Das Rinderproblem des Archimedes auch Problema Bovinum ist die abgeschwachte Version eines unlosbaren 1 zahlentheoretischen Problems aus der Theorie Diophantischer Gleichungen das heisst von Polynomgleichungen uber den ganzen Zahlen Das ursprungliche Problem wird Archimedes zugeschrieben Die Anzahl der Rinder Bullen und Kuhe mit je vier Sorten in einer Herde des Sonnengottes soll bestimmt werden aus einigen Nebenbedingungen Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Problem 3 Detaillierte Losung des ersten leichteren Teils der Aufgabe 4 Detaillierte kleinste Losung des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe 5 Alle Losungen des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe 6 Alle Losungen des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe Alternative Formeln 7 Einzelnachweise 8 Quellen 9 WeblinksGeschichte BearbeitenDas Rinderproblem wurde 1773 von Gotthold Ephraim Lessing in einem griechischen Manuskript der Herzog August Bibliothek in Wolfenbuttel entdeckt Cod Guelf 77 Gud Graec das einen in 44 Distichen abgefassten Brief des Archimedes an Eratosthenes von Kyrene enthielt also aus Syrakus nach Alexandria 2 Plh8ὺn Ἠelioio boῶn ὦ 3eῖne metrhson frontid ἐpisthsas eἰ metexeis sofihs possh ἄr ἐn pediois Sikelῆs pot ἐbosketo nhsoy 8rinakihs tetraxῇ stifea dassamenh xroiὴn ἀlassonta tὸ mὲn leykoῖo galaktos kyaneῳ d ἕteron xrwmati lampomenon ἄllo ge mὲn 3an8on tὸ dὲ poikilon 3 Die Menge von Helio s Herde mein Freund bemiss es geht streng ubersetzt nicht um Rinder Ob der Brief tatsachlich von Archimedes stammt wird von Lessing und anderen angezweifelt 4 das Problem selbst ist aufgrund seiner Schwierigkeit jedoch moglicherweise auf Archimedes zuruckzufuhren 5 Ein Hinweis darauf ist auch Archimedes Interesse an grossen Zahlen wie sie etwa in Der Sandrechner zum Vorschein kommt Eine philologische Version des griechischen Textes und eine Ubersetzung ins Lateinische findet sich im zweiten Band der von Johan Ludvig Heiberg besorgten Ausgabe der Werke von Archimedes 6 Eine deutsche Ubertragung des Gedichts wurde von Georg Nesselmann angefertigt und veroffentlicht 1842 7 eine weitere von Bernhard Krumbiegel 1880 Der von Lessing veroffentlichte Text enthalt eine Teillosung die aber eine Zeile des Urtextes ausser Acht lasst und zwei Forderungen aus dem zweiten Teil des Gedichtes nicht erfullt Auch die abgeschwachte Version ohne diese Zusatzforderungen blieb wegen der zur Losung notigen Berechnung von sehr grossen Zahlen bis vor einigen Jahren ungelost Ein Losungsverfahren wurde 1880 von August Amthor gefunden mit dem die Losung von etwa 7 76 10206544 Rindern eine Zahl mit 206 545 Stellen bestimmt werden konnte Fur die Berechnung der expliziten Dezimaldarstellung brauchten die Computer IBM 7040 und IBM 1620 von Hugh C Williams Gus German und Bob Zarnke 1965 eine Gesamtrechenzeit von 7 Stunden 49 Minuten 8 Problem BearbeitenDas Problem in einer an Nesselmann und Krumbiegel angelehnten das Versmass nicht erhaltenden vereinfachten Fassung Zahle mein Freund die Rinder unter der Sonne die einst unter der Sonne Siziliens grasten die nach ihrer Farbe in vier Herden geteilt werden Eine ist milchweiss eine schwarz eine gefleckt und eine gelb Die Anzahl der Bullen jeder Farbe ist grosser als die der Kuhe dieser Farbe dies wird in der modernen Version fortgelassen 1 und die Beziehung zwischen ihnen ist wie folgt weisse Bullen 1 2 1 3 displaystyle left tfrac 1 2 tfrac 1 3 right nbsp schwarze Bullen gelbe Bullen schwarze Bullen 1 4 1 5 displaystyle left tfrac 1 4 tfrac 1 5 right nbsp gefleckte Bullen gelbe Bullen gefleckte Bullen 1 6 1 7 displaystyle left tfrac 1 6 tfrac 1 7 right nbsp weisse Bullen gelbe Bullen weisse Kuhe 1 3 1 4 displaystyle left tfrac 1 3 tfrac 1 4 right nbsp schwarze Herde schwarze Kuhe 1 4 1 5 displaystyle left tfrac 1 4 tfrac 1 5 right nbsp gefleckte Herde gefleckte Kuhe 1 5 1 6 displaystyle left tfrac 1 5 tfrac 1 6 right nbsp gelbe Herde gelbe Kuhe 1 6 1 7 displaystyle left tfrac 1 6 tfrac 1 7 right nbsp weisse Herde Falls du o Freund mir nicht die Anzahl der Rinder jeder Art Bullen und Kuhe angeben kannst kannst du dich noch nicht als hoch qualifiziert betrachten Bedenke aber noch die folgenden zusatzlichen Beziehungen zwischen den Bullen unter der Sonne Weisse Bullen schwarze Bullen eine quadratische Zahl Gefleckte Bullen gelbe Bullen eine Dreieckszahl Wenn du diese auch noch berechnet hast o Freund und du die Gesamtzahl der Rinder gefunden hast dann juble als ein Eroberer weil du dir selbst bewiesen hast dass du ein sehr begabter Rechner bist 9 In Gleichungsform formuliert Gesucht werden die Anzahlen W X Y Z verschieden gefarbter Bullen und w x y z von Kuhen in den entsprechenden Farben mit W 5 6 X Z X 9 20 Y Z Y 13 42 W Z w 7 12 X x x 9 20 Y y y 11 30 Z z z 13 42 W w displaystyle begin aligned W amp tfrac 5 6 X Z X amp tfrac 9 20 Y Z Y amp tfrac 13 42 W Z w amp tfrac 7 12 X x x amp tfrac 9 20 Y y y amp tfrac 11 30 Z z z amp tfrac 13 42 W w end aligned nbsp Die Gesamtzahl der Rinder ist dann W X Y Z w x y z displaystyle W X Y Z w x y z nbsp In der schwierigeren Form werden zusatzlich die Nebenbedingungen W X Q u a d r a t z a h l m 2 displaystyle W X mathrm Quadratzahl m 2 nbsp Y Z D r e i e c k s z a h l 1 2 n 1 n displaystyle Y Z mathrm Dreieckszahl tfrac 1 2 n 1 n nbsp verlangt fur ganze Zahlen m n Zur Losungsmethode siehe auch den Artikel uber die Pellsche Gleichung Detaillierte Losung des ersten leichteren Teils der Aufgabe BearbeitenWenn man die ersten drei Gleichungen geeignet umformt und die Bruche wegbringt erhalt man das folgende Gleichungssystem 6 W 5 X 6 Z 20 X 9 Y 20 Z 13 W 42 Y 42 Z displaystyle begin aligned 6W amp amp 5X amp amp amp amp 6Z amp amp 20X amp amp 9Y amp amp 20Z 13W amp amp amp amp 42Y amp amp 42Z end aligned nbsp dd Drei Gleichungen mit vier Unbekannten W X Y displaystyle W X Y nbsp und Z displaystyle Z nbsp haben im Normalfall unendlich viele Losungen das Gleichungssystem ist also unterbestimmt Eine Unbekannte ist frei wahlbar Setzt man in diesem Fall die Unbekannte Z displaystyle Z nbsp als bekannt voraus so erhalt man folgende Losungen W 742 99 3 Z 2226 891 Z X 178 99 Z 1602 891 Z Y 1580 99 9 Z 1580 891 Z Z Z displaystyle begin aligned W amp amp tfrac 742 99 cdot 3 Z amp amp amp tfrac 2226 891 Z X amp amp tfrac 178 99 Z amp amp amp tfrac 1602 891 Z Y amp amp tfrac 1580 99 cdot 9 Z amp amp amp tfrac 1580 891 Z Z amp amp amp amp amp Z end aligned nbsp dd Weil aber W X displaystyle W X nbsp und Y displaystyle Y nbsp ganzzahlig sein mussen es handelt sich immerhin um eine gewisse Anzahl von Rindern muss auch 1 891 Z displaystyle tfrac 1 891 Z nbsp ganzzahlig sein Somit muss Z displaystyle Z nbsp ein Vielfaches von 891 sein Sei also Z 891 s displaystyle Z 891s nbsp mit ganzzahligem s N displaystyle s in mathbb N nbsp Dann erhalt man folgende Losungen W 2226 891 Z 2226 s X 1602 891 Z 1602 s Y 1580 891 Z 1580 s Z Z 891 s displaystyle begin aligned W amp amp tfrac 2226 891 Z amp amp 2226s X amp amp tfrac 1602 891 Z amp amp 1602s Y amp amp tfrac 1580 891 Z amp amp 1580s Z amp amp Z amp amp 891s end aligned nbsp dd Betrachtet man die anderen vier Gleichungen bringt die Bruche weg und formt sie geeignet um erhalt man folgendes Gleichungssystem 12 w 7 x 7 X 20 x 9 y 9 Y 30 y 11 z 11 Z 13 w 42 z 13 W displaystyle begin aligned 12w amp amp 7x amp amp amp amp amp amp 7X amp amp 20x amp amp 9y amp amp amp amp 9Y amp amp amp amp 30y amp amp 11z amp amp 11Z 13w amp amp amp amp amp amp 42z amp amp 13W end aligned nbsp dd Setzt man nun die Ergebnisse des ersten Gleichungssystems ein also W 2226 s X 1602 s Y 1580 s displaystyle W 2226s X 1602s Y 1580s nbsp und Z 891 s displaystyle Z 891s nbsp so erhalt man folgendes Gleichungssystem 12 w 7 x 11214 s 20 x 9 y 14220 s 30 y 11 z 9801 s 13 w 42 z 28938 s displaystyle begin aligned 12w amp amp 7x amp amp amp amp amp amp 11214s amp amp 20x amp amp 9y amp amp amp amp 14220s amp amp amp amp 30y amp amp 11z amp amp 9801s 13w amp amp amp amp amp amp 42z amp amp 28938s end aligned nbsp dd Da ja das s displaystyle s nbsp frei wahlbar ist handelt es sich somit um ein eindeutig losbares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten w x y displaystyle w x y nbsp und z displaystyle z nbsp Man erhalt folgende Losungen w 93682680 4657 13 s 7206360 4657 s x 97864920 4657 20 s 4893246 4657 s y 105474600 4657 30 s 3515820 4657 s z 5439213 4657 s displaystyle begin aligned w amp amp tfrac 93682680 4657 cdot 13 s amp tfrac 7206360 4657 s x amp amp tfrac 97864920 4657 cdot 20 s amp tfrac 4893246 4657 s y amp amp tfrac 105474600 4657 cdot 30 s amp tfrac 3515820 4657 s z amp amp amp tfrac 5439213 4657 s end aligned nbsp dd Wieder mussen w x y displaystyle w x y nbsp und z displaystyle z nbsp ganzzahlig sein weil es sich ja um die Anzahlen von Rindern handelt Somit muss 1 4657 s displaystyle tfrac 1 4657 s nbsp ganzzahlig sein Also muss s displaystyle s nbsp ein Vielfaches von 4657 sein Sei also s 4657 k displaystyle s 4657k nbsp mit ganzzahligem k N displaystyle k in mathbb N nbsp Dann erhalt man die folgenden Losungen w 7206360 4657 s 7206360 k x 4893246 4657 s 4893246 k y 3515820 4657 s 3515820 k z 5439213 4657 s 5439213 k displaystyle begin aligned w amp amp tfrac 7206360 4657 s amp 7206360k x amp amp tfrac 4893246 4657 s amp 4893246k y amp amp tfrac 3515820 4657 s amp 3515820k z amp amp tfrac 5439213 4657 s amp 5439213k end aligned nbsp dd Damit hat der erste und leichtere Teil des archimedischen Rinderproblems ohne die beiden zusatzlichen Bedingungen die folgende Losung es kann k N displaystyle k in mathbb N nbsp beliebig ganzzahlig gewahlt werden Die Anzahl der weissen Bullen ist W 2226 s 10366482 k displaystyle W 2226s 10366482 cdot k nbsp Die Anzahl der schwarzen Bullen ist X 1602 s 7460514 k displaystyle X 1602s 7460514 cdot k nbsp Die Anzahl der gefleckten Bullen ist Y 1580 s 7358060 k displaystyle Y 1580s 7358060 cdot k nbsp Die Anzahl der gelben Bullen ist Z 891 s 4149387 k displaystyle Z 891s 4149387 cdot k nbsp Die Anzahl der weissen Kuhe ist w 7206360 k displaystyle w 7206360 cdot k nbsp Die Anzahl der schwarzen Kuhe ist x 4893246 k displaystyle x 4893246 cdot k nbsp Die Anzahl der gefleckten Kuhe ist y 3515820 k displaystyle y 3515820 cdot k nbsp Die Anzahl der gelben Kuhe ist z 5439213 k displaystyle z 5439213 cdot k nbsp Die Gesamtzahl der Rinder betragt also W X Y Z w x y z 50389082 k displaystyle W X Y Z w x y z 50389082 cdot k nbsp Detaillierte kleinste Losung des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe BearbeitenNun zur Losung des schwierigeren zweiten Teils des Problems Setzt man in W X m 2 displaystyle W X m 2 nbsp fur W 10366482 k displaystyle W 10366482k nbsp und fur X 7460514 k displaystyle X 7460514k nbsp ein so erhalt man 10366482 k 7460514 k 17826996 k m 2 displaystyle 10366482k 7460514k 17826996k m 2 nbsp Mit der Primfaktorzerlegung von 17826996 2 2 3 11 29 4657 displaystyle 17826996 2 2 cdot 3 cdot 11 cdot 29 cdot 4657 nbsp erhalt man die Gleichung 2 2 3 11 29 4657 k m 2 displaystyle 2 2 cdot 3 cdot 11 cdot 29 cdot 4657 cdot k m 2 nbsp Damit der linke Teil ein vollstandiges Quadrat ist muss gelten k 3 11 29 4657 r 2 4456749 r 2 displaystyle k 3 cdot 11 cdot 29 cdot 4657 cdot r 2 4456749 cdot r 2 nbsp mit einem ganzzahligen r N displaystyle r in mathbb N nbsp Nun betrachtet man die Gleichung Y Z n n 1 2 displaystyle Y Z tfrac n cdot n 1 2 nbsp Setzt man h 2 n 1 displaystyle h 2n 1 nbsp d h n h 1 2 displaystyle n tfrac h 1 2 nbsp dann kann man das auch schreiben als Y Z 1 2 h 1 2 h 1 2 1 8 h 2 1 displaystyle Y Z tfrac 1 2 cdot tfrac h 1 2 cdot tfrac h 1 2 tfrac 1 8 h 2 1 nbsp bzw als 1 8 Y Z h 2 displaystyle 1 8 Y Z h 2 nbsp Da n displaystyle n nbsp ganzzahlig ist ist h displaystyle h nbsp offensichtlich ungerade Setzt man die Zwischenergebnisse Y 1580 4657 k displaystyle Y 1580 cdot 4657k nbsp und Z 891 4657 k displaystyle Z 891 cdot 4657k nbsp ein so erhalt man wegen 1580 891 2471 7 353 displaystyle 1580 891 2471 7 cdot 353 nbsp fur die Summe Y Z 7 353 4657 k 3 7 11 29 353 4657 2 r 2 2364747 4657 2 r 2 displaystyle begin aligned Y Z amp 7 cdot 353 cdot 4657 cdot k amp 3 cdot 7 cdot 11 cdot 29 cdot 353 cdot 4657 2 cdot r 2 amp 2364747 cdot 4657 2 cdot r 2 end aligned nbsp und daraus als Beziehung zwischen h displaystyle h nbsp und r displaystyle r nbsp die Gleichung 1 8 2364747 4657 2 r 2 h 2 displaystyle 1 8 cdot 2364747 cdot 4657 2 cdot r 2 h 2 nbsp Weil 8 2364747 4657 2 410286423278424 displaystyle 8 cdot 2364747 cdot 4657 2 410286423278424 nbsp ist ergibt sich die folgende Pellsche Gleichung h 2 410286423278424 r 2 1 displaystyle h 2 410286423278424 cdot r 2 1 nbsp Berucksichtigt man die Faktorzerlegung 410286423278424 4729494 2 4657 2 displaystyle 410286423278424 4729494 cdot 2 cdot 4657 2 nbsp so erhalt man die etwas einfacher zu losende Pellsche Gleichung h 2 4729494 2 4657 r 2 1 displaystyle h 2 4729494 cdot 2 cdot 4657r 2 1 nbsp Diese Pellsche Gleichung hat weil 4729494 keine Quadratzahl ist unendlich viele Losungen Man lost sie mit der Kettenbruchentwicklung von 4729494 displaystyle sqrt 4729494 nbsp die mit einer Periodenlange von 92 und somit mit einer Gesamtlange von 93 wie folgt lautet 4729494 2174 1 2 1 5 2 25 3 1 1 1 1 1 1 15 1 2 16 1 2 1 1 8 6 1 21 1 1 3 1 1 1 2 2 6 1 1 5 1 17 1 1 47 3 1 1 6 1 1 3 47 1 1 17 1 5 1 1 6 2 2 1 1 1 3 1 1 21 1 6 8 1 1 2 1 16 2 1 15 1 1 1 1 1 1 3 25 2 5 1 2 1 4348 displaystyle begin aligned sqrt 4729494 2174 overline 1 2 1 5 2 25 3 1 1 1 1 1 1 15 1 2 16 1 2 1 1 8 6 1 21 1 1 3 1 1 1 2 2 6 1 1 5 1 17 1 1 47 3 overline 1 1 6 1 1 3 47 1 1 17 1 5 1 1 6 2 2 1 1 1 3 1 1 21 1 6 8 1 1 2 1 16 2 1 15 1 1 1 1 1 1 3 25 2 5 1 2 1 4348 end aligned nbsp dd Die obige Pellsche Gleichung h 2 4729494 2 4657 r 2 1 displaystyle h 2 4729494 cdot 2 cdot 4657r 2 1 nbsp hat die folgende kleinste Minimal Losung h 0 109931986732829734979866232821433543901088049 1 099 10 44 g 0 2 4657 r 0 50549485234315033074477819735540408986340 5 055 10 40 displaystyle begin aligned h 0 amp 109931986732829734979866232821433543901088049 amp approx 1 099 cdot 10 44 g 0 2 cdot 4657r 0 amp 50549485234315033074477819735540408986340 amp approx 5 055 cdot 10 40 end aligned nbsp dd Somit ist aber r 0 g 0 2 4657 25274742617157516537238909867770204493170 4657 N displaystyle r 0 tfrac g 0 2 cdot 4657 tfrac 25274742617157516537238909867770204493170 4657 notin mathbb N nbsp nicht ganzzahlig und deswegen ist die obige Minimallosung der Pellschen Gleichung noch immer nicht die gesuchte Losung des Rinderproblems Es muss das gesuchte r displaystyle r nbsp ein Teiler von einem gewissen kleinstmoglichen g displaystyle g nbsp sein das die Zahl 2 4657 displaystyle 2 cdot 4657 nbsp als Teiler hat Wenn man die Minimallosung h 0 g 0 displaystyle h 0 g 0 nbsp der obigen Pellschen Gleichung hat muss man nur noch die folgenden beiden Iterationsformeln anwenden mit denen man alle weiteren unendlich vielen Losungen der Pellschen Gleichung erhalt siehe Pellsche Gleichung Abschnitt Generieren weiterer Losungen auf Basis einer bekannten h i 1 h 0 h i 4729494 g 0 g i g i 1 g 0 h i h 0 g i displaystyle begin aligned h i 1 amp amp h 0 cdot h i 4729494 cdot g 0 cdot g i g i 1 amp amp g 0 cdot h i h 0 cdot g i end aligned nbsp dd mit obigem h 0 displaystyle h 0 nbsp und g 0 displaystyle g 0 nbsp Der erste Iterationsschritt ist h 1 h 0 h 0 4729494 g 0 g 0 g 1 g 0 h 0 h 0 g 0 displaystyle begin aligned h 1 amp amp h 0 cdot h 0 4729494 cdot g 0 cdot g 0 g 1 amp amp g 0 cdot h 0 h 0 cdot g 0 end aligned nbsp dd Leider hat auch dieses g 1 1 111 4 10 85 displaystyle g 1 approx 1 1114 cdot 10 85 nbsp nicht die Zahl 2 4657 displaystyle 2 cdot 4657 nbsp als Teiler Auch mit dem nachsten dem zweiten Iterationsschritt h 2 h 0 h 1 4729494 g 0 g 1 g 2 g 0 h 1 h 0 g 1 displaystyle begin aligned h 2 amp amp h 0 cdot h 1 4729494 cdot g 0 cdot g 1 g 2 amp amp g 0 cdot h 1 h 0 cdot g 1 end aligned nbsp dd erhalt man ein g 2 2 443 57 10 129 displaystyle g 2 approx 2 44357 cdot 10 129 nbsp das die Zahl 2 4657 displaystyle 2 cdot 4657 nbsp nicht als Teiler hat Erst nach unglaublichen 2329 Iterationsschritten erhalt man die folgende gesuchte kleinste Losung h h 2329 3 765 344502347206 10 103272 g g 2329 1 731 399858951771 10 103269 displaystyle begin aligned h h 2329 amp approx amp 3 765344502347206 cdot 10 103272 g g 2329 amp approx amp 1 731399858951771 cdot 10 103269 end aligned nbsp dd Und somit erhalt man r g 2 4657 1 858 921901386913 10 103265 N displaystyle r tfrac g 2 cdot 4657 approx 1 858921901386913 cdot 10 103265 in mathbb N nbsp Damit kann man auch k 4456749 r 2 1 540 070010897761 10 206537 displaystyle k 4456749r 2 approx 1 540070010897761 cdot 10 206537 nbsp errechnen und oben bei W X Y Z w x y displaystyle W X Y Z w x y nbsp und z displaystyle z nbsp einsetzen Die schwierigere Form des archimedischen Rinderproblems also inklusive der beiden zusatzlichen Bedingungen hat somit die folgende kleinste Losung k 1 540 07001089776119944598967554 10 206537 displaystyle k approx 1 54007001089776119944598967554 cdot 10 206537 nbsp Die Anzahl der weissen Bullen ist W 10366482 k 1 596 5108046711445314 10 206544 displaystyle W 10366482 cdot k approx 1 5965108046711445314 cdot 10 206544 nbsp Die Anzahl der schwarzen Bullen ist X 7460514 k 1 148 9713877282899997 10 206544 displaystyle X 7460514 cdot k approx 1 1489713877282899997 cdot 10 206544 nbsp Die Anzahl der gefleckten Bullen ist Y 7358060 k 1 133 1927544386380771 10 206544 displaystyle Y 7358060 cdot k approx 1 1331927544386380771 cdot 10 206544 nbsp Die Anzahl der gelben Bullen ist Z 4149387 k 6 390 3464823090286501 10 206543 displaystyle Z 4149387 cdot k approx 6 3903464823090286501 cdot 10 206543 nbsp Die Anzahl der weissen Kuhe ist w 7206360 k 1 109 8298923733190397 10 206544 displaystyle w 7206360 cdot k approx 1 1098298923733190397 cdot 10 206544 nbsp Die Anzahl der schwarzen Kuhe ist x 4893246 k 7 535 9414205454263981 10 206543 displaystyle x 4893246 cdot k approx 7 5359414205454263981 cdot 10 206543 nbsp Die Anzahl der gefleckten Kuhe ist y 3515820 k 5 414 6089457145667802 10 206543 displaystyle y 3515820 cdot k approx 5 4146089457145667802 cdot 10 206543 nbsp Die Anzahl der gelben Kuhe ist z 5439213 k 8 376 7688241852443869 10 206543 displaystyle z 5439213 cdot k approx 8 3767688241852443869 cdot 10 206543 nbsp Die Gesamtzahl der Rinder betragt also W X Y Z w x y z 50389082 k 7 760 2714064868182695 10 206544 displaystyle W X Y Z w x y z 50389082 cdot k approx 7 7602714064868182695 cdot 10 206544 nbsp Die exakten Ergebnisse fur die Anzahl der einzelnen Bullen und Kuhe und fur die Gesamtzahl der Rinder also alle 206544 bzw 206545 Stellen kann man auf einer Internetseite 10 nachlesen Die weissen Bullen von denen es W displaystyle W nbsp Stuck gibt und die schwarzen Bullen von denen es X displaystyle X nbsp Stuck gibt kann man quadratisch so anordnen dass auf jeder Seite des Quadrats m W X 1 656 949665016845 10 103272 displaystyle m sqrt W X approx 1 656949665016845 cdot 10 103272 nbsp Bullen stehen Die gefleckten Bullen von denen es Y displaystyle Y nbsp Stuck gibt und die gelben Bullen von denen es Z displaystyle Z nbsp Stuck gibt kann man dreieckig so anordnen dass auf jeder Seite des Dreiecks n n 1 1 1 8 Y Z 2 1 882 672251173603 10 103272 displaystyle n n 1 tfrac 1 sqrt 1 8 Y Z 2 approx 1 882672251173603 cdot 10 103272 nbsp Bullen stehen Alle Losungen des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe BearbeitenDie weiter oben stehende Pellsche Gleichung h 2 410286423278424 r 2 1 displaystyle h 2 410286423278424r 2 1 nbsp die umgeformt wurde zur Pellschen Gleichung h 2 4729494 2 4657 r 2 1 displaystyle h 2 4729494 cdot 2 cdot 4657r 2 1 nbsp hat naturlich dieselbe oben schon erhaltene ganzzahlige Minimallosung h 3 765 344502347206 10 103272 r g 2 4657 1 858 921901386913 10 103265 displaystyle begin aligned h amp approx amp 3 765344502347206 cdot 10 103272 r frac g 2 cdot 4657 amp approx amp 1 858921901386913 cdot 10 103265 end aligned nbsp dd Diese Pellsche Gleichung h 2 410286423278424 r 2 1 displaystyle h 2 410286423278424r 2 1 nbsp hat unendlich viele Losungen Jede dieser Losungen ist auch gleichzeitig Losung des Rinderproblems Somit hat auch das Rinderproblem unendlich viele Losungen Wenn man die Minimallosung h r displaystyle h r nbsp der obigen Pellschen Gleichung kennt muss man wieder die folgenden beiden Iterationsformeln anwenden mit denen man alle weiteren unendlich vielen Losungen der Pellschen Gleichung erhalt Der erste Iterationsschritt ist h 1 h 0 h 0 410286423278424 r 0 r 0 r 1 r 0 h 0 h 0 r 0 displaystyle begin aligned h 1 amp amp h 0 cdot h 0 410286423278424 cdot r 0 cdot r 0 r 1 amp amp r 0 cdot h 0 h 0 cdot r 0 end aligned nbsp dd mit h 0 h displaystyle h 0 h nbsp und r 0 r displaystyle r 0 r nbsp Tatsachlich ist h 1 2 835 563844271266 10 206545 displaystyle h 1 approx 2 835563844271266 cdot 10 206545 nbsp und r 1 1 399 896272336006 10 206538 displaystyle r 1 approx 1 399896272336006 cdot 10 206538 nbsp die zweitkleinste Losung der Pellschen Gleichung h 2 410286423278424 r 2 1 displaystyle h 2 410286423278424r 2 1 nbsp Mit dem nachsten dem zweiten Iterationsschritt h 2 h 0 h 1 410286423278424 r 0 r 1 r 2 r 0 h 1 h 0 r 1 displaystyle begin aligned h 2 amp amp h 0 cdot h 1 410286423278424 cdot r 0 cdot r 1 r 2 amp amp r 0 cdot h 1 h 0 cdot r 1 end aligned nbsp dd erhalt man die drittkleinste Losung h 2 r 2 displaystyle h 2 r 2 nbsp der Pellschen Gleichung Generell gilt h i 1 h 0 h i 410286423278424 r 0 r i r i 1 r 0 h i h 0 r i displaystyle begin aligned h i 1 amp amp h 0 cdot h i 410286423278424 cdot r 0 cdot r i r i 1 amp amp r 0 cdot h i h 0 cdot r i end aligned nbsp dd ergibt alle Losungspaare h i 1 r i 1 displaystyle h i 1 r i 1 nbsp der Pellschen Gleichung h 2 410286423278424 r 2 1 displaystyle h 2 410286423278424r 2 1 nbsp Interessant sind aber vor allem die r i displaystyle r i nbsp Damit kann man namlich wieder k i 4456749 r i 2 displaystyle k i 4456749r i 2 nbsp errechnen und oben bei W X Y Z w x y displaystyle W X Y Z w x y nbsp und z displaystyle z nbsp einsetzen So erhalt man alle weiteren Losungen des Rinderproblems Alle Losungen des zweiten schwierigeren Teils der Aufgabe Alternative Formeln BearbeitenWenn man alle unendlich vielen Losungen dieses Rinderproblems wissen will so bieten sich auch die folgenden Formeln an die der Mathematiker H W Lenstra Jr auf 11 veroffentlicht hat Sei c 300426607914281713365 609 84129507677858393258 7766 displaystyle c 300426607914281713365 cdot sqrt 609 84129507677858393258 cdot sqrt 7766 nbsp und k j c 4658 j c 4658 j 2 368238304 displaystyle k j frac c 4658 cdot j c 4658 cdot j 2 368238304 nbsp mit j 1 2 3 displaystyle j 1 2 3 dotsc nbsp Die kleinste Losung k 1 displaystyle k 1 nbsp ist die obige errechnete kleinste Losung k displaystyle k nbsp des Rinderproblems Die schwierige Form des archimedischen Rinderproblems inklusive der beiden zusatzlichen Bedingungen hat die folgende j displaystyle j nbsp kleinste Losung j N displaystyle j in mathbb N nbsp kann beliebig positiv ganzzahlig gewahlt werden Die Anzahl der weissen Bullen ist W 10366482 k j displaystyle W 10366482 cdot k j nbsp Die Anzahl der schwarzen Bullen ist X 7460514 k j displaystyle X 7460514 cdot k j nbsp Die Anzahl der gefleckten Bullen ist Y 7358060 k j displaystyle Y 7358060 cdot k j nbsp Die Anzahl der gelben Bullen ist Z 4149387 k j displaystyle Z 4149387 cdot k j nbsp Die Anzahl der weissen Kuhe ist w 7206360 k j displaystyle w 7206360 cdot k j nbsp Die Anzahl der schwarzen Kuhe ist x 4893246 k j displaystyle x 4893246 cdot k j nbsp Die Anzahl der gefleckten Kuhe ist y 3515820 k j displaystyle y 3515820 cdot k j nbsp Die Anzahl der gelben Kuhe ist z 5439213 k j displaystyle z 5439213 cdot k j nbsp Die Gesamtzahl der Rinder betragt also W X Y Z w x y z 50389082 k j displaystyle W X Y Z w x y z 50389082 cdot k j nbsp Einzelnachweise Bearbeiten a b Peter Schreiber A Note on the Cattle Problem of Archimedes Memento vom 3 Dezember 2013 im Internet Archive PDF 131 kB In Historia Mathematica 20 1993 S 304 306 Gotthold Ephraim Lessing Zur Geschichte und Litteratur Aus den Schatzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbuttel Zweiter Beitrag Braunschweig 1773 S 421 446 http users ntua gr dimour greats Archimedes index html Vgl u a Jacob Struve Karl Ludwig Struve Altes Griechisches Epigramm mathematischen Inhalts mathematisch und kritisch behandelt Altona 1821 Vgl z B Bernhard Krumbiegel August Amthor Das Problema bovinum des Archimedes In Zeitschrift fur Mathematik und Physik Historisch literarische Abtheilung 25 1880 S 121 136 153 171 Johan Ludvig Heiberg Hrsg Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii E codice Florentino recensuit latine uertit notisque illustrauit Bd 2 PDF 13 3 MB Teubner Leipzig 1881 S 446 455 Georg Heinrich Ferdinand Nesselmann Versuch einer kritischen Geschichte der Algebra Bd 1 Die Algebra der Griechen Reimer Berlin 1842 ND Minerva Frankfurt 1969 S 482 Protokoll 483 Z 1 30 486 487 Z 31 44 Hugh C Williams R Angus German C Robert Zarnke Solution of the cattle problem of Archimedes In Mathematics of Computation 19 1965 S 671 674 Merriman Mansfield The Cattle Problem of Archimedes In Popular Science Monthly 67 1905 S 660 665 Archimedes in the 21st Century The Cattle Problem Computer Output 2nd Part 1 H W Lenstra Jr All solutions to the cattle problem of Archimedes S 187 PDF Quellen BearbeitenG Nesselmann Die Algebra der Griechen Reimer Berlin 1842 Nachdruck Minerva Verlag Frankfurt am Main 1969 ISBN 3 86598 328 6 Weblinks BearbeitenSeite mit dem griechischen Text wie ihn Lessing in Wolfenbuttel entdeckt hat Eric W Weisstein Archimedes Cattle Problem In MathWorld englisch Englische Ubersetzung von Ivor Thomas in Loeb Classics Numberphile The Archimedes Number auf YouTube 24 November 2019 abgerufen am 24 Dezember 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rinderproblem des Archimedes amp oldid 206914920
