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Standardfehler des Regressionskoeffizienten In der Statistik ist der ein Maß für die Variabilität des Schätzers für den

Standardfehler des Regressionskoeffizienten

In der Statistik ist der Standardfehler des Regressionskoeffizienten ein Maß für die Variabilität des Schätzers für den Regressionskoeffizienten. Der Standardfehler des Regressionskoeffizienten wird benötigt, um die Präzision der Schätzung des Regressionskoeffizienten beurteilen zu können, etwa anhand eines statistischen Tests oder eines Konfidenzintervalls.

Die Schätzung einer Regressionsgerade wird oft so angegeben, dass unter den ermittelten Koeffizienten die Standardfehler in Klammern angeführt werden. Damit erreicht man eine übersichtliche Darstellung der beiden Aspekte, der Punktschätzung sowie einer Angabe der Präzision.

Spezialfall: Lineare Einfachregression Bearbeiten

In der linearen Einfachregression (nur eine erklärende Variable) ist der (geschätzte) Standardfehler des Regressionskoeffizienten (hier des Anstiegs ) gegeben durch die positive Quadratwurzel der geschätzten Varianz von (siehe auch Lineare Einfachregression#Varianzen der Kleinste-Quadrate-Schätzer):

mit der erwartungstreuen Schätzung der Varianz der Störgrößen

dessen empirisches Pendant das mittlere Residuenquadrat

ist. Daher folgt für den (empirischen) Standardfehler des Anstiegs:

.

Mit diesem Standardfehler lässt sich die Präzision der Schätzung des Anstiegs beurteilen, z. B. mittels eines Konfidenzintervalls. Ein -Konfidenzintervall für den unbekannten (wahren) Regressionskoeffizienten ist gegeben durch:

wobei das -Quantil der studentschen t-Verteilung mit Freiheitsgraden ist.

Multiple lineare Regression Bearbeiten

Gegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell , mit dem Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der Versuchsplanmatrix , dem Vektor der abhängigen Variablen und dem Vektor der Störgrößen . Dann ist in der multiplen linearen Regression ist die erwartungstreuen Schätzung der Varianz der Störgrößen in Matrixschreibweise gegeben durch die Residuenquadratsumme adjustiert durch die residualen Freiheitsgrade:

.

Für den Standardfehler der (geschätzten) Regressionskoeffizienten folgt daraus, dass sie gegeben sind durch die Quadratwurzel des -ten Diagonalelements der geschätzten Kovarianzmatrix des Kleinste-Quadrate-Schätzers

Eine andere Darstellung mittels des Bestimmtheitsmaßes ist

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Axel M. Gressner, Torsten Arndt: Lexikon der Medizinischen Laboratoriumsdiagnostik. Springer-Verlag, 2013., 3. Auflage, S. 2209.
  2. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 313.
  3. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 327.
  4. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 806
  5. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 101.
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In der Statistik ist der Standardfehler des Regressionskoeffizienten ein Mass fur die Variabilitat des Schatzers fur den Regressionskoeffizienten Der Standardfehler des Regressionskoeffizienten wird benotigt um die Prazision der Schatzung des Regressionskoeffizienten beurteilen zu konnen etwa anhand eines statistischen Tests oder eines Konfidenzintervalls 1 Die Schatzung einer Regressionsgerade wird oft so angegeben dass unter den ermittelten Koeffizienten die Standardfehler in Klammern angefuhrt werden Damit erreicht man eine ubersichtliche Darstellung der beiden Aspekte der Punktschatzung sowie einer Angabe der Prazision Spezialfall Lineare Einfachregression BearbeitenIn der linearen Einfachregression nur eine erklarende Variable y i b 0 x i b 1 e i displaystyle y i beta 0 x i beta 1 varepsilon i nbsp ist der geschatzte Standardfehler des Regressionskoeffizienten hier des Anstiegs b 1 displaystyle hat beta 1 nbsp gegeben durch die positive Quadratwurzel der geschatzten Varianz von b 1 displaystyle hat beta 1 nbsp siehe auch Lineare Einfachregression Varianzen der Kleinste Quadrate Schatzer s b 1 SE b 1 s 2 i 1 n x i x 2 displaystyle hat sigma hat beta 1 operatorname SE hat beta 1 sqrt frac hat sigma 2 sum nolimits i 1 n x i overline x 2 nbsp mit der erwartungstreuen Schatzung der Varianz der Storgrossen s 2 1 n 2 i 1 n y i b 0 b 1 x i 2 displaystyle hat sigma 2 frac 1 n 2 sum limits i 1 n y i hat beta 0 hat beta 1 x i 2 nbsp dessen empirisches Pendant das mittlere Residuenquadrat M Q R S Q R n 2 displaystyle MQR sqrt frac SQR n 2 nbsp ist Daher folgt fur den empirischen Standardfehler des Anstiegs 2 s b 1 M Q R i 1 n x i x 2 displaystyle s b 1 sqrt frac MQR sum nolimits i 1 n x i overline x 2 nbsp Mit diesem Standardfehler lasst sich die Prazision der Schatzung des Anstiegs b 1 displaystyle beta 1 nbsp beurteilen z B mittels eines Konfidenzintervalls Ein 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Konfidenzintervall fur den unbekannten wahren Regressionskoeffizienten b 1 displaystyle beta 1 nbsp ist gegeben durch 3 K I 1 a b 1 b 1 s b 1 t 1 a 2 n 2 b 1 s b 1 t 1 a 2 n 2 displaystyle KI 1 alpha beta 1 left b 1 s b 1 t 1 alpha 2 n 2 b 1 s b 1 t 1 alpha 2 n 2 right nbsp wobei t 1 a 2 n 2 displaystyle t 1 alpha 2 n 2 nbsp das 1 a 2 displaystyle 1 alpha 2 nbsp Quantil der studentschen t Verteilung mit n 2 displaystyle n 2 nbsp Freiheitsgraden ist Multiple lineare Regression BearbeitenGegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell y X b e displaystyle mathbf y mathbf X boldsymbol beta boldsymbol varepsilon nbsp mit b displaystyle boldsymbol beta nbsp dem p 1 displaystyle p times 1 nbsp Vektor der unbekannten Regressionsparameter der n p displaystyle n times p nbsp Versuchsplanmatrix X displaystyle mathbf X nbsp dem n 1 displaystyle n times 1 nbsp Vektor der abhangigen Variablen y displaystyle mathbf y nbsp und dem n 1 displaystyle n times 1 nbsp Vektor der Storgrossen e displaystyle boldsymbol varepsilon nbsp Dann ist in der multiplen linearen Regression ist die erwartungstreuen Schatzung der Varianz der Storgrossen in Matrixschreibweise gegeben durch die Residuenquadratsumme adjustiert durch die residualen Freiheitsgrade s 2 S Q R n k 1 e e n k 1 displaystyle hat sigma 2 SQR n k 1 frac hat boldsymbol varepsilon top hat boldsymbol varepsilon n k 1 nbsp Fur den Standardfehler der geschatzten Regressionskoeffizienten folgt daraus dass sie gegeben sind durch die Quadratwurzel des j displaystyle j nbsp ten Diagonalelements der geschatzten Kovarianzmatrix des Kleinste Quadrate Schatzers 4 SE b j s 2 X X j j 1 displaystyle operatorname SE hat beta j sqrt hat sigma 2 mathbf X top mathbf X jj 1 nbsp Eine andere Darstellung mittels des Bestimmtheitsmasses ist 5 SE b j 1 n p i 1 n e i 2 1 R j 2 i 1 n x i j x j 2 displaystyle operatorname SE hat beta j sqrt frac tfrac 1 n p sum nolimits i 1 n hat varepsilon i 2 1 mathit R j 2 sum nolimits i 1 n x ij overline x j 2 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Axel M Gressner Torsten Arndt Lexikon der Medizinischen Laboratoriumsdiagnostik Springer Verlag 2013 3 Auflage S 2209 Werner Timischl Angewandte Statistik Eine Einfuhrung fur Biologen und Mediziner 2013 3 Auflage S 313 Werner Timischl Angewandte Statistik Eine Einfuhrung fur Biologen und Mediziner 2013 3 Auflage S 327 Lothar Sachs Jurgen Hedderich Angewandte Statistik Methodensammlung mit R 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 56657 2 S 806 Jeffrey Marc Wooldridge Introductory econometrics A modern approach 5 Auflage Nelson Education 2015 S 101 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Standardfehler des Regressionskoeffizienten amp oldid 196666333