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Symbolische Dynamik Die ist ein Zweig der Theorie dynamischer Systeme in dem Methoden der Formalen Sprachen Grammatikthe

Symbolische Dynamik

Die Symbolische Dynamik ist ein Zweig der Theorie dynamischer Systeme, in dem Methoden der Formalen Sprachen (Grammatiktheorie, Automatentheorie, Komplexitätstheorie) und der Theorie stochastischer Prozesse zur Anwendung kommen.

Der Ausgangspunkt der symbolischen Dynamik ist ein zeitdiskretes dynamisches System mit Zustandsraum und Fluss , wobei entweder gleich oder für reversible Dynamik gleich ist. Durch eine Partition des Zustandsraums in eine endliche Anzahl von n Teilmengen gewinnt man eine Vorschrift, wie eine Anfangsbedingung auf eine Symbolsequenz abzubilden ist:

Weise der Anfangsbedingung ein Symbol zu, wenn , weise dann dem Folgezustand ein Symbol zu, wenn , kurz: Weise dem Zustand ein Symbol zu, wenn . Die Folge der von der Bahnkurve durchzogenen Teilmengen kann dann als Symbolsequenz mit Symbolen angesehen werden. Dabei ist ein endliches Alphabet bestehend aus so vielen Symbolen wie es Teilmengen der Partition gibt.

Abhängig von der Zeitmenge erhält man entweder einseitig unendliche Symbolsequenzen , wenn (engl. one-sided shifts), oder zweiseitig unendliche Symbolsequenzen , wenn (engl. two-sided shifts). Der Punkt nach kennzeichnet üblicherweise die Anfangsbedingung. Die Menge der Symbolsequenzen, der Zustandsraum der symbolischen Dynamik, wird dann (einseitig), bzw. geschrieben. Die obige Konstruktionsvorschrift einer Symbolsequenz entspricht dann einer Abbildung , so dass , wenn , wobei der Teilmenge der Partition das Symbol zugeordnet ist.

Zwischen den symbolischen Darstellungen einer Anfangsbedingung und ihrer ersten Iteration besteht ein simpler Zusammenhang: Während durch die Sequenz dargestellt wird, beginnt die Konstruktion der Symbolsequenz für mit dem Symbol . Daher wird durch die Folge dargestellt. unterscheidet sich also von dadurch, dass alle Symbole in um eine Stelle nach links (oder der Punkt um eine Stelle nach rechts) gerückt sind. Daher gibt es eine Abbildung auf dem Raum der Symbolsequenzen , mit . Die Abbildung wird Linksverschiebung (engl. left-shift) genannt. heißen symbolische Dynamik. Zwischen dem ursprünglichen System und der symbolischen Dynamik besteht der Zusammenhang .

Literatur Bearbeiten

  • T. Schürmann, I. Hoffmann: arxiv:nlin/0208048 In: J. Phys A: Math. Gen., 28, 1995, S. 5033–5039.
  • T. Schürmann: Scaling behaviour of entropy estimates. In: J. Phys A: Math. Gen., 35, 2002, S. 1589–1596, arxiv:cond-mat/0203409v1
  • Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).
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Die Symbolische Dynamik ist ein Zweig der Theorie dynamischer Systeme in dem Methoden der Formalen Sprachen Grammatiktheorie Automatentheorie Komplexitatstheorie und der Theorie stochastischer Prozesse zur Anwendung kommen Der Ausgangspunkt der symbolischen Dynamik ist ein zeitdiskretes dynamisches System X F displaystyle X Phi mit Zustandsraum X displaystyle X und Fluss F T X X displaystyle Phi colon mathbb T times X to X wobei T displaystyle mathbb T entweder gleich N displaystyle mathbb N oder fur reversible Dynamik gleich Z displaystyle mathbb Z ist Durch eine Partition des Zustandsraums X displaystyle X in eine endliche Anzahl von n Teilmengen A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 dots A n gewinnt man eine Vorschrift wie eine Anfangsbedingung x 0 X displaystyle x 0 in X auf eine Symbolsequenz abzubilden ist Weise der Anfangsbedingung x 0 displaystyle x 0 ein Symbol a k 0 displaystyle a k 0 zu wenn x 0 A k 0 displaystyle x 0 in A k 0 weise dann dem Folgezustand x 1 F 1 x 0 displaystyle x 1 Phi 1 x 0 ein Symbol a k 1 displaystyle a k 1 zu wenn x 1 A k 1 displaystyle x 1 in A k 1 kurz Weise dem Zustand x t F t x 0 displaystyle x t Phi t x 0 ein Symbol a k t displaystyle a k t zu wenn x t A k t displaystyle x t in A k t Die Folge der von der Bahnkurve x t t T displaystyle x t t in mathbb T durchzogenen Teilmengen kann dann als Symbolsequenz s a k 0 a k 1 a k 2 a k 3 displaystyle s a k 0 a k 1 a k 2 a k 3 dots mit Symbolen a k t A displaystyle a k t in mathbf A angesehen werden Dabei ist A displaystyle mathbf A ein endliches Alphabet bestehend aus so vielen Symbolen wie es Teilmengen der Partition gibt Abhangig von der Zeitmenge T displaystyle mathbb T erhalt man entweder einseitig unendliche Symbolsequenzen s s 0 s 1 s 2 displaystyle s s 0 s 1 s 2 dots wenn T N displaystyle mathbb T mathbb N engl one sided shifts oder zweiseitig unendliche Symbolsequenzen s s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 displaystyle s dots s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 dots wenn T Z displaystyle mathbb T mathbb Z engl two sided shifts Der Punkt nach s 0 displaystyle s 0 kennzeichnet ublicherweise die Anfangsbedingung Die Menge der Symbolsequenzen der Zustandsraum der symbolischen Dynamik wird dann S A N displaystyle Sigma mathbf A mathbb N einseitig bzw S A Z displaystyle Sigma mathbf A mathbb Z geschrieben Die obige Konstruktionsvorschrift einer Symbolsequenz entspricht dann einer Abbildung p X S displaystyle pi colon X to Sigma so dass p x 0 s displaystyle pi x 0 s wenn F t x 0 A k t displaystyle Phi t x 0 in A k t wobei der Teilmenge A k t displaystyle A k t der Partition das Symbol a k t A displaystyle a k t in mathbf A zugeordnet ist Zwischen den symbolischen Darstellungen einer Anfangsbedingung x 0 displaystyle x 0 und ihrer ersten Iteration x 1 F 1 x 0 displaystyle x 1 Phi 1 x 0 besteht ein simpler Zusammenhang Wahrend x 0 displaystyle x 0 durch die Sequenz s s 0 s 1 s 2 s 3 displaystyle s s 0 s 1 s 2 s 3 dots dargestellt wird beginnt die Konstruktion der Symbolsequenz fur x 1 displaystyle x 1 mit dem Symbol s 1 displaystyle s 1 Daher wird x 1 displaystyle x 1 durch die Folge s s 1 s 2 s 3 s 4 displaystyle s s 1 s 2 s 3 s 4 dots dargestellt s displaystyle s unterscheidet sich also von s displaystyle s dadurch dass alle Symbole in s displaystyle s um eine Stelle nach links oder der Punkt um eine Stelle nach rechts geruckt sind Daher gibt es eine Abbildung auf dem Raum der Symbolsequenzen s S S displaystyle sigma colon Sigma to Sigma mit s s s displaystyle sigma s s Die Abbildung s displaystyle sigma wird Linksverschiebung engl left shift genannt S s displaystyle Sigma sigma heissen symbolische Dynamik Zwischen dem ursprunglichen System X F displaystyle X Phi und der symbolischen Dynamik S s displaystyle Sigma sigma besteht der Zusammenhang p F s p displaystyle pi circ Phi sigma circ pi Literatur BearbeitenT Schurmann I Hoffmann arxiv nlin 0208048 In J Phys A Math Gen 28 1995 S 5033 5039 T Schurmann Scaling behaviour of entropy estimates In J Phys A Math Gen 35 2002 S 1589 1596 arxiv cond mat 0203409v1 Gerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Graduate Studies in Mathematics Band 140 American Mathematical Society Providence 2012 ISBN 978 0 8218 8328 0 mat univie ac at Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Symbolische Dynamik amp oldid 211062678