Die sturmsche Kette, benannt nach Jacques Charles François Sturm, ist – ähnlich wie die Vorzeichenregel von Descartes – ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem sich die Anzahl der Nullstellen eines reellen Polynoms in einem gegebenen Intervall berechnen lässt.
Sturmsche Kette eines Polynoms ohne mehrfache Nullstellen Bearbeiten
Zur Erklärung des Verfahrens wird zunächst ein Spezialfall betrachtet. Sei ein reelles Polynom ohne mehrfache Nullstellen. Die sturmsche Kette von ist eine endliche Folge von Polynomen , wobei der Grad dieser Polynome streng monoton abnimmt. ist das gegebene Polynom, seine Ableitung.
Die weiteren Polynome der sturmschen Kette werden rekursiv durch eine Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers definiert. Für ist das Polynom eindeutig definiert durch die Gleichung
wenn man fordert, dass der Grad von kleiner sein soll als der von . (Diese Definition unterscheidet sich vom euklidischen Algorithmus nur durch das Minuszeichen anstelle eines Pluszeichens.)
Die Folge endet in dem betrachteten Spezialfall (keine mehrfachen Nullstellen) mit einem konstanten Polynom . Für jede reelle Zahl sei nun die Zahl der Vorzeichenwechsel in der endlichen Zahlenfolge .
Die Regel von Sturm besagt nun, dass die Zahl der Nullstellen von im halboffenen Intervall (mit ) gleich ist.
Beispiel Bearbeiten
Für das Polynom
soll die Anzahl der Nullstellen im halboffenen Intervall ermittelt werden. Dazu wird zunächst die Ableitung gebildet:
Durch Polynomdivision erhält man die Beziehung
also
Hier und in den folgenden Rechenschritten ist es zweckmäßig, das Verfahren etwas abzuwandeln. Man multipliziert das erhaltene Polynom mit einer geeigneten positiven Zahl (in diesem Fall mit 16), um unangenehme Brüche zu vermeiden. Das Endergebnis wird dadurch nicht beeinflusst.
Erneute Polynomdivision führt zu
und
Multiplikation mit ergibt das einfachere Polynom
Entsprechend verläuft der letzte Durchgang des Verfahrens:
Einsetzen der Zahl 1 ergibt nun:
Hier kommen genau drei Vorzeichenwechsel vor, nämlich zwischen 4 und −2, zwischen −62 und 7 sowie zwischen 7 und −1. Demzufolge gilt .
Entsprechend für die Zahl 4:
Hier gibt es nur einen Vorzeichenwechsel: . Die Anzahl der Nullstellen im Intervall hat also den Wert . In diesem Intervall existieren genau zwei Nullstellen (nämlich 2 und 3).
Sturmsche Kette eines beliebigen Polynoms Bearbeiten
Den allgemeinen Fall, in dem das gegebene Polynom mehrfache Nullstellen haben darf, kann man auf den schon betrachteten Spezialfall zurückführen. Durch Anwendung des euklidischen Algorithmus lässt sich der größte gemeinsame Teiler von und seiner Ableitung ermitteln. Dividiert man durch , so erhält man ein neues Polynom, das die gleichen Nullstellen wie besitzt, aber keine mehrfachen Nullstellen. Die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von in einem Intervall erhält man nun dadurch, dass man die sturmsche Kette des Polynoms bildet und wie oben die Anzahl der Nullstellen dieses Polynoms bestimmt.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- J. Stoer: Numerische Mathematik I. 5. Auflage. Springer 1989, ISBN 3-540-51481-3, S. 277.
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Sturm Theorem. In: MathWorld (englisch).
- Eintrag zu Sturmschen Ketten in der Encyclopedia of Mathematics (Springer)
- Interaktive Beispiele und Rechner