kleinste Losung fur n 4 displaystyle n 4 nbsp lautet 95 800 4 217 519 4 414 560 4 422 481 4 displaystyle 95 800 4 217 519 4 414 560 4 422 481 4 nbsp Diese Minimallosung wurde nach der Publikation der ersten Losung durch Elkies von Roger Frye gefunden 3 4 Verwandte Fragestellung BearbeitenZusammen mit seiner Vermutung ausserte Euler zudem dass es moglich sein sollte vier 4 Potenzen zu finden deren Summe eine 4 Potenz ergibt Diese Vermutung wurde 1911 durch R Norrie positiv beantwortet 30 4 120 4 272 4 315 4 353 4 displaystyle 30 4 120 4 272 4 315 4 353 4 nbsp Fur diese allgemeine Form a 4 b 4 c 4 d 4 e 4 displaystyle a 4 b 4 c 4 d 4 e 4 nbsp wurde 2008 von Lee W Jacobi und Daniel J Madden gezeigt dass sie unendlich viele positive ganzzahlige Losungen hat Es wurde auch eine besonders asthetische Losung der Form a 4 b 4 c 4 d 4 a b c d 4 displaystyle a 4 b 4 c 4 d 4 a b c d 4 nbsp in ganzen Zahlen gefunden 5 6 955 1770 2634 5400 5491 displaystyle 955 1770 2634 5400 5491 nbsp 955 4 1770 4 2634 4 5400 4 5491 4 displaystyle 955 4 1770 4 2634 4 5400 4 5491 4 nbsp Diese Gleichung nennt man auch Jacobi Madden Gleichung Literatur BearbeitenRichard K Guy Unsolved problems in number theory Springer New York 1994 ISBN 0 387 94289 0 Ian Stewart David Tall Algebraic Number Theory and Fermat s Last Theorem 3 Auflage A K Peters Natick MA 2002 ISBN 1 56881 119 5 Weblinks BearbeitenTito Piezas III A Collection of Algebraic Identities Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers EulerNet Jaroslaw Wroblewski Equal Sums of Like Powers Eric W Weisstein Euler s Sum of Powers Conjecture In MathWorld englisch Ivars Peterson Euler s Sums of Powers In ScienceNews 2004 Seite nicht mehr abrufbar Archivlink abgerufen am 1 Marz 2022Einzelnachweise Bearbeiten L J Lander T R Parkin Counterexample to Eulers s conjecture on sums of like powers In Bull Amer Math Soc Band 72 1966 S 1079 Noam Elkies On A 4 B 4 C 4 D 4 displaystyle A 4 B 4 C 4 D 4 nbsp In Math Comput Band 51 1988 S 825 835 Ian Stewart David Tall Algebraic Number Theory and Fermat s Last Theorem 3 Auflage A K Peters Natick MA 2002 ISBN 1 56881 119 5 S 232 Ivars Peterson Euler s Sums of Powers Memento vom 1 Dezember 2012 im Internet Archive In ScienceNews 2004 American Mathematical Monthly Marz 2008 nzz ch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eulersche Vermutung amp oldid 230682521