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Satz von Cochran In der Statistik wird der in der Varianzanalyse verwendet Der Satz geht auf den schottischen Mathematik

Satz von Cochran

In der Statistik wird der Satz von Cochran in der Varianzanalyse verwendet. Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker William Gemmell Cochran zurück.

Man nimmt an seien stochastisch unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, und es gilt

wobei jedes die Summe der Quadrate von Linearkombinationen der s darstellt. Ferner nimmt man an, dass

wobei der Rang von ist. Der Satz von Cochran besagt, dass die unabhängig sind mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden.

Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des Satzes von Fisher.

Beispiel Bearbeiten

Falls unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Standardabweichung sind, dann gilt

ist standardnormalverteilt für jedes .

Jetzt kann man folgendes schreiben

Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit multiplizieren und beachten, dass gilt

und erweitert, um zu zeigen

Der dritte Term ist null, weil der Faktor

ist, und der zweite Term besteht nur aus identischen Termen, die zusammengefügt wurden.

Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch , dann erhält man:

Jetzt ist der Rang von gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von ist gleich , und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.

Der Satz von Cochran besagt dann, dass und unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit und Freiheitsgrad.

Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt

Um die unbekannte Varianz der Grundgesamtheit zu schätzen, wird ein häufig verwendeter Schätzer benutzt

Der Satz von Cochran zeigt, dass

was zeigt, dass der Erwartungswert von gleich ist.

Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von , und weil sie unabhängig sind, erhält man

wobei die F-Verteilung mit und Freiheitsgraden darstellt (siehe auch Studentsche t-Verteilung).

Literatur Bearbeiten

  • Cochran, W. G.: The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178–191, 1934.
  • Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models. Zweite Auflage (1990). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9
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In der Statistik wird der Satz von Cochran in der Varianzanalyse verwendet Der Satz geht auf den schottischen Mathematiker William Gemmell Cochran zuruck Man nimmt an U 1 U n displaystyle U 1 dots U n seien stochastisch unabhangige standardnormalverteilte Zufallsvariablen und es gilt i 1 n U i 2 Q 1 Q k displaystyle sum i 1 n U i 2 Q 1 cdots Q k wobei jedes Q i displaystyle Q i die Summe der Quadrate von Linearkombinationen der U displaystyle U s darstellt Ferner nimmt man an dass r 1 r k n displaystyle r 1 cdots r k n wobei r i displaystyle r i der Rang von Q i displaystyle Q i ist Der Satz von Cochran besagt dass die Q i displaystyle Q i unabhangig sind mit einer Chi Quadrat Verteilung mit r i displaystyle r i Freiheitsgraden Der Satz von Cochran ist die Umkehrung des Satzes von Fisher Beispiel BearbeitenFalls X 1 X n displaystyle X 1 dots X n nbsp unabhangige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und Standardabweichung s displaystyle sigma nbsp sind dann gilt U i X i m s displaystyle U i X i mu sigma nbsp ist standardnormalverteilt fur jedes i displaystyle i nbsp Jetzt kann man folgendes schreiben i 1 n U i 2 i 1 n X i X s 2 n X m s 2 displaystyle sum i 1 n U i 2 sum limits i 1 n left frac X i overline X sigma right 2 n left frac overline X mu sigma right 2 nbsp Damit man diese Identitat erkennt muss man auf beiden Seiten mit s displaystyle sigma nbsp multiplizieren und beachten dass gilt i 1 n X i m 2 i 1 n X i X X m 2 displaystyle sum i 1 n X i mu 2 sum i 1 n X i overline X overline X mu 2 nbsp und erweitert um zu zeigen i 1 n X i X 2 i 1 n X m 2 2 i 1 n X i X X m displaystyle sum i 1 n X i overline X 2 sum i 1 n overline X mu 2 2 sum i 1 n X i overline X overline X mu nbsp Der dritte Term ist null weil der Faktor i 1 n X X i 0 displaystyle sum i 1 n overline X X i 0 nbsp ist und der zweite Term besteht nur aus n displaystyle n nbsp identischen Termen die zusammengefugt wurden Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschliessend durch s 2 displaystyle sigma 2 nbsp dann erhalt man i 1 n X i m s 2 i 1 n X i X s 2 n X m s 2 Q 1 Q 2 displaystyle sum i 1 n left frac X i mu sigma right 2 sum i 1 n left frac X i overline X sigma right 2 n left frac overline X mu sigma right 2 Q 1 Q 2 nbsp Jetzt ist der Rang von Q 2 displaystyle Q 2 nbsp gerade gleich 1 es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen Der Rang von Q 1 displaystyle Q 1 nbsp ist gleich n 1 displaystyle n 1 nbsp und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfullt Der Satz von Cochran besagt dann dass Q 1 displaystyle Q 1 nbsp und Q 2 displaystyle Q 2 nbsp unabhangig sind mit einer Chi Quadrat Verteilung mit n 1 displaystyle n 1 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp Freiheitsgrad Dies zeigt dass der Mittelwert und die Varianz unabhangig sind Ferner gilt X m 2 s 2 n x 1 2 displaystyle overline X mu 2 sim frac sigma 2 n chi 1 2 nbsp Um die unbekannte Varianz der Grundgesamtheit s 2 displaystyle sigma 2 nbsp zu schatzen wird ein haufig verwendeter Schatzer benutzt s 2 1 n i 1 n X i X 2 displaystyle hat sigma 2 frac 1 n sum i 1 n left X i overline X right 2 nbsp Der Satz von Cochran zeigt dass s 2 s 2 n x n 1 2 displaystyle hat sigma 2 sim frac sigma 2 n chi n 1 2 nbsp was zeigt dass der Erwartungswert von s 2 displaystyle hat sigma 2 nbsp gleich s 2 n 1 n displaystyle sigma 2 frac n 1 n nbsp ist Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp Daher ist ihr Verhaltnis unabhangig von s 2 displaystyle sigma 2 nbsp und weil sie unabhangig sind erhalt man X m 2 1 n i 1 n X i X 2 F 1 n displaystyle frac left overline X mu right 2 frac 1 n sum i 1 n left X i overline X right 2 sim F 1 n nbsp wobei F 1 n displaystyle F 1 n nbsp die F Verteilung mit 1 displaystyle 1 nbsp und n displaystyle n nbsp Freiheitsgraden darstellt siehe auch Studentsche t Verteilung Literatur BearbeitenCochran W G The distribution of quadratic forms in a normal system with applications to the analysis of covariance Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 2 178 191 1934 Bapat R B Linear Algebra and Linear Models Zweite Auflage 1990 Springer ISBN 978 0 387 98871 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cochran amp oldid 193761602