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Soddy Kreis Die e sind die Lösungen für einen Spezialfall des apollonischen Problems wobei die drei gegebenen Kreise der

Soddy-Kreis

Die Soddy-Kreise sind die Lösungen für einen Spezialfall des apollonischen Problems, wobei die drei gegebenen Kreise, deren Mittelpunkte die Ecken eines Dreiecks sind, einander berühren. Sie sind benannt nach Frederick Soddy, der anhand dieser Kreise den Satz von Descartes wiederentdeckte und am 20. Juni 1936 in der Zeitschrift Nature in Form eines Gedichtes mit dem Titel The kiss precise veröffentlichte.

Frederick Soddy

Definition Bearbeiten

Gegeben seien ein Dreieck sowie die drei Kreise mit den Mittelpunkten , bzw. , die jeweils durch die Berührpunkte des Inkreises mit den anliegenden Dreiecksseiten gehen. (Diese drei Kreise berühren einander paarweise.) Die beiden Soddy-Kreise sind nun diejenigen Kreise, welche die genannten drei Kreise berühren. Im Allgemeinen unterscheidet man den inneren und den äußeren Soddy-Kreis.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Nach dem Satz von Descartes gilt für die Krümmung der beiden Soddy-Kreise:
Hierbei bezeichnen die Krümmungen (= Kehrwerte der Radien) der Kreise um die Eckpunkte A, B und C.
Dabei bezeichnet den Flächeninhalt von , den Inkreisradius, den Umkreisradius und den Umfang. Das Pluszeichen gilt für den inneren Soddy-Kreis, das Minuszeichen für den äußeren.
  • Der Radius des inneren Soddy-Kreises wird mit der Formel von W. K. B. Holz berechnet.
  • Die Kreise um die Ecken des Dreiecks werden vom äußeren Soddy-Kreis für einschließend, für ausschließend berührt. Im Grenzfall () ergibt sich ein unendlicher Radius, d. h. aus dem äußeren Soddy-Kreis wird eine gemeinsame Tangente.

Quellen Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Soddy Kreise sind die Losungen fur einen Spezialfall des apollonischen Problems wobei die drei gegebenen Kreise deren Mittelpunkte die Ecken eines Dreiecks sind einander beruhren Sie sind benannt nach Frederick Soddy der anhand dieser Kreise den Satz von Descartes wiederentdeckte und am 20 Juni 1936 in der Zeitschrift Nature in Form eines Gedichtes mit dem Titel The kiss precise veroffentlichte Frederick Soddy Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Quellen 4 WeblinksDefinition BearbeitenGegeben seien ein Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp sowie die drei Kreise mit den Mittelpunkten A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp bzw C displaystyle C nbsp die jeweils durch die Beruhrpunkte des Inkreises mit den anliegenden Dreiecksseiten gehen Diese drei Kreise beruhren einander paarweise Die beiden Soddy Kreise sind nun diejenigen Kreise welche die genannten drei Kreise beruhren Im Allgemeinen unterscheidet man den inneren und den ausseren Soddy Kreis nbsp Eigenschaften BearbeitenNach dem Satz von Descartes gilt fur die Krummung k displaystyle k nbsp der beiden Soddy Kreise k k 1 k 2 k 3 2 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 1 displaystyle k k 1 k 2 k 3 pm 2 sqrt k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 1 nbsp dd Hierbei bezeichnen k 1 k 2 k 3 displaystyle k 1 k 2 k 3 nbsp die Krummungen Kehrwerte der Radien der Kreise um die Eckpunkte A B und C Der Mittelpunkt des ausseren Soddy Kreises ist der isoperimetrische Punkt Der Mittelpunkt des inneren Soddy Kreises ist der Punkt des gleichen Umwegs Fur die Radien der Soddy Kreise giltr D 4 R r U displaystyle r left frac Delta 4R r pm U right nbsp dd Dabei bezeichnet D displaystyle Delta nbsp den Flacheninhalt von A B C displaystyle ABC nbsp r displaystyle r nbsp den Inkreisradius R displaystyle R nbsp den Umkreisradius und U displaystyle U nbsp den Umfang Das Pluszeichen gilt fur den inneren Soddy Kreis das Minuszeichen fur den ausseren Der Radius des inneren Soddy Kreises wird mit der Formel von W K B Holz berechnet Die Kreise um die Ecken des Dreiecks werden vom ausseren Soddy Kreis fur 4 R r lt U displaystyle 4R r lt U nbsp einschliessend fur 4 R r gt U displaystyle 4R r gt U nbsp ausschliessend beruhrt Im Grenzfall 4 R r U displaystyle 4R r U nbsp ergibt sich ein unendlicher Radius d h aus dem ausseren Soddy Kreis wird eine gemeinsame Tangente Quellen BearbeitenN Dergiades The Soddy Circles In Forum Geometricorum Band 7 2007 S 191 197 Online Version Eric W Weisstein Soddy Circles In MathWorld englisch Soddy Circles auf cut the knotWeblinks BearbeitenArthur Baragarm Alex Kontorovich Efficiently Constructing Tangent Circles einfache Konstruktion der beiden Soddy Kreise isoperimetric and equal detour points interaktive Illustration auf Geogebratube La figure de Soddy Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Soddy Kreis amp oldid 227093092