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Reynolds Gleichung Die ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Druckverteilung in dünnen Fluidfilm

Reynolds-Gleichung

Die Reynolds-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Druckverteilung in dünnen Fluidfilmen und Grundlage der Schmierungstechnik, insbesondere der Theorie für hydrodynamische Gleitlager. Sie wurde 1886 von Osborne Reynolds aus den Navier-Stokes-Gleichungen abgeleitet. Für die nach Reynolds gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen, die eine turbulente Strömung beschreiben, siehe Reynolds-Gleichungen.

Herleitung und Voraussetzungen Bearbeiten

Die Reynolds-Gleichung wird aus den Navier-Stokes-Gleichungen abgeleitet. Dabei wird ausgenutzt, dass die Spalthöhe klein gegenüber der geometrischen Ausdehnung des Spalts ist und daher folgende Annahmen getroffen werden können:

  • Der Druck ist konstant über der Höhe.
  • Trägheitskräfte und die Schwerkraft des Fluid werden vernachlässigt.
  • Die Geometrie kann auf eine Ebene projiziert oder abgewickelt werden.
  • Das Fluid verhält sich wie ein newtonsches Fluid, d. h. die Scherkräfte sind proportional zur Schergeschwindigkeit (diese Forderung resultiert nicht aus der geringen Spalthöhe).

Die Reynolds-Gleichung berücksichtigt den Effekt, dass das Fluid bei der Bewegung einer Oberfläche daran haften bleibt und mitgeschleppt wird. Ist diese Bewegung auf eine Engstelle im Spalt gerichtet, vergrößert sich wegen des Staueffekts der Druck im Fluid, wodurch die beiden Oberflächen trotz der Trennung durch das Fluid eine Normalkraft übertragen. Dieser Effekt wird z. B. bei hydrodynamischen Gleitlagern ausgenutzt.

Wenn sich die Oberflächen gegeneinander bewegen, die Spalthöhe also verändert wird, wird die Volumenänderung im Spalt durch Fluidbewegung ausgeglichen, was wegen der geringen Spalthöhe mit hohen Reibungskräften im Fluid verbunden ist. Die Oberflächen erfahren eine Kraft, die ihrer Bewegung entgegen gerichtet ist und z. B. als Abschlussdämpfung kurz vor dem Kontakt in Ventilen auftritt. Dieser Effekt wird ebenfalls durch die Reynolds-Gleichung beschrieben.

Reynolds-Gleichung Bearbeiten

Für einen Spalt in der kartesischen --Ebene gilt:

Es gilt:

  • ist der Flüssigkeitsdruck.
  • und sind Koordinaten entlang des Spalts.
  • ist die Dicke/Höhe des Spalts.
  • ist die Viskosität des Fluids.
  • die Dichte des Fluids.
  • sind die Wandgeschwindigkeiten in Richtung und senkrecht dazu.
  • sind die Indizes für die die beiden Wände.

Lösung der Reynolds-Gleichung Bearbeiten

Für wenige spezielle geometrische Fälle kann die Reynolds-Gleichung analytisch gelöst werden oder es wurden Näherungslösungen entwickelt. Im allgemeinen Fall wird die Reynolds-Gleichung numerisch gelöst.

Ist der Druckaufbau so groß, dass die Oberflächen deformiert werden, muss zur Beschreibung die erweiterte elasto-hydrodynamische Theorie herangezogen werden. Diese bildet die Grundlage der Kontaktbeschreibung, z. B. in Wälzlagern.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Osborne Reynolds: On the Theory of Lubrication and Its Application to Mr. Beauchamp Tower's Experiments, Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 177 S. 157–234
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Veröffentlichungsdatum:
Die Reynolds Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Druckverteilung in dunnen Fluidfilmen und Grundlage der Schmierungstechnik insbesondere der Theorie fur hydrodynamische Gleitlager Sie wurde 1886 von Osborne Reynolds aus den Navier Stokes Gleichungen abgeleitet 1 Fur die nach Reynolds gemittelten Navier Stokes Gleichungen die eine turbulente Stromung beschreiben siehe Reynolds Gleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung und Voraussetzungen 2 Reynolds Gleichung 3 Losung der Reynolds Gleichung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseHerleitung und Voraussetzungen BearbeitenDie Reynolds Gleichung wird aus den Navier Stokes Gleichungen abgeleitet Dabei wird ausgenutzt dass die Spalthohe klein gegenuber der geometrischen Ausdehnung des Spalts ist und daher folgende Annahmen getroffen werden konnen Der Druck ist konstant uber der Hohe Tragheitskrafte und die Schwerkraft des Fluid werden vernachlassigt Die Geometrie kann auf eine Ebene projiziert oder abgewickelt werden Das Fluid verhalt sich wie ein newtonsches Fluid d h die Scherkrafte sind proportional zur Schergeschwindigkeit diese Forderung resultiert nicht aus der geringen Spalthohe Die Reynolds Gleichung berucksichtigt den Effekt dass das Fluid bei der Bewegung einer Oberflache daran haften bleibt und mitgeschleppt wird Ist diese Bewegung auf eine Engstelle im Spalt gerichtet vergrossert sich wegen des Staueffekts der Druck im Fluid wodurch die beiden Oberflachen trotz der Trennung durch das Fluid eine Normalkraft ubertragen Dieser Effekt wird z B bei hydrodynamischen Gleitlagern ausgenutzt Wenn sich die Oberflachen gegeneinander bewegen die Spalthohe also verandert wird wird die Volumenanderung im Spalt durch Fluidbewegung ausgeglichen was wegen der geringen Spalthohe mit hohen Reibungskraften im Fluid verbunden ist Die Oberflachen erfahren eine Kraft die ihrer Bewegung entgegen gerichtet ist und z B als Abschlussdampfung kurz vor dem Kontakt in Ventilen auftritt Dieser Effekt wird ebenfalls durch die Reynolds Gleichung beschrieben Reynolds Gleichung BearbeitenFur einen Spalt in der kartesischen x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ebene gilt x r h 3 12 m p x y r h 3 12 m p y x r h u a u b 2 y r h v a v b 2 r w a w b r u a h x r v a h y h r t displaystyle frac partial partial x left frac rho h 3 12 mu frac partial p partial x right frac partial partial y left frac rho h 3 12 mu frac partial p partial y right frac partial partial x left frac rho h left u a u b right 2 right frac partial partial y left frac rho h left v a v b right 2 right rho left w a w b right rho u a frac partial h partial x rho v a frac partial h partial y h frac partial rho partial t nbsp Es gilt p displaystyle p nbsp ist der Flussigkeitsdruck x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp sind Koordinaten entlang des Spalts h displaystyle h nbsp ist die Dicke Hohe des Spalts m displaystyle mu nbsp ist die Viskositat des Fluids r displaystyle rho nbsp die Dichte des Fluids u v w displaystyle u v w nbsp sind die Wandgeschwindigkeiten in Richtung x y displaystyle x y nbsp und senkrecht dazu a b displaystyle a b nbsp sind die Indizes fur die die beiden Wande Losung der Reynolds Gleichung BearbeitenFur wenige spezielle geometrische Falle kann die Reynolds Gleichung analytisch gelost werden oder es wurden Naherungslosungen entwickelt Im allgemeinen Fall wird die Reynolds Gleichung numerisch gelost Ist der Druckaufbau so gross dass die Oberflachen deformiert werden muss zur Beschreibung die erweiterte elasto hydrodynamische Theorie herangezogen werden Diese bildet die Grundlage der Kontaktbeschreibung z B in Walzlagern Literatur BearbeitenOtto Robert Lang Waldemar Steinhilper Gleitlager Springer ISBN 978 3 642 81225 5 Elmar Woschke Simulation gleitgelagerter Systeme in Mehrkorperprogrammen unter Berucksichtigung mechanischer und thermischer Deformationen Dissertation MagdeburgWeblinks BearbeitenForschungsfelder und Berechnungssoftware COMBROS der TU Clausthal Gleitlager Modul in der Berechnungssoftware COMSOLEinzelnachweise Bearbeiten Osborne Reynolds On the Theory of Lubrication and Its Application to Mr Beauchamp Tower s Experiments Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil Philosophical Transactions of the Royal Society of London 177 S 157 234 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reynolds Gleichung amp oldid 232479550