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Satz von Kakutani Maßtheorie Der Satz von Kakutani ist ein Resultat aus der Maßtheorie über die Äquivalenz und Singulari

Satz von Kakutani (Maßtheorie)

Der Satz von Kakutani ist ein Resultat aus der Maßtheorie über die Äquivalenz und Singularität zweier abzählbar unendlicher Produkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Seien und die beiden Produktmaße, dann liefert der Satz eine Bedingung, wann die beiden Produktmaße entweder äquivalent (d. h. sie teilen die gleichen Nullmengen) oder singulär sind.

Die Aussage besitzt eine wichtige Bedeutung in der Stochastik in unendlicher Dimension, weil sie eine Bedingung für einen Maßwechsel auf Funktionenräumen liefert. Der Satz wurde 1948 von dem japanischen Mathematiker Shizuo Kakutani bewiesen.

Satz von Kakutani Bearbeiten

Die Grundbegriffe Äquivalenz und Singularität werden nochmals wiederholt, ansonsten sollte man zum Abschnitt Vorbereitung springen.

Äquivalenz und Singularität Bearbeiten

Sei ein messbarer Raum und zwei Maße darauf. Äquivalenz der Maße ist definiert als

wobei absolute Stetigkeit bedeutet. Singularität der Maße ist definiert als

Vorbereitung Bearbeiten

Sei eine Folge von Wahrscheinlichkeitsräumen, bestehend aus einer Menge , einer σ-Algebra und zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen und darauf. Weiter definieren wir nun die abzählbar unendlichen Produkte der vier Komponenten

d. h. sind beide auf definiert. Weiter definieren wir folgendes inneres Produkt

welches mit dem Hellinger-Integral übereinstimmt, sowie die logarithmische Transformation

Bemerkung Bearbeiten

  • Gemeint ist hier, dass wir auch unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsräume in der Folge haben können, dass heißt zum Beispiel können und für unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsmaße sein.

Satz von Kakutani Bearbeiten

Falls für alle dann gilt entweder

oder

Weiter gilt zusätzlich (in beiden Fällen):

Erläuterungen Bearbeiten

  • Die Bedingung muss nur für die Wahrscheinlichkeitsmaße auf demselben Raum gelten, allerdings für alle Räume.
  • Damit somit gilt, muss zusätzlich auch konvergieren (d. h. ungleich von Null sein).

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Es existieren Verallgemeinerungen für Riesz-Produkte.

Literatur Bearbeiten

  • Shizuo Kakutani: On Equivalence of Infinite Product Measures. In: Annals of Mathematics. Band 49, Nr. 1, 1948, S. 214–224, doi:10.2307/1969123 (englisch).
  • H. D. Brunk: Note on a Theorem of Kakutani. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 1, Nr. 3, 1950, S. 409–414, doi:10.2307/2032395 (englisch).
  • Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 1-4704-1869-X (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Shizuo Kakutani: On Equivalence of Infinite Product Measures. In: Annals of Mathematics. Band 49, Nr. 1, 1948, S. 214–224, doi:10.2307/1969123.
  2. Shizuo Kakutani: On Equivalence of Infinite Product Measures. In: Annals of Mathematics. Band 49, Nr. 1, 1948, S. 217–218, doi:10.2307/1969123.
  3. A. V. Skorokhod und V. Skorokhod: Basic Principles and Applications of Probability Theory. Hrsg.: Physica-Verlag. 2005, S. 88–89.
  4. G. Ritter: On dichotomy of Riesz products. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 85, Nr. 1, 1979, S. 79–89, doi:10.1017/S0305004100055523.
  5. G.brown und Anthony Dooley: Dichotomy theorems for G-measures. In: International Journal of Mathematics. Band 5, Nr. 6, 1994, S. 827–834, doi:10.1142/S0129167X94000413.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Kakutani ist ein Resultat aus der Masstheorie uber die Aquivalenz und Singularitat zweier abzahlbar unendlicher Produkte von Wahrscheinlichkeitsmassen Seien m displaystyle mu und n displaystyle nu die beiden Produktmasse dann liefert der Satz eine Bedingung wann die beiden Produktmasse entweder aquivalent m n displaystyle mu sim nu d h sie teilen die gleichen Nullmengen oder singular m n displaystyle mu perp nu sind Die Aussage besitzt eine wichtige Bedeutung in der Stochastik in unendlicher Dimension weil sie eine Bedingung fur einen Masswechsel auf Funktionenraumen liefert Der Satz wurde 1948 von dem japanischen Mathematiker Shizuo Kakutani bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Kakutani 1 1 Aquivalenz und Singularitat 1 2 Vorbereitung 1 2 1 Bemerkung 1 3 Satz von Kakutani 1 3 1 Erlauterungen 2 Verallgemeinerungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseSatz von Kakutani BearbeitenDie Grundbegriffe Aquivalenz und Singularitat werden nochmals wiederholt ansonsten sollte man zum Abschnitt Vorbereitung springen Aquivalenz und Singularitat Bearbeiten Sei W A displaystyle Omega mathcal A nbsp ein messbarer Raum und m n displaystyle mu nu nbsp zwei Masse darauf Aquivalenz der Masse ist definiert als m n m n displaystyle mu sim nu iff mu ll nu nbsp und n m displaystyle nu ll mu nbsp wobei displaystyle ll nbsp absolute Stetigkeit bedeutet Singularitat der Masse ist definiert als m n displaystyle mu perp nu iff nbsp falls zwei disjunkte Mengen A B displaystyle A B nbsp existieren so dass W A B displaystyle Omega A cup B nbsp mit m A 0 displaystyle mu A 0 nbsp und n B 0 displaystyle nu B 0 nbsp Vorbereitung Bearbeiten Sei W n B n m n n n n N displaystyle Omega n mathcal B n mu n nu n n in mathbb N nbsp eine Folge von Wahrscheinlichkeitsraumen bestehend aus einer Menge W n displaystyle Omega n nbsp einer s Algebra B n displaystyle mathcal B n nbsp und zwei Wahrscheinlichkeitsmassen m n displaystyle mu n nbsp und n n displaystyle nu n nbsp darauf Weiter definieren wir 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Falls n n m n displaystyle nu n sim mu n nbsp fur alle n 1 2 displaystyle n 1 2 dots nbsp dann gilt entweder 2 3 n m displaystyle nu sim mu quad nbsp und n 1 f n n m n gt 0 displaystyle quad prod limits n 1 infty varphi nu n mu n gt 0 nbsp oder n m displaystyle nu perp mu quad nbsp und n 1 f n n m n 0 displaystyle quad prod limits n 1 infty varphi nu n mu n 0 nbsp Weiter gilt zusatzlich in beiden Fallen f n m n 1 f n n m n displaystyle varphi nu mu prod limits n 1 infty varphi nu n mu n quad nbsp und s n m n 1 s n n m n displaystyle quad sigma nu mu sum n 1 infty sigma nu n mu n nbsp Erlauterungen Bearbeiten Die Bedingung n n m n displaystyle nu n sim mu n nbsp muss nur fur die Wahrscheinlichkeitsmasse auf demselben Raum gelten allerdings fur alle Raume Damit somit n m displaystyle nu sim mu nbsp gilt muss zusatzlich auch n 1 f n n m n displaystyle prod limits n 1 infty varphi nu n mu n nbsp konvergieren d h ungleich von Null sein Verallgemeinerungen BearbeitenEs existieren Verallgemeinerungen fur Riesz Produkte 4 5 Literatur BearbeitenShizuo Kakutani On Equivalence of Infinite Product Measures In Annals of Mathematics Band 49 Nr 1 1948 S 214 224 doi 10 2307 1969123 englisch H D Brunk Note on a Theorem of Kakutani In Proceedings of the American Mathematical Society Band 1 Nr 3 1950 S 409 414 doi 10 2307 2032395 englisch Wladimir I Bogatschow Gaussian Measures Hrsg American Mathematical Society 1998 ISBN 1 4704 1869 X englisch Einzelnachweise Bearbeiten Shizuo Kakutani On Equivalence of Infinite Product Measures In Annals of Mathematics Band 49 Nr 1 1948 S 214 224 doi 10 2307 1969123 Shizuo Kakutani On Equivalence of Infinite Product Measures In Annals of Mathematics Band 49 Nr 1 1948 S 217 218 doi 10 2307 1969123 A V Skorokhod und V Skorokhod Basic Principles and Applications of Probability Theory Hrsg Physica Verlag 2005 S 88 89 G Ritter On dichotomy of Riesz products In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Band 85 Nr 1 1979 S 79 89 doi 10 1017 S0305004100055523 G brown und Anthony Dooley Dichotomy theorems for G measures In International Journal of Mathematics Band 5 Nr 6 1994 S 827 834 doi 10 1142 S0129167X94000413 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kakutani Masstheorie amp oldid 240163032