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Starke Markoweigenschaft Die starke Markoweigenschaft ist eine Eigenschaft die einer Klasse von stochastischen Prozessen

Starke Markoweigenschaft

Die starke Markoweigenschaft ist eine Eigenschaft, die einer Klasse von stochastischen Prozessen, genauer gesagt Markowprozessen zukommen kann, aber nicht muss. Somit ist sie der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Die starke Markoweigenschaft ist eine Verschärfung der schwachen Markoweigenschaft, bei der ein deterministischer Zeitpunkt durch eine (zufällige) Stoppzeit ersetzt wird.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Markowprozess mit Verteilungen und Indexmenge .

Der Prozess hat nun die starke Markoweigenschaft, wenn für jede beschränkte, --messbare Funktion und für jede endliche Stoppzeit und alle die Gleichung

gilt.

Dabei ist die σ-Algebra der τ-Vergangenheit und man definiert

Für abzählbare Indexmengen Bearbeiten

Bezeichnet man mit die Verteilung des Prozesses beim Start in , so ist für abzählbare Indexmengen die starke Markoweigenschaft äquivalent zu

für alle endlichen Stoppzeiten . In diesem Fall lässt sich beweisen, dass die starke Markoweigenschaft bereits aus der schwachen Markoweigenschaft folgt.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 362, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
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Die starke Markoweigenschaft ist eine Eigenschaft die einer Klasse von stochastischen Prozessen genauer gesagt Markowprozessen zukommen kann aber nicht muss Somit ist sie der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen Die starke Markoweigenschaft ist eine Verscharfung der schwachen Markoweigenschaft bei der ein deterministischer Zeitpunkt durch eine zufallige Stoppzeit ersetzt wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Fur abzahlbare Indexmengen 3 Weblinks 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Markowprozess X t t T displaystyle X t t in T nbsp mit Verteilungen P x x E displaystyle P x x in E nbsp und Indexmenge T displaystyle T nbsp Der Prozess hat nun die starke Markoweigenschaft wenn fur jede beschrankte B E T displaystyle mathcal B E otimes T nbsp B R displaystyle mathcal B mathbb R nbsp messbare Funktion f E T R displaystyle f colon E times T to mathbb R nbsp und fur jede endliche Stoppzeit t displaystyle tau nbsp und alle x E displaystyle x in E nbsp die Gleichung E x f X t t t T F t E X t f X displaystyle operatorname E x f X tau t t in T mathcal F tau operatorname E X tau f X nbsp gilt Dabei ist F t displaystyle mathcal F tau nbsp die s Algebra der t Vergangenheit und man definiert E X t f X E T f y k X t d y displaystyle operatorname E X tau f X int E times T f y kappa X tau mathrm d y nbsp Fur abzahlbare Indexmengen BearbeitenBezeichnet man mit L x displaystyle mathcal L x nbsp die Verteilung des Prozesses beim Start in x displaystyle x nbsp so ist fur abzahlbare Indexmengen T N displaystyle T mathbb N nbsp die starke Markoweigenschaft aquivalent zu L x X t t t N F t L X t X t t N displaystyle mathcal L x X tau t t in mathbb N mathcal F tau mathcal L X tau X t t in mathbb N nbsp fur alle endlichen Stoppzeiten t displaystyle tau nbsp In diesem Fall lasst sich beweisen dass die starke Markoweigenschaft bereits aus der schwachen Markoweigenschaft folgt Weblinks BearbeitenA N Shiryaev Markov property In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 362 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Starke Markoweigenschaft amp oldid 229696782