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Satz von der britischen Flagge Der engl British flag theorem ist eine Aussage in der Geometrie über die Verbindungsstrec

Satz von der britischen Flagge

Der Satz von der britischen Flagge (engl. British flag theorem) ist eine Aussage in der Geometrie über die Verbindungsstrecken eines Punktes zu den vier Ecken eines Rechtecks. Er besagt, dass die beiden Summen der quadrierten Verbindungsstrecken zu diagonal gegenüberliegenden Eckpunkten gleich sind.

Der Satz von der britischen Flagge besagt, dass die rote Fläche gleich groß wie die blaue Fläche ist
Satz von der britischen Flagge im Raum:
rote Fläche = blaue Fläche

Aussage Bearbeiten

Für ein Rechteck mit einem inneren Punkt gilt die folgende Gleichung:

Verallgemeinerungen und Erweiterungen Bearbeiten

rote Fläche = blaue Fläche, durch den Korrekturfaktor wird jeweils das zweite Quadrat in Richtung einer Seite gestreckt und damit zu einem Rechteck.

Der Satz bleibt gültig, wenn der Punkt außerhalb des Rechtecks liegt oder auf dessen Rand. Liegt der Punkt auf einem der Eckpunkte des Rechtecks, so besagt die Gleichung, dass die Fläche des Diagonalenquadrats des Rechtecks gleich der Summe der Flächen der beiden Seitenquadrate des Rechtecks ist, dies ist der Satz des Pythagoras. Damit lässt sich der Satz von der britischen Flagge auch als eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auffassen. Darüber hinaus bleibt die Aussage auch erhalten, wenn man den Punkt aus der Ebene heraus in den Raum verlegt, das heißt die obige Gleichung gilt für ein Rechteck und einen beliebigen Punkt im Raum.

Der Satz lässt sich zu einer Aussage über symmetrische Trapeze verallgemeinern, allerdings erfordert dies die Ergänzung eines Korrekturfaktors, der im Spezialfall der Rechtecke 1 beträgt. Genauer gilt für ein symmetrisches Trapez mit parallelen Seiten und , einem inneren Punkt und dem Korrekturfaktor die folgende Gleichung:

Auch in diesem Fall bleibt die Aussage gültig, wenn ein beliebiger Punkt in der Ebene oder im Raum ist und nicht notwendigerweise im Inneren des Trapezes liegt.

Beweis Bearbeiten

Skizze zum Beweis

Der Beweis ergibt sich direkt durch mehrfache Anwendung des Satzes von Pythagoras. Zunächst fällt man vom Punkt aus Lote auf alle vier Seiten des Rechtecks (siehe Zeichnung). Die Verbindungsstrecken , , und sind nun Hypotenusen rechtwinkliger Dreiecke, in denen man den Satz von Pythagoras anwenden kann, damit erhält man:

Für die Fälle, bei denen der Punkt nicht im Inneren des Rechtecks liegt, ergeben sich ähnliche Beweise anhand von Mehrfachanwendungen des pythagoräischen Lehrsatzes.

Namensgebung und Geschichte Bearbeiten

Der Union Jack, die Flagge des Vereinigten Königreichs.

Der Satz von der britischen Flagge findet sich bereits als namenlose Aussage in einer 1848 von Dionysius Lardner herausgegebenen kommentierten Ausgabe der ersten sechs Bücher der Elemente des Euklid. Dort steht in er einer Liste von zusätzlichen Aussagen, die sich dem zweiten Buch der Elemente ableiten lassen und von Lardner als nützlich und bemerkenswert bezeichnet werden. Der heutige Name des Satzes geht darauf zurück, dass die Zeichnung in der Skizze zum Beweis an die britische Flagge erinnert.

Literatur Bearbeiten

  • Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: An interesting application of the British flag theorem. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Band 4 (2015), Ausgabe 1, S. 31–34.
  • Martin Gardner, Dana Richards (Hrsg.): The Colossal Book of Short Puzzles and Problems. W. W. Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7, S. 147, 159 (Problem 6.16)
  • Euklid, Dionysius Lardner (Hrsg.): The First Six Books of the Elements of Euclid. John Taylor, London 1828, S. 85–87 (Online-Kopie im Internet Archive)
  • Quang Hung Tran: British flag theorem for isosceles trapezia. In: The Mathematical Gazette, Band 105, Ausgabe 564, November 2021
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Cornucopia of Quadrilaterals. AMS, 2020, ISBN 978-1-4704-5312-1, S. 179–180 (Challenges 8.2)

Weblinks Bearbeiten

Commons: British flag theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von der britischen Flagge engl British flag theorem ist eine Aussage in der Geometrie uber die Verbindungsstrecken eines Punktes zu den vier Ecken eines Rechtecks Er besagt dass die beiden Summen der quadrierten Verbindungsstrecken zu diagonal gegenuberliegenden Eckpunkten gleich sind Der Satz von der britischen Flagge besagt dass die rote Flache gleich gross wie die blaue Flache istSatz von der britischen Flagge im Raum rote Flache blaue Flache Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Verallgemeinerungen und Erweiterungen 3 Beweis 4 Namensgebung und Geschichte 5 Literatur 6 WeblinksAussage BearbeitenFur ein Rechteck A B C D displaystyle ABCD nbsp mit einem inneren Punkt P displaystyle P nbsp gilt die folgende Gleichung A P 2 P C 2 B P 2 P D 2 displaystyle AP 2 PC 2 BP 2 PD 2 nbsp Verallgemeinerungen und Erweiterungen Bearbeiten nbsp rote Flache blaue Flache durch den Korrekturfaktor wird jeweils das zweite Quadrat in Richtung einer Seite gestreckt und damit zu einem Rechteck Der Satz bleibt gultig wenn der Punkt P displaystyle P nbsp ausserhalb des Rechtecks liegt oder auf dessen Rand Liegt der Punkt P displaystyle P nbsp auf einem der Eckpunkte des Rechtecks so besagt die Gleichung dass die Flache des Diagonalenquadrats des Rechtecks gleich der Summe der Flachen der beiden Seitenquadrate des Rechtecks ist dies ist der Satz des Pythagoras Damit lasst sich der Satz von der britischen Flagge auch als eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auffassen Daruber hinaus bleibt die Aussage auch erhalten wenn man den Punkt P displaystyle P nbsp aus der Ebene heraus in den Raum verlegt das heisst die obige Gleichung gilt fur ein Rechteck und einen beliebigen Punkt im Raum Der Satz lasst sich zu einer Aussage uber symmetrische Trapeze verallgemeinern allerdings erfordert dies die Erganzung eines Korrekturfaktors der im Spezialfall der Rechtecke 1 betragt Genauer gilt fur ein symmetrisches Trapez A B C D displaystyle ABCD nbsp mit parallelen Seiten A B displaystyle AB nbsp und C D displaystyle CD nbsp einem inneren Punkt P displaystyle P nbsp und dem Korrekturfaktor A B C D displaystyle tfrac AB CD nbsp die folgende Gleichung A P 2 A B C D P C 2 B P 2 A B C D P D 2 displaystyle AP 2 frac AB CD cdot PC 2 BP 2 frac AB CD cdot PD 2 nbsp Auch in diesem Fall bleibt die Aussage gultig wenn P displaystyle P nbsp ein beliebiger Punkt in der Ebene oder im Raum ist und nicht notwendigerweise im Inneren des Trapezes liegt Beweis Bearbeiten nbsp Skizze zum BeweisDer Beweis ergibt sich direkt durch mehrfache Anwendung des Satzes von Pythagoras Zunachst fallt man vom Punkt P displaystyle P nbsp aus Lote auf alle vier Seiten des Rechtecks siehe Zeichnung Die Verbindungsstrecken A P displaystyle AP nbsp P C displaystyle PC nbsp B P displaystyle BP nbsp und P D displaystyle PD nbsp sind nun Hypotenusen rechtwinkliger Dreiecke in denen man den Satz von Pythagoras anwenden kann damit erhalt man A P 2 P C 2 a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 d 2 b 2 c 2 B P 2 P D 2 displaystyle begin aligned AP 2 PC 2 amp a 2 c 2 b 2 d 2 amp a 2 d 2 b 2 c 2 amp BP 2 PD 2 end aligned nbsp Fur die Falle bei denen der Punkt nicht im Inneren des Rechtecks liegt ergeben sich ahnliche Beweise anhand von Mehrfachanwendungen des pythagoraischen Lehrsatzes Namensgebung und Geschichte Bearbeiten nbsp Der Union Jack die Flagge des Vereinigten Konigreichs Der Satz von der britischen Flagge findet sich bereits als namenlose Aussage in einer 1848 von Dionysius Lardner herausgegebenen kommentierten Ausgabe der ersten sechs Bucher der Elemente des Euklid Dort steht in er einer Liste von zusatzlichen Aussagen die sich dem zweiten Buch der Elemente ableiten lassen und von Lardner als nutzlich und bemerkenswert bezeichnet werden Der heutige Name des Satzes geht darauf zuruck dass die Zeichnung in der Skizze zum Beweis an die britische Flagge erinnert Literatur BearbeitenNguyen Minh Ha Dao Thanh Oai An interesting application of the British flag theorem Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries Band 4 2015 Ausgabe 1 S 31 34 Martin Gardner Dana Richards Hrsg The Colossal Book of Short Puzzles and Problems W W Norton 2006 ISBN 978 0 393 06114 7 S 147 159 Problem 6 16 Euklid Dionysius Lardner Hrsg The First Six Books of the Elements of Euclid John Taylor London 1828 S 85 87 Online Kopie im Internet Archive Quang Hung Tran British flag theorem for isosceles trapezia In The Mathematical Gazette Band 105 Ausgabe 564 November 2021 Claudi Alsina Roger B Nelsen A Cornucopia of Quadrilaterals AMS 2020 ISBN 978 1 4704 5312 1 S 179 180 Challenges 8 2 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons British flag theorem Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien interaktive Illustration des Satzes von der britischen Flagge fur Rechtecke und fur symmetrische Trapeze British Flag Theorem auf artofproblemsolving com Can You Solve Microsoft s Rectangle Corners Interview Question Video englisch 5 41 Min Puzzle 170 Rectangle and the Oil Well Anwendung des Satzes von der britischen Flagge entspricht Problem 6 16 bei Gardner Harvard MIT Mathematics Tournament 2003 Problem 28 ist eine Anwendung des Satzes von der britischen Flagge Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von der britischen Flagge amp oldid 237303115