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Sicherman Würfel nach dem Erfinder George Sicherman sind ein Paar von Spielwürfeln die so beschriftet sind dass jede mit

Sicherman-Würfel

Sicherman-Würfel (nach dem Erfinder George Sicherman) sind ein Paar von Spielwürfeln, die so beschriftet sind, dass jede mit diesem Paar gewürfelte Summe genauso häufig wie bei einem Paar gewöhnlicher Spielwürfel auftritt. Statt mit den Zahlen 1 bis 6 ist einer der Würfel mit 1, 2, 2, 3, 3, 4, der andere mit 1, 3, 4, 5, 6, 8 beschriftet.

Unter der Nebenbedingung, dass nur positive ganze Zahlen zugelassen sind, lässt sich nachweisen, dass diese Eigenschaft keine weitere Beschriftung von Würfeln erfüllt. Die Sicherman-Würfel wurden von Martin Gardner 1978 bekannt gemacht.

Nachweis der gleichen Häufigkeit Bearbeiten

Betrachtet man die 36 möglichen und gleichwahrscheinlichen Fälle des Würfelns mit zwei Würfeln, lässt sich leicht abzählen, dass alle Augensummen von 2 bis 12 gleich oft auftreten:

Sicherman-Würfel
+ 1 2 2 3 3 4
1 2 3 3 4 4 5
3 4 5 5 6 6 7
4 5 6 6 7 7 8
5 6 7 7 8 8 9
6 7 8 8 9 9 10
8 9 10 10 11 11 12
Gewöhnliche Würfel
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Man kann also in einem Spiel mit zwei gewöhnlichen Würfeln, in dem nur die Summe der gewürfelten Zahlen verwendet wird, ohne Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auch Sicherman-Würfel verwenden. Ein Pasch tritt mit Sichermann-Würfeln jedoch seltener auf.

Nachweis der Einzigartigkeit Bearbeiten

Ein Beweis dafür, dass keine weitere Beschriftung diese Eigenschaft hat, kann mit Hilfe der erzeugenden Funktion und der eindeutigen Primfaktorzerlegung in und Kreisteilungspolynome erbracht werden. Auch bei drei oder mehr Würfeln erhält man alle Lösungen, indem man ein oder mehrere Paare gewöhnlicher Würfel durch Sicherman-Würfel ersetzt. Wenn nicht nur positive ganze Zahlen zugelassen sind, erhält man alle Lösungen durch Subtraktion einer beliebigen Zahl bei allen Seiten des einen Würfels und Addition derselben Zahl bei allen Seiten des anderen Würfels eines Paars üblicher Spielwürfel oder der Sicherman-Würfel.

Literatur Bearbeiten

  • Martin Gardner: Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. W. H. Freeman & Co, New York 1989, ISBN 0-7167-1987-8.
  • Duane Broline: Renumbering the Faces of Dice. Mathematics Magazine 52, 1979, S. 312–315.
  • Joseph Gallian: Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice. Discrete Mathematics 27 (1979), S. 245–259.

Weblinks Bearbeiten

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Sicherman Wurfel nach dem Erfinder George Sicherman sind ein Paar von Spielwurfeln die so beschriftet sind dass jede mit diesem Paar gewurfelte Summe genauso haufig wie bei einem Paar gewohnlicher Spielwurfel auftritt Statt mit den Zahlen 1 bis 6 ist einer der Wurfel mit 1 2 2 3 3 4 der andere mit 1 3 4 5 6 8 beschriftet Unter der Nebenbedingung dass nur positive ganze Zahlen zugelassen sind lasst sich nachweisen dass diese Eigenschaft keine weitere Beschriftung von Wurfeln erfullt Die Sicherman Wurfel wurden von Martin Gardner 1978 bekannt gemacht Inhaltsverzeichnis 1 Nachweis der gleichen Haufigkeit 2 Nachweis der Einzigartigkeit 3 Literatur 4 WeblinksNachweis der gleichen Haufigkeit BearbeitenBetrachtet man die 36 moglichen und gleichwahrscheinlichen Falle des Wurfelns mit zwei Wurfeln lasst sich leicht abzahlen dass alle Augensummen von 2 bis 12 gleich oft auftreten Sicherman Wurfel 1 2 2 3 3 41 2 3 3 4 4 53 4 5 5 6 6 74 5 6 6 7 7 85 6 7 7 8 8 96 7 8 8 9 9 108 9 10 10 11 11 12 Gewohnliche Wurfel 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12Man kann also in einem Spiel mit zwei gewohnlichen Wurfeln in dem nur die Summe der gewurfelten Zahlen verwendet wird ohne Anderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auch Sicherman Wurfel verwenden Ein Pasch tritt mit Sichermann Wurfeln jedoch seltener auf Nachweis der Einzigartigkeit BearbeitenEin Beweis dafur dass keine weitere Beschriftung diese Eigenschaft hat kann mit Hilfe der erzeugenden Funktion x x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2 displaystyle x mapsto x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2 nbsp und der eindeutigen Primfaktorzerlegung x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 1 x x 2 1 x x 2 displaystyle x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 1 x x 2 1 x x 2 nbsp in x displaystyle x nbsp und Kreisteilungspolynome erbracht werden Auch bei drei oder mehr Wurfeln erhalt man alle Losungen indem man ein oder mehrere Paare gewohnlicher Wurfel durch Sicherman Wurfel ersetzt Wenn nicht nur positive ganze Zahlen zugelassen sind erhalt man alle Losungen durch Subtraktion einer beliebigen Zahl z displaystyle z nbsp bei allen Seiten des einen Wurfels und Addition derselben Zahl z displaystyle z nbsp bei allen Seiten des anderen Wurfels eines Paars ublicher Spielwurfel oder der Sicherman Wurfel Literatur BearbeitenMartin Gardner Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers W H Freeman amp Co New York 1989 ISBN 0 7167 1987 8 Duane Broline Renumbering the Faces of Dice Mathematics Magazine 52 1979 S 312 315 Joseph Gallian Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice Discrete Mathematics 27 1979 S 245 259 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Sicherman Dice In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sicherman Wurfel amp oldid 227854856