Eine streng nicht palindromische Zahl ist eine naturliche Zahl n displaystyle n die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist dessen Basis b displaystyle b im Bereich 2 b n 2 displaystyle 2 leq b leq n 2 liegt Die obere Grenze n 2 displaystyle n 2 fur die Grosse der Basis ist notwendig um die Folge nichttrivial zu halten da jede Zahl n displaystyle n grosser 1 zu jeder Basis b gt n displaystyle b gt n als eine einstellige also auch palindromische Zahl geschrieben wird jede Zahl n displaystyle n grosser 2 zur Basis n displaystyle n als 10 displaystyle 10 also nicht palindromisch geschrieben wird jede Zahl n displaystyle n grosser 3 zur Basis n 1 displaystyle n 1 als 11 displaystyle 11 palindromisch geschrieben wird Fur n 3 displaystyle n leq 3 ist die Menge an Basen leer sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht palindromisch sind Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 2 1 Beweis 3 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenBeispielsweise ist die Dezimal Zahl 6 geschrieben zur Basis zwei 110 zur Basis drei 20 und zur Basis vier 12Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist ist 6 streng nicht palindromisch Die Folge der streng nicht palindromischen Zahlen beginnt mit 0 1 2 3 4 6 11 19 47 53 79 103 137 139 149 163 167 179 223 263 269 283 293 1 Eigenschaften BearbeitenAlle streng nicht palindromischen Zahlen grosser 6 sind Primzahlen Zu jeder zusammengesetzten Zahl n gt 6 displaystyle n gt 6 nbsp kann also eine Basis gefunden werden zu der n displaystyle n nbsp palindromisch ist Beweis Bearbeiten Wenn n displaystyle n nbsp gerade ist dann wird n displaystyle n nbsp zur Basis n 2 1 displaystyle tfrac n 2 1 nbsp als 22 palindromisch geschrieben Anderenfalls ist n displaystyle n nbsp ungerade und lasst sich als n p m displaystyle n p cdot m nbsp schreiben wobei p displaystyle p nbsp der kleinste Primfaktor von n displaystyle n nbsp ist Verstandlicherweise ist dann p m displaystyle p leq m nbsp Ist dann p m 3 displaystyle p m 3 nbsp so ist n 9 displaystyle n 9 nbsp was zur Basis 2 als 1001 palindromisch geschrieben wird Ist dann p m gt 3 displaystyle p m gt 3 nbsp so wird n displaystyle n nbsp zur Basis p 1 displaystyle p 1 nbsp als 121 palindromisch geschrieben Anderenfalls ist p lt m 1 displaystyle p lt m 1 nbsp Der Fall p m 1 displaystyle p m 1 nbsp kann nicht eintreten da sowohl p displaystyle p nbsp als auch m displaystyle m nbsp ungerade sind In diesem Fall wird n displaystyle n nbsp als die zweistellige Zahl p p displaystyle rm pp nbsp palindromisch zur Basis m 1 displaystyle m 1 nbsp geschrieben dd dd In jedem dieser Falle liegt die Basis b displaystyle b nbsp im Bereich 2 b n 2 displaystyle 2 leq b leq n 2 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Folge A016038 in OEIS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Streng nicht palindromische Zahl amp oldid 221000959
