Der Satz von Mertens nach Franz Mertens ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis der eine Aussage uber die Konvergenz eines Cauchy Produkts zweier Reihen liefert Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Beweis 3 Das Cauchy Produkt unter bedingter Konvergenz 4 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenSind A k 0 a k displaystyle textstyle A sum k 0 infty a k nbsp und B k 0 b k displaystyle textstyle B sum k 0 infty b k nbsp konvergente Reihen wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert so konvergiert das Cauchy Produkt k 0 c k displaystyle textstyle sum k 0 infty c k nbsp wobei c k j 0 k a j b k j displaystyle textstyle c k sum j 0 k a j b k j nbsp ist gegen A B displaystyle AB nbsp Beweis BearbeitenOhne Einschrankung sei A displaystyle A nbsp die absolut konvergente Reihe Zu zeigen ist nun dass die Partialsumme S n k 0 n c k displaystyle textstyle S n sum k 0 n c k nbsp gegen A B displaystyle AB nbsp konvergiert Im Folgenden sei A n k 0 n a k displaystyle textstyle A n sum k 0 n a k nbsp und B n k 0 n b k displaystyle textstyle B n sum k 0 n b k nbsp nbsp CauchyproduktA B displaystyle AB nbsp lasst sich schreiben als A A n B k 0 n a k B displaystyle textstyle A A n B sum k 0 n a k B nbsp S n displaystyle S n nbsp lasst sich schreiben als k 0 n a k B n k displaystyle textstyle sum k 0 n a k B n k nbsp Die Differenzbildung 1 2 ergibt A B S n A A n B k 0 n a k B B n k displaystyle AB S n A A n B sum k 0 n a k B B n k nbsp Dabei konvergiert A A n B displaystyle A A n B nbsp gegen Null und mit N n 2 displaystyle N left lfloor tfrac n 2 right rfloor nbsp lasst sich letzte Reihe aufspalten zu k 0 N a k B B n k P n k N 1 n a k B B n k Q n displaystyle underbrace sum k 0 N a k B B n k P n underbrace sum k N 1 n a k B B n k Q n nbsp Es gilt P n k 0 N a k B B n k max N k n B B k k 0 N a k 0 displaystyle P n leq sum k 0 N a k cdot B B n k leq max N leq k leq n B B k sum k 0 N a k to 0 nbsp denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschrankten Folge Da die Nullfolge B B k displaystyle B B k nbsp beschrankt sein muss gibt es ein C gt 0 displaystyle C gt 0 nbsp mit B B k lt C k N displaystyle B B k lt C quad forall k in mathbb N nbsp Daher ist Q n k N 1 n a k B B n k C k N 1 n a k 0 displaystyle Q n leq sum k N 1 n a k cdot B B n k leq C sum k N 1 n a k to 0 nbsp nach dem Cauchy Kriterium Also gilt A B S n 0 displaystyle AB S n to 0 nbsp woraus unmittelbar S n A B displaystyle S n to AB nbsp folgt Das Cauchy Produkt unter bedingter Konvergenz BearbeitenSind beide Ausgangsreihen nur bedingt konvergent dann muss das Cauchy Produkt nicht konvergieren wie das Beispiel 1 zeigt Das Cauchy Produkt der Reihen A B displaystyle A B nbsp mit a k b k 1 k k 1 displaystyle a k b k tfrac 1 k sqrt k 1 nbsp konvergiert nicht siehe Cauchy Produktformel Eine divergente Reihe Hardy 2 zeigte allerdings dass das Cauchy Produkt auch fur zwei nur bedingt konvergente Reihen konvergiert wenn die Folgen a k k displaystyle a k cdot k nbsp und b k k displaystyle b k cdot k nbsp beschrankt sind Fur die bekanntermassen nicht absolut konvergenten Ausgangsreihen A B n 0 1 n 1 2 n 1 displaystyle A B sum n 0 infty 1 n frac 1 2n 1 nbsp mit Wert p 4 displaystyle tfrac pi 4 nbsp ist das Cauchy Produkt also konvergent mit Wert p 2 16 displaystyle tfrac pi 2 16 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Konrad Konigsberger Analysis 1 5 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 3 540 41282 4 S 74 Ende von Abschnitt 6 3 The Multiplication of Conditionally Convergent Series G H Hardy Proceedings of the London Mathematical Society Volume s2 6 Issue 1 1908 Pages 410 423 doi 10 1112 plms s2 6 1 410 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Mertens Cauchy Produkt amp oldid 227991481
