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Riesz Raum Ein ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur die so beschaffen ist dass sich die lineare und die Verband

Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert und trägt deshalb heute seinen Namen.

Definition Bearbeiten

Sei ein -Vektorraum und eine halbgeordnete Menge.

Dann heißt ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  1. Für alle gilt: .
  2. Für alle gilt: und .
  3. ist ein Verband.

Anmerkungen Bearbeiten

  • 1. und 2. bedeuten ist ein geordneter Vektorraum.
  • Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass sich sowohl auf , als auch auf bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
  • 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung und ersetzen.
  • Bezeichnen die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass stärker binden, als (Klammerregel).

Erste Eigenschaften Bearbeiten

Für und gelten folgende Rechenregeln:

  • und
  • und
  • und
  • Sei für .
  • und
  • und

Beispiele Bearbeiten

  • Die reellen Zahlen mit der üblichen Anordnung bilden einen Riesz-Raum.
  • Der mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der reellen Zahlenfolgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der reellen Nullfolgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Für ist mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
  • Die Menge der beschränkten reellen Folgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen auf einem Intervall bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Integrationstheorie Bearbeiten

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein Riesz Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur die so beschaffen ist dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert 1 und tragt deshalb heute seinen Namen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anmerkungen 3 Erste Eigenschaften 4 Beispiele 5 Integrationstheorie 6 Einzelnachweise 7 LiteraturDefinition BearbeitenSei X displaystyle X cdot nbsp ein R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum und X displaystyle X leq nbsp eine halbgeordnete Menge Dann heisst X displaystyle X cdot leq nbsp ein Riesz Raum wenn folgende Axiome erfullt sind Fur alle f g h X displaystyle f g h in X nbsp gilt f g f h g h displaystyle f leq g Rightarrow f h leq g h nbsp Fur alle f g X displaystyle f g in X nbsp gilt 0 a R displaystyle 0 leq a in mathbb R nbsp und f g a f a g displaystyle f leq g Rightarrow a cdot f leq a cdot g nbsp X displaystyle X leq nbsp ist ein Verband Anmerkungen Bearbeiten1 und 2 bedeuten X displaystyle X cdot leq nbsp ist ein geordneter Vektorraum Bei der Formulierung von 2 ist zu beachten dass displaystyle leq nbsp sich sowohl auf R displaystyle mathbb R nbsp als auch auf X displaystyle X nbsp bezieht aus dem Zusammenhang ist meistens klar welche Ordnungsrelation gemeint ist so dass ublicherweise auf zusatzliche Indizes verzichtet wird 2 lasst sich auch durch die schwachere Forderung 0 a displaystyle 0 leq a nbsp und 0 f 0 a f displaystyle mathbf 0 leq f Rightarrow mathbf 0 leq a cdot f nbsp ersetzen Bezeichnen displaystyle land lor nbsp die Verbandsoperationen so ist es Konvention dass displaystyle land lor nbsp starker binden als displaystyle cdot nbsp Klammerregel Erste Eigenschaften BearbeitenFur f g h X displaystyle f g h in X nbsp und 0 a R displaystyle 0 leq a in mathbb R nbsp gelten folgende Rechenregeln f h g h f g h displaystyle f h lor g h f lor g h nbsp und f h g h f g h displaystyle f h land g h f land g h nbsp a f a g a f g displaystyle af lor ag a f lor g nbsp und a f a g a f g displaystyle af land ag a f land g nbsp f g f g displaystyle f lor g f land g nbsp und f g f g displaystyle f land g f lor g nbsp Sei f f f displaystyle f f lor f nbsp fur f X displaystyle f in X nbsp Dann gilt f g 1 2 f g f g displaystyle f lor g tfrac 1 2 f g f g nbsp und f g 1 2 f g f g displaystyle f land g tfrac 1 2 f g f g nbsp f g f g f g displaystyle f lor g f land g f g nbsp und f g f g f g displaystyle f lor g f land g f g nbsp f g h f h g h displaystyle f lor g land h f land h lor g land h nbsp und f g h f h g h displaystyle f land g lor h f lor h land g lor h nbsp Dies bedeutet jeder Riesz Raum ist ein distributiver Verband Beispiele BearbeitenDie reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp mit der ublichen Anordnung displaystyle leq nbsp bilden einen Riesz Raum Der R n displaystyle mathbb R n nbsp mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz Raum Die Menge der reellen Zahlenfolgen R N displaystyle mathbb R mathbb N nbsp mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz Raum Die Menge der reellen Nullfolgen c 0 displaystyle c 0 nbsp mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz Raum Fur 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp ist l p displaystyle l p nbsp mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz Raum Die Menge der beschrankten reellen Folgen l displaystyle l infty nbsp mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz Raum Die Menge der stetigen Funktionen C a b displaystyle mathcal C a b nbsp auf einem Intervall a b displaystyle a b nbsp bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz Raum Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen C 1 a b displaystyle mathcal C 1 a b nbsp auf einem Intervall a b displaystyle a b nbsp bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung aber keinen Riesz Raum Integrationstheorie BearbeitenRiesz Raume bieten Voraussetzungen fur eine abstrakte Mass und Integrationstheorie Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal Dieser Satz garantiert fur Riesz Raume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen Der Satz von Radon Nikodym und die Poissonsche Summenformel fur beschrankte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfalle des Spektralsatzes von Freudenthal Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte fur die Theorie der Riesz Raume Einzelnachweise Bearbeiten Riesz Frigyes Sur la decomposition des operations fonctionelles lineaires Atti congress internaz mathematici Bologna 1928 3 Zanichelli 1930 pp 143 148Literatur BearbeitenLuxemburg W A J amp Zaanen A C Riesz spaces North Holland 1971 ISBN 978 0444866264 V I Sobolev Riesz space In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Riesz Raum amp oldid 194161303