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Satz von Forster Swan Der ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra welches eine obere Schranke für die minimale Anz

Satz von Forster-Swan

Der Satz von Forster-Swan ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra, welches eine obere Schranke für die minimale Anzahl der Erzeuger eines endlich erzeugten Moduls über einem kommutativen noetherschen Ring angibt. Das Besondere an der Aussage liegt darin, dass man, um die Schranke zu bilden, nur die minimale Anzahl der Erzeuger aller Lokalisierungen benötigt, was in der Regel viel einfacher zu berechnen ist.

Der Satz wurde 1964 in einer restriktiveren Form von Otto Forster bewiesen und schließlich 1967 von Richard G. Swan verallgemeinert.

Satz von Forster-Swan Bearbeiten

Sei

  • ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement,
  • ein endlich-erzeugter -Modul,
  • ein Primideal von .
  • sind die minimale Anzahl an Erzeugern um den -Modul resp. den -Modul zu erzeugen.

Um zu berechnen, genügt es nach dem Lemma von Nakayama, die Dimension des Raumes über dem Körper zu berechnen, das heißt

Aussage Bearbeiten

Definiere die lokale -Schranke

dann gilt

Literatur Bearbeiten

  • R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005.
  • R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Otto Forster: Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring. In: Mathematische Zeitschrift. Band 84, 1964, S. 80–87, doi:10.1007/BF01112211.
  2. R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).
  3. R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005, S. 221.
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Der Satz von Forster Swan ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra welches eine obere Schranke fur die minimale Anzahl der Erzeuger eines endlich erzeugten Moduls M displaystyle M uber einem kommutativen noetherschen Ring angibt Das Besondere an der Aussage liegt darin dass man um die Schranke zu bilden nur die minimale Anzahl der Erzeuger aller Lokalisierungen M p displaystyle M mathfrak p benotigt was in der Regel viel einfacher zu berechnen ist Der Satz wurde 1964 1 in einer restriktiveren Form von Otto Forster bewiesen und schliesslich 1967 2 von Richard G Swan verallgemeinert Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Forster Swan 1 1 Aussage 2 Literatur 3 EinzelnachweiseSatz von Forster Swan BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement M displaystyle M nbsp ein endlich erzeugter R displaystyle R nbsp Modul p displaystyle mathfrak p nbsp ein Primideal von R displaystyle mathbb R nbsp m M m p M displaystyle mu M mu mathfrak p M nbsp sind die minimale Anzahl an Erzeugern um den R displaystyle R nbsp Modul M displaystyle M nbsp resp den R p displaystyle R mathfrak p nbsp Modul M p displaystyle M mathfrak p nbsp zu erzeugen Um m p M displaystyle mu mathfrak p M nbsp zu berechnen genugt es nach dem Lemma von Nakayama die Dimension des Raumes M p p M displaystyle M mathfrak p mathfrak p M nbsp uber dem Korper k p R p p R p displaystyle k mathfrak p R mathfrak p mathfrak p R mathfrak p nbsp zu berechnen das heisst m p M dim k p M p p M displaystyle mu mathfrak p M operatorname dim k mathfrak p M mathfrak p mathfrak p M nbsp Aussage Bearbeiten Definiere die lokale p displaystyle mathfrak p nbsp Schranke b p M m p M dim R p displaystyle b mathfrak p M mu mathfrak p M operatorname dim R mathfrak p nbsp dann gilt 3 m M sup p b p M p ist prim M p 0 displaystyle mu M leq sup mathfrak p b mathfrak p M mathfrak p text ist prim M mathfrak p neq 0 nbsp Literatur BearbeitenR A Rao und F Ischebeck Ideals and Reality Projective Modules and Number of Generators of Ideals Hrsg Physica Verlag Deutschland 2005 R G Swan The number of generators of a module In Math Mathematische Zeitschrift Band 102 1967 S 318 322 eudml org Einzelnachweise Bearbeiten Otto Forster Uber die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring In Mathematische Zeitschrift Band 84 1964 S 80 87 doi 10 1007 BF01112211 R G Swan The number of generators of a module In Math Mathematische Zeitschrift Band 102 1967 S 318 322 eudml org R A Rao und F Ischebeck Ideals and Reality Projective Modules and Number of Generators of Ideals Hrsg Physica Verlag Deutschland 2005 S 221 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Forster Swan amp oldid 239339875