www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Kronecker Körpertheorie Der Satz von Kronecker englisch Kronecker s theorem der Körpertheorie ist einer der Leh

Satz von Kronecker (Körpertheorie)

Der Satz von Kronecker (englisch Kronecker's theorem) der Körpertheorie ist einer der Lehrsätze des Mathematikers Leopold Kronecker, welche innerhalb der Algebra angesiedelt sind. Der Satz behandelt die Frage der Existenz von Nullstellen von Polynomen über kommutativen Körpern und ist als solcher grundlegend in der Theorie der Zerfällungskörper.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:

erfüllt sind.
(2) Zu jedem nichtkonstanten Polynom über einem kommutativen Körper gibt es stets eine endliche Körpererweiterung , in der eine Nullstelle hat und deren Erweiterungsgrad in Bezug auf den Grad des Polynoms die Ungleichung erfüllt.

Folgerung Bearbeiten

Der kroneckersche Satz zieht das folgende Resultat nach sich:

Quellen Bearbeiten

  • R B J T Allenby: Rings, Fields and Groups. An Introduction to Abstract Algebra. 2. Auflage. Arnold, London (u. a.) 1991 (MR1144518).
  • E. Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Berlin (u. a.) 1968.
  • P. M. Cohn: Algebra. Volume 2. 9. Auflage. John Wiley & Sons, London (u. a.) 1989, ISBN 0-471-92234-X (MR1006872).
  • Kurt Meyberg: Algebra. Teil 2 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, Wien 1976, ISBN 3-446-12172-2 (MR0460011).
  • B. L. van der Waerden: Algebra I. 9. Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1993, ISBN 3-540-56799-2.

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. Allenby: Rings, Fields and Groups. 1991, S. 140 ff
  2. Artin: Galoissche Theorie. 1968, S. 24 ff
  3. Cohn: Algebra vol. 2. 1989, S. 69 ff
  4. Meyberg: Algebra. Teil 2. 1975, S. 28 ff
  5. Das Ausrufezeichen steht für die Fakultätsfunktion.
  6. Wie sich zeigt, ist der Zerfällungskörper bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Kronecker englisch Kronecker s theorem der Korpertheorie ist einer der Lehrsatze des Mathematikers Leopold Kronecker welche innerhalb der Algebra angesiedelt sind Der Satz behandelt die Frage der Existenz von Nullstellen von Polynomen uber kommutativen Korpern und ist als solcher grundlegend in der Theorie der Zerfallungskorper 1 2 3 4 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Folgerung 3 Quellen 4 Einzelnachweise und FussnotenFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich zusammengefasst formulieren wie folgt 1 Zu einem beliebigen irreduziblen Polynom p K X displaystyle p in K X nbsp uber einem kommutativen Korper K displaystyle K nbsp lasst sich stets eine endliche Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp finden in der p displaystyle p nbsp eine Nullstelle hat und deren Erweiterungsgrad mit dem Grad des Polynoms ubereinstimmt also derart dass stets die Gleichungen 1a p x0 0 displaystyle p x 0 0 nbsp fur mindestens ein x0 L displaystyle x 0 in L nbsp 1b L K deg p displaystyle L K deg p nbsp dd erfullt sind 2 Zu jedem nichtkonstanten Polynom f K X displaystyle f in K X nbsp uber einem kommutativen Korper K displaystyle K nbsp gibt es stets eine endliche Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp in der f displaystyle f nbsp eine Nullstelle hat und deren Erweiterungsgrad in Bezug auf den Grad des Polynoms die Ungleichung L K deg f displaystyle L K leq deg f nbsp erfullt Folgerung BearbeitenDer kroneckersche Satz zieht das folgende Resultat nach sich Zu jedem kommutativen Korper K displaystyle K nbsp und jedem Polynom f K X displaystyle f in K X nbsp existiert ein Zerfallungskorper Sf K displaystyle S f K nbsp fur dessen Erweiterungsgrad in Bezug auf den Grad des Polynoms die Ungleichung Sf K deg f displaystyle S f K leq deg f nbsp besteht 5 6 Quellen BearbeitenR B J T Allenby Rings Fields and Groups An Introduction to Abstract Algebra 2 Auflage Arnold London u a 1991 MR1144518 E Artin Galoissche Theorie Verlag Harri Deutsch Berlin u a 1968 P M Cohn Algebra Volume 2 9 Auflage John Wiley amp Sons London u a 1989 ISBN 0 471 92234 X MR1006872 Kurt Meyberg Algebra Teil 2 Mathematische Grundlagen fur Mathematiker Physiker und Ingenieure Carl Hanser Verlag Wien 1976 ISBN 3 446 12172 2 MR0460011 B L van der Waerden Algebra I 9 Auflage Springer Verlag Berlin u a 1993 ISBN 3 540 56799 2 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten Allenby Rings Fields and Groups 1991 S 140 ff Artin Galoissche Theorie 1968 S 24 ff Cohn Algebra vol 2 1989 S 69 ff Meyberg Algebra Teil 2 1975 S 28 ff Das Ausrufezeichen steht fur die Fakultatsfunktion Wie sich zeigt ist der Zerfallungskorper Sf displaystyle S f nbsp bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kronecker Korpertheorie amp oldid 227652477