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Stromliniendiffusion Finite Element Methode Die SDFEM ist eine Modifikation der Finite Elemente Methode Die üblichen Var

Stromliniendiffusion-Finite-Element-Methode

Die Stromliniendiffusion-Finite-Element-Methode (SDFEM) ist eine Modifikation der Finite-Elemente-Methode. Die üblichen Varianten der Finite-Element-Methode diskretisieren elliptische Randwertaufgaben mit dominantem Diffusionsterm. Bei aber z. B. Problemen mit dominanter Konvektion zweiter Ordnung oder Konvektionsproblemen erster Ordnung führen Stabilitätsprobleme zu unerwünschten, unphysikalischen Oszillationen in der diskreten Lösung. Ein Ausweg sind stabilisierte Finite-Elemente-Methoden, etwa die Methode der Stromliniendiffusion (SDFEM). Manche nennen die Methode auch SUPG von streamline upwind Petrov-Galerkin. Die Methode ist verwandt zu upwind-Varianten der Methode der finiten Differenzen und upwind-Varianten der Methode der finiten Volumen.

Ein eindimensionales Beispiel Bearbeiten

Löst man das Randwertproblem

bei konstantem mit linearen finiten Elementen auf einem äquidistanten Gitter, so erzeugt man für die Näherungswerte in den Gitterpunkten das Gleichungssystem

Dies entspricht einer bekannten Finite-Differenzen-Methode, siehe Abschnitt Upwind Finite-Differenzen-Methode für ein Konvektions-Diffusionsproblem. Von dieser ist schon sehr lange bekannt, dass sie im Fall dominanter Konvektion bzw. unzureichend ist, während eine upwind Finite-Differenzen-Methode stabil gut funktioniert (s. Buch von Doolan, Miller, Schilders 1980).

Dagegen war lange unklar, wie man auf der Basis der Methode der finiten Elemente einen upwind-Effekt generiert. Verschiedene historische Zugänge werden im Buch von Roos, Stynes und Tobiska (2008) diskutiert. Am populärsten ist inzwischen die Stromliniendiffusions-Finite-Element-Methode, die 1979 von Hughes und Brooks vorgeschlagen wurde. Bei der Stromliniendiffusions-Finite-Element-Methode addiert man zur üblichen FEM-Formulierung ein gewichtetes Residuum. Die übliche Finite-Elemente Methode für das Beispiel wäre: Gesucht ist mit

für alle , dem gewählten Finite-Elemente-Raum. bezeichnet dabei das Skalarprodukt im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen über dem Intervall . Nun wird das gewichtete Residuum addiert:

(das Residuum ist für die exakte Lösung gleich Null !). Meist schreibt man dann die SDFEM als

Der sogenannte Stromliniendiffusionsparameter ist nicht notwendig ein Parameter, insbesondere kann er elementweise definiert werden.

Speziell für lineare finite Elemente auf einem äquidistanten Gitter erhält man für eine Konstante das folgende Gleichungssystem für die Näherungswerte in den Gitterpunkten:

Man sieht: für (reine finite Elemente), wird das zentrale Differenzenverfahren erzeugt, für mit der SDFEM jedoch ein upwind-Verfahren!

Bei Stynes und Tobiska 1998 findet man eine Diskussion zur Wahl von auf verschiedenen Gittern (auch Grenzschichtangepasste Gitter) und eine Fehlerabschätzung für beliebige Gitter.

Ein zweidimensionales Konvektions-Diffusionsproblem Bearbeiten

In einem zweidimensionalen polygonalen Gebiet wird die Randwertaufgabe

betrachtet. Besonders interessiert der Fall dominanter Konvektion mit .

Nun wird zunächst mit der Methode der finiten Elemente diskretisiert. Dazu nimmt man einen konformen Finite-Elemente-Raum auf einer quasiuniformen Triangulation (s. Fehlerabschätzung für die Finite-Element-Methode), sei ein Element der Triangulation . Ist dann das Skalarprodukt im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen über , so lautet die Finite-Elemente-Methode: Finde mit

Wie im eindimensionalen Fall ist diese Methode ungeeignet, es sei denn, man verwendet sehr kleine Elemente bei der Triangulation, etwa Elemente in der Größenordnung des kleinen Parameters . Deshalb stabilisiert man die Finite-Elemente-Methode durch Addition eines gewichteten Residuums ähnlich wie im eindimensionalen Fall und erhält die SDFEM

Im konvektionsdominanten Fall wählt man meist proportional zum Durchmesser des Elementes . Unter gewissen Voraussetzungen kann man zeigen, dass die SDFEM in der SDFEM-Norm

stabil ist, dies erklärt das Verschwinden von Oszillationen der diskreten Lösung im größten Teil des Gebietes (s. Schieweck 2008).

Mit Techniken wie bei der Fehlerabschätzung für die Finite-Element-Methode erhält man im konvektionsdominanten Fall für lineare Elemente die Abschätzung

Dabei hängt die Konstante nicht von ab, deshalb nennt man diese Abschätzung semirobust. Volle Robustheit liegt nicht vor, weil ja vom Parameter abhängig ist.

SDFEM und grenzschichtangepasste Gitter Bearbeiten

Grenzschichtangepasste Gitter ermöglichen in speziellen Fällen vollständig robuste Fehlerabschätzungen. Das setzt aber voraus, dass man in dem gegebenen Randwertproblem die Lage der Grenzschichten kennt und präzise Informationen über das Verhalten der Ableitungen der exakten Lösung herleiten kann (s. Singuläre Störung). Beispiele für solche Spezialfälle findet man in den angegebenen Monographien von Roos, Stynes und Tobiska bzw. Linss.

Literatur Bearbeiten

  • Hughes, T. J. R., Brooks, A. N.: A multidimensional upwind scheme with no crosswind diffusion. In: Finite element methods for convection dominated flows, volume 34 of AMD, ASME, New York 1979
  • Doolan, E. P., Miller, J. J. H., Schilders, W. H. A.: Uniform numerical methods for problems with initial an boundary layers. Boole press, Dublin 1980
  • Linss, T.: Layer-adapted meshes for reaction-convection-diffusion problems. Springer 2010
  • Johnson, C.: Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Cambridge 1987
  • Quarteroni, A., Valli, A.: Numerical approximation of partial differential equations. Springer 1994
  • Roos, H.-G., Stynes, M., Tobiska, L.: Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations. Springer, Heidelberg 2008
  • Schieweck, F.: The stability of the CIP method for higher order finite elements applied to convection-diffusion equations. Technical report, Institut für Analysis, Univ. Magdeburg 2008
  • Stynes, M., Tobiska, L.; A finite difference analysis of a streamline diffusion method on a Shishkin mesh. Numer. Algorithms, 18(1998), 337–360
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Die Stromliniendiffusion Finite Element Methode SDFEM ist eine Modifikation der Finite Elemente Methode Die ublichen Varianten der Finite Element Methode diskretisieren elliptische Randwertaufgaben mit dominantem Diffusionsterm Bei aber z B Problemen mit dominanter Konvektion zweiter Ordnung oder Konvektionsproblemen erster Ordnung fuhren Stabilitatsprobleme zu unerwunschten unphysikalischen Oszillationen in der diskreten Losung Ein Ausweg sind stabilisierte Finite Elemente Methoden etwa die Methode der Stromliniendiffusion SDFEM Manche nennen die Methode auch SUPG von streamline upwind Petrov Galerkin Die Methode ist verwandt zu upwind Varianten der Methode der finiten Differenzen und upwind Varianten der Methode der finiten Volumen Inhaltsverzeichnis 1 Ein eindimensionales Beispiel 2 Ein zweidimensionales Konvektions Diffusionsproblem 3 SDFEM und grenzschichtangepasste Gitter 4 LiteraturEin eindimensionales Beispiel BearbeitenLost man das Randwertproblem e u u f u 0 u 1 0 displaystyle varepsilon u u f quad u 0 u 1 0 nbsp bei konstantem f displaystyle f nbsp mit linearen finiten Elementen auf einem aquidistanten Gitter so erzeugt man fur die Naherungswerte in den Gitterpunkten das Gleichungssystem e u i 1 2 u i u i 1 h 2 u i 1 u i 1 2 h f displaystyle varepsilon frac u i 1 2u i u i 1 h 2 frac u i 1 u i 1 2h f nbsp Dies entspricht einer bekannten Finite Differenzen Methode siehe Abschnitt Upwind Finite Differenzen Methode fur ein Konvektions Diffusionsproblem Von dieser ist schon sehr lange bekannt dass sie im Fall dominanter Konvektion bzw 0 lt e lt lt 1 displaystyle 0 lt varepsilon lt lt 1 nbsp unzureichend ist wahrend eine upwind Finite Differenzen Methode stabil gut funktioniert s Buch von Doolan Miller Schilders 1980 Dagegen war lange unklar wie man auf der Basis der Methode der finiten Elemente einen upwind Effekt generiert Verschiedene historische Zugange werden im Buch von Roos Stynes und Tobiska 2008 diskutiert Am popularsten ist inzwischen die Stromliniendiffusions Finite Element Methode die 1979 von Hughes und Brooks vorgeschlagen wurde Bei der Stromliniendiffusions Finite Element Methode addiert man zur ublichen FEM Formulierung ein gewichtetes Residuum Die ubliche Finite Elemente Methode fur das Beispiel ware Gesucht ist u h V h displaystyle u h in V h nbsp mite u h v h u h v h f v h displaystyle varepsilon u h v h u h v h f v h nbsp fur alle v h V h displaystyle v h in V h nbsp dem gewahlten Finite Elemente Raum displaystyle cdot cdot nbsp bezeichnet dabei das Skalarprodukt im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen uber dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Nun wird das gewichtete Residuum addiert e u h v h u h v h e u h u h f d v h f v h displaystyle varepsilon u h v h u h v h varepsilon u h u h f delta v h f v h nbsp das Residuum e w w f displaystyle varepsilon w w f nbsp ist fur die exakte Losung u displaystyle u nbsp gleich Null Meist schreibt man dann die SDFEM alse u h v h u h v h e u h u h d v h f v h d v h displaystyle varepsilon u h v h u h v h varepsilon u h u h delta v h f v h delta v h nbsp Der sogenannte Stromliniendiffusionsparameter d displaystyle delta nbsp ist nicht notwendig ein Parameter insbesondere kann er elementweise definiert werden Speziell fur lineare finite Elemente auf einem aquidistanten Gitter erhalt man fur eine Konstante d displaystyle delta nbsp das folgende Gleichungssystem fur die Naherungswerte in den Gitterpunkten e u i 1 2 u i u i 1 h 2 1 2 d h u i 1 u i h 1 2 d h u i u i 1 h f displaystyle varepsilon frac u i 1 2u i u i 1 h 2 frac 1 2 frac delta h frac u i 1 u i h frac 1 2 frac delta h frac u i u i 1 h f nbsp Man sieht fur d 0 displaystyle delta 0 nbsp reine finite Elemente wird das zentrale Differenzenverfahren erzeugt fur d h 2 displaystyle delta h 2 nbsp mit der SDFEM jedoch ein upwind Verfahren Bei Stynes und Tobiska 1998 findet man eine Diskussion zur Wahl von d displaystyle delta nbsp auf verschiedenen Gittern auch Grenzschichtangepasste Gitter und eine Fehlerabschatzung fur beliebige Gitter Ein zweidimensionales Konvektions Diffusionsproblem BearbeitenIn einem zweidimensionalen polygonalen Gebiet W displaystyle Omega nbsp wird die Randwertaufgabe e u b u c u f u 0 a u f W displaystyle varepsilon triangle u b cdot nabla u cu f quad u 0 rm auf partial Omega nbsp betrachtet Besonders interessiert der Fall dominanter Konvektion mit 0 lt e lt lt 1 displaystyle 0 lt varepsilon lt lt 1 nbsp Nun wird zunachst mit der Methode der finiten Elemente diskretisiert Dazu nimmt man einen konformen Finite Elemente Raum V h H 0 1 W displaystyle V h subset H 0 1 Omega nbsp auf einer quasiuniformen Triangulation s Fehlerabschatzung fur die Finite Element Methode T displaystyle T nbsp sei ein Element der Triangulation T h displaystyle cal T h nbsp Ist dann displaystyle cdot cdot nbsp das Skalarprodukt im Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen uber W displaystyle Omega nbsp so lautet die Finite Elemente Methode Finde u h V h displaystyle 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T b v 0 T 2 1 2 displaystyle v SD varepsilon v 1 2 v 0 2 sum T delta T b cdot nabla v 0 T 2 1 2 nbsp stabil ist dies erklart das Verschwinden von Oszillationen der diskreten Losung im grossten Teil des Gebietes s Schieweck 2008 Mit Techniken wie bei der Fehlerabschatzung fur die Finite Element Methode erhalt man im konvektionsdominanten Fall fur lineare Elemente die Abschatzung u u h S D C e 1 2 h 1 2 h u 2 displaystyle u u h SD leq C varepsilon 1 2 h 1 2 h u 2 nbsp Dabei hangt die Konstante C displaystyle C nbsp nicht von e displaystyle varepsilon nbsp ab deshalb nennt man diese Abschatzung semirobust Volle Robustheit liegt nicht vor weil ja u 2 displaystyle u 2 nbsp vom Parameter e displaystyle varepsilon nbsp abhangig ist SDFEM und grenzschichtangepasste Gitter BearbeitenGrenzschichtangepasste Gitter ermoglichen in speziellen Fallen vollstandig robuste Fehlerabschatzungen Das setzt aber voraus dass man in dem gegebenen Randwertproblem die Lage der Grenzschichten kennt und prazise Informationen uber das Verhalten der Ableitungen der exakten Losung herleiten kann s Singulare Storung Beispiele fur solche Spezialfalle findet man in den angegebenen Monographien von Roos Stynes und Tobiska bzw Linss Literatur BearbeitenHughes T J R Brooks A N A multidimensional upwind scheme with no crosswind diffusion In Finite element methods for convection dominated flows volume 34 of AMD ASME New York 1979 Doolan E P Miller J J H Schilders W H A Uniform numerical methods for problems with initial an boundary layers Boole press Dublin 1980 Linss T Layer adapted meshes for reaction convection diffusion problems Springer 2010 Johnson C Numerical solution of partial differential equations by the finite element method Cambridge 1987 Quarteroni A Valli A Numerical approximation of partial differential equations Springer 1994 Roos H G Stynes M Tobiska L Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations Springer Heidelberg 2008 Schieweck F The stability of the CIP method for higher order finite elements applied to convection diffusion equations Technical report Institut fur Analysis Univ Magdeburg 2008 Stynes M Tobiska L A finite difference analysis of a streamline diffusion method on a Shishkin mesh Numer Algorithms 18 1998 337 360 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stromliniendiffusion Finite Element Methode amp oldid 236428130