In der Vektorrechnung sind die Richtungskosinus eines Vektors des euklidischen Raums R 3 displaystyle mathbb R 3 die Kosinuswerte seiner Richtungswinkel also der Winkel zwischen dem Vektor und den drei Standardbasisvektoren e 1 displaystyle vec e 1 e 2 displaystyle vec e 2 e 3 displaystyle vec e 3 1 2 Vektor v displaystyle vec v mit den Richtungswinkeln a 1 displaystyle alpha 1 a 2 displaystyle alpha 2 a 3 displaystyle alpha 3 Eigenschaften BearbeitenFur den Vektor v v 1 v 2 v 3 displaystyle vec v begin pmatrix v 1 v 2 v 3 end pmatrix nbsp sind die Richtungskosinus cos a 1 v e 1 v e 1 v 1 v v 1 v 1 2 v 2 2 v 3 2 displaystyle cos alpha 1 frac vec v cdot vec e 1 vec v vec e 1 frac v 1 vec v frac v 1 sqrt v 1 2 v 2 2 v 3 2 nbsp cos a 2 v e 2 v e 2 v 2 v v 2 v 1 2 v 2 2 v 3 2 displaystyle cos alpha 2 frac vec v cdot vec e 2 vec v vec e 2 frac v 2 vec v frac v 2 sqrt v 1 2 v 2 2 v 3 2 nbsp cos a 3 v e 3 v e 3 v 3 v v 3 v 1 2 v 2 2 v 3 2 displaystyle cos alpha 3 frac vec v cdot vec e 3 vec v vec e 3 frac v 3 vec v frac v 3 sqrt v 1 2 v 2 2 v 3 2 nbsp wie auch aus den farbigen Dreiecken in der nebenstehenden Abbildung abgelesen werden kann Umgekehrt kann v displaystyle vec v nbsp durch seinen Betrag und die Richtungskosinus ausgedruckt werden v v cos a 1 cos a 2 cos a 3 displaystyle vec v vec v begin pmatrix cos alpha 1 cos alpha 2 cos alpha 3 end pmatrix nbsp Wenn dies durch v displaystyle vec v nbsp dividiert wird zeigt sich dass die Richtungskosinus gerade die Komponenten des Einheitsvektors e v displaystyle vec e v nbsp in Richtung von v displaystyle vec v nbsp sind e v v v cos a 1 cos a 2 cos a 3 displaystyle vec e v frac vec v vec v begin pmatrix cos alpha 1 cos alpha 2 cos alpha 3 end pmatrix nbsp Wegen e v 1 displaystyle vec e v 1 nbsp ist cos 2 a 1 cos 2 a 2 cos 2 a 3 1 displaystyle cos 2 alpha 1 cos 2 alpha 2 cos 2 alpha 3 1 nbsp Da die Richtungswinkel auf den Bereich zwischen 0 displaystyle 0 nbsp und p displaystyle pi nbsp beschrankt sind und der Kosinus in diesem Intervall umkehrbar ist sind mit den Richtungskosinus auch die drei Richtungswinkel gegeben Einzelnachweise Bearbeiten Gert Bohme Einfuhrung in die hohere Mathematik Mathematik Vorlesungen fur Ingenieurschulen Band 2 Springer 1964 S 103 105 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Eric W Weisstein Direction Cosine In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Richtungskosinus amp oldid 202744895
