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Satz von Carnot Lote Der Satz von Carnot nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot liefert eine notwendige und hinreichende

Satz von Carnot (Lote)

Der Satz von Carnot (nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot) liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, ob sich drei Geraden, die auf den drei (verlängerten) Seiten eines Dreiecks senkrecht stehen, in einem Punkt schneiden. Darüber hinaus lässt er sich auch als eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auffassen.

Satz von Carnot für Lote auf Dreiecksseiten:
blaue Fläche = rote Fläche

Aussage Bearbeiten

Zu einem Dreieck mit Seiten seien drei Geraden gegeben, die je auf einer (verlängerten) Dreiecksseite senkrecht stehen und die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Bezeichnet man die Fußpunkte auf den (verlängerten) Dreieckseiten mit , dann gilt die folgende Gleichung:

Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes, das heißt: Erfüllen die Fußpunkte dreier Senkrechten die obige Gleichung, so schneiden sich diese in einem gemeinsamen Punkt.

Spezialfälle Bearbeiten

Besitzt das Dreieck einen rechten Winkel in und liegt der Schnittpunkt auf einem der beiden Eckpunkte oder , so erhält man den Satz des Pythagoras. Liegt zum Beispiel auf , dann gilt , , , , und und die obige Gleichung liefert .

Sind die drei Geraden die Mittelsenkrechten, so gilt , und . Daher besteht obige Gleichung und wir erhalten als Spezialfall den Satz, dass sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Sind die drei Geraden die Verlängerungen der Dreieckshöhen, so laufen die Geraden durch die Eckpunkte. Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras die Gleichungen und liefert, und durch Differenzbildung folgt . Genauso bzw. durch gedankliche Drehung des Dreiecks folgen die Beziehungen und . Addiert man diese drei Beziehungen, so erhält man

das heißt, es besteht die Gleichung aus obigem Satz. Man erhält also auch den Satz vom Höhenschnittpunkt als Spezialfall des Satzes von Carnot.

Literatur Bearbeiten

  • Martin Wohlgemuth (Hrsg.): Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger. Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet. Springer, 2010, ISBN, 9783827426079, S. 273–276.
  • Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind: Challenging Problems in Geometry. Dover, New York: Dover, 1966, S. 85–86

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Carnot nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung dafur ob sich drei Geraden die auf den drei verlangerten Seiten eines Dreiecks senkrecht stehen in einem Punkt schneiden Daruber hinaus lasst er sich auch als eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auffassen Satz von Carnot fur Lote auf Dreiecksseiten blaue Flache rote Flache Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Spezialfalle 3 Literatur 4 WeblinksAussage BearbeitenZu einem Dreieck A B C displaystyle triangle ABC nbsp mit Seiten a b c displaystyle a b c nbsp seien drei Geraden gegeben die je auf einer verlangerten Dreiecksseite senkrecht stehen und die sich in einem gemeinsamen Punkt F displaystyle F nbsp schneiden Bezeichnet man die Fusspunkte auf den verlangerten Dreieckseiten a b c displaystyle a b c nbsp mit P a P b P a displaystyle P a P b P a nbsp dann gilt die folgende Gleichung A P c 2 B P a 2 C P b 2 B P c 2 C P a 2 A P b 2 displaystyle AP c 2 BP a 2 CP b 2 BP c 2 CP a 2 AP b 2 nbsp Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes das heisst Erfullen die Fusspunkte dreier Senkrechten die obige Gleichung so schneiden sich diese in einem gemeinsamen Punkt Spezialfalle BearbeitenBesitzt das Dreieck A B C displaystyle triangle ABC nbsp einen rechten Winkel in C displaystyle C nbsp und liegt der Schnittpunkt F displaystyle F nbsp auf einem der beiden Eckpunkte A displaystyle A nbsp oder B displaystyle B nbsp so erhalt man den Satz des Pythagoras Liegt zum Beispiel F displaystyle F nbsp auf A displaystyle A nbsp dann gilt A P b 0 displaystyle AP b 0 nbsp A P c 0 displaystyle AP c 0 nbsp C P a 0 displaystyle CP a 0 nbsp C P b b displaystyle CP b b nbsp B P a a displaystyle BP a a nbsp und B P c c displaystyle BP c c nbsp und die obige Gleichung liefert a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp Sind die drei Geraden die Mittelsenkrechten so gilt A P c B P c displaystyle AP c BP c nbsp B P a C P a displaystyle BP a CP a nbsp und C P b A P b displaystyle CP b AP b nbsp Daher besteht obige Gleichung und wir erhalten als Spezialfall den Satz dass sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden Sind die drei Geraden die Verlangerungen der Dreieckshohen so laufen die Geraden durch die Eckpunkte Die Hohe C P c displaystyle CP c nbsp teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke fur die der Satz des Pythagoras die Gleichungen A P c 2 C P c 2 b 2 displaystyle AP c 2 CP c 2 b 2 nbsp und B P c 2 C P c 2 a 2 displaystyle BP c 2 CP c 2 a 2 nbsp liefert und durch Differenzbildung folgt A P c 2 B P c 2 b 2 a 2 displaystyle AP c 2 BP c 2 b 2 a 2 nbsp Genauso bzw durch gedankliche Drehung des Dreiecks folgen die Beziehungen B P a 2 C P a 2 c 2 b 2 displaystyle BP a 2 CP a 2 c 2 b 2 nbsp und C P b 2 A P b 2 a 2 c 2 displaystyle CP b 2 AP b 2 a 2 c 2 nbsp Addiert man diese drei Beziehungen so erhalt man A P c 2 B P c 2 B P a 2 C P a 2 C P b 2 A P b 2 b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 0 displaystyle AP c 2 BP c 2 BP a 2 CP a 2 CP b 2 AP b 2 b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 0 nbsp das heisst es besteht die Gleichung aus obigem Satz Man erhalt also auch den Satz vom Hohenschnittpunkt als Spezialfall des Satzes von Carnot Literatur BearbeitenMartin Wohlgemuth Hrsg Mathematisch fur fortgeschrittene Anfanger Weitere beliebte Beitrage von Matroids Matheplanet Springer 2010 ISBN 9783827426079 S 273 276 Alfred S Posamentier Charles T Salkind Challenging Problems in Geometry Dover New York Dover 1966 S 85 86Weblinks BearbeitenFlorian Modler Vergessene Satze am Dreieck Der Satz von Carnot Auf Matroids Matheplanet Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Carnot Lote amp oldid 215461093