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Spitzenform In der Zahlentheorie wird eine holomorphe Modulform f displaystyle f zur Modulgruppe Γ S L 2 Z displaystyle

Spitzenform

In der Zahlentheorie wird eine holomorphe Modulform zur Modulgruppe (manchmal wird auch als Modulgruppe definiert) als Spitzenform (engl.: cusp form ) bezeichnet, wenn sie in der Spitze (cusp), das heißt für verschwindet.

Randpunkte im Unendlichen sind die Spitzen von SL(2,Z).

Eine äquivalente Bedingung ist, dass der konstante Term in der Fourier-Entwicklung

mit , verschwindet:

und keine negativen n in der Entwicklung vorhanden sind (die Modulform ist holomorph). Dann verschwindet in der Spitze .

Man kann auch Spitzenformen zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe betrachten, dann gibt es im Allgemeinen mehrere Spitzen, parametrisiert durch rationale Zahlen im Unendlichen. Das entspricht dem Grenzwert für im Transformationsgesetz der Modulform, wobei sich nur endliche viele Spitzen im Unendlichen ergeben als Repräsentant jeweils eines Orbits. Kompaktifiziert man den Quotientenraum der oberen Halbebene durch Hinzunahme der Spitzen erhält man die Riemannsche Flächen der zugehörigen Modulkurven.

Spitzenformen mit gegebenem Gewicht Bearbeiten

Im Folgenden werden die Spitzenformen zur vollen Modulgruppe betrachtet. Aus der Definition folgt, dass es für ungerade Gewichte keine nicht-verschwindenden Spitzenformen gibt. Die Dimension des Raumes der Spitzenformen mit gegebenem Gewicht kann mit dem Satz von Riemann-Roch berechnet werden. Die kleinsten Gewichte, für die nichttriviale Spitzenformen existieren, sind

in allen diesen Fällen ist der Raum der Spitzenformen 1-dimensional, es gibt zu diesen Gewichten also jeweils eine bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform. Allgemein ist die Dimension des Vektorraums der Spitzenformen zum Gewicht gleich falls ist und gleich sonst.

Beispielsweise ist die bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform zum Gewicht 12 die Diskriminante

deren Fourier-Koeffizienten die Ramanujansche tau-Funktion definieren.

Die Fourier-Koeffizienten einer Spitzenform zum Gewicht verschwinden in zur Ordnung

Das Petersson-Skalarprodukt auf dem Raum der Spitzenformen ist definiert durch

wobei der Fundamentalbereich der Modulgruppe und mit das hyperbolische Volumenelement ist.

Literatur Bearbeiten

  • Tom Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 41. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-97127-0

Weblinks Bearbeiten

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In der Zahlentheorie wird eine holomorphe Modulform f displaystyle f zur Modulgruppe G S L 2 Z displaystyle Gamma SL 2 mathbb Z manchmal wird auch P S L 2 Z displaystyle PSL 2 mathbb Z als Modulgruppe definiert als Spitzenform engl cusp form bezeichnet wenn sie in der Spitze cusp das heisst fur I m z displaystyle Im z to infty verschwindet Randpunkte im Unendlichen sind die Spitzen von SL 2 Z Eine aquivalente Bedingung ist dass der konstante Term a 0 f 0 displaystyle a 0 f 0 in der Fourier Entwicklung f z a n e 2 p i n z a n q n displaystyle f z sum a n e 2 pi inz sum a n q n mit q e 2 p i z displaystyle q e 2 pi iz verschwindet a 0 0 displaystyle a 0 0 und keine negativen n in der Entwicklung vorhanden sind die Modulform ist holomorph Dann verschwindet f displaystyle f in der Spitze q 0 displaystyle q 0 Man kann auch Spitzenformen zu Kongruenzuntergruppen G displaystyle Gamma der Modulgruppe betrachten dann gibt es im Allgemeinen mehrere Spitzen parametrisiert durch rationale Zahlen im Unendlichen Das entspricht dem Grenzwert a c displaystyle frac a c fur z displaystyle z to infty im Transformationsgesetz z a z b c z d displaystyle z to frac az b cz d der Modulform wobei sich nur endliche viele Spitzen im Unendlichen ergeben als Reprasentant jeweils eines Orbits Kompaktifiziert man den Quotientenraum der oberen Halbebene H G displaystyle mathbb H backslash Gamma durch Hinzunahme der Spitzen erhalt man die Riemannsche Flachen der zugehorigen Modulkurven Spitzenformen mit gegebenem Gewicht BearbeitenIm Folgenden werden die Spitzenformen zur vollen Modulgruppe betrachtet Aus der Definition folgt dass es fur ungerade Gewichte keine nicht verschwindenden Spitzenformen gibt Die Dimension des Raumes der Spitzenformen mit gegebenem Gewicht k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp kann mit dem Satz von Riemann Roch berechnet werden Die kleinsten Gewichte fur die nichttriviale Spitzenformen existieren sind k 12 16 18 20 22 26 displaystyle k 12 16 18 20 22 26 nbsp in allen diesen Fallen ist der Raum der Spitzenformen 1 dimensional es gibt zu diesen Gewichten also jeweils eine bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform Allgemein ist die Dimension des Vektorraums der Spitzenformen zum Gewicht k 2 m displaystyle k 2m nbsp gleich m 6 1 displaystyle left frac m 6 right 1 nbsp falls m 1 m o d 6 displaystyle m equiv 1 mod 6 nbsp ist und gleich m 6 displaystyle left frac m 6 right nbsp sonst Beispielsweise ist die bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen eindeutige Spitzenform zum Gewicht 12 die Diskriminante D z 2 p 12 n 1 t n e 2 p i n z displaystyle Delta z 2 pi 12 sum n 1 infty tau n mathrm e 2 pi inz nbsp deren Fourier Koeffizienten t n displaystyle tau n nbsp die Ramanujansche tau Funktion definieren Die Fourier Koeffizienten einer Spitzenform zum Gewicht k 2 m displaystyle k 2m nbsp verschwinden in 0 displaystyle 0 nbsp zur Ordnung m displaystyle m nbsp a n O n k displaystyle a n O n k nbsp Das Petersson Skalarprodukt auf dem Raum der Spitzenformen ist definiert durch f g F f t g z Im z k d n z displaystyle langle f g rangle int mathrm F f tau overline g z operatorname Im z k rm d nu z nbsp wobei F z H Re z 1 2 z 1 displaystyle mathrm F z in mathrm H left operatorname Re z right leq frac 1 2 left z right geq 1 nbsp der Fundamentalbereich der Modulgruppe G displaystyle Gamma nbsp und d n z y 2 d x d y displaystyle rm d nu z y 2 rm d x rm d y nbsp mit z x i y displaystyle z x iy nbsp das hyperbolische Volumenelement ist Literatur BearbeitenTom Apostol Modular functions and Dirichlet series in number theory Second edition Graduate Texts in Mathematics 41 Springer Verlag New York 1990 ISBN 0 387 97127 0Weblinks BearbeitenCusp Form MathWorld The L functions and modular forms data base Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spitzenform amp oldid 214965422