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Rekonstruktion Darstellende Geometrie Unter Rekonstruktion versteht man in der Darstellenden Geometrie eine Sammlung von

Rekonstruktion (Darstellende Geometrie)

Unter Rekonstruktion versteht man in der Darstellenden Geometrie eine Sammlung von Methoden, um anhand eines Fotos (Zentralprojektion) unter gewissen Annahmen wahre Längen oder ganze Grund- und Aufrisse inklusive des Standortes des Fotografen (Augpunkt) zu ermitteln.

1: wahre Längen: Borsig-Palais (Wikimedia File:1881 Palais Borsig.jpg)

Will man nur wahre Abmessungen bestimmen, so genügt es, die für die entsprechenden Richtungen zugehörigen Messpunkte zu konstruieren. Messpunkte sind Fluchtpunkte, von denen aus man die zu messenden Strecken auf eine Spurgerade (Gerade der Bildtafel) projiziert (s. unten). Will man Grund- und Aufriss und die Lage des Augpunktes rekonstruieren, so benutzt man eine Umkehrung der Architektenanordnung, mit der man normalerweise Zentralprojektionen konstruiert.

In dem ersten Bild (Borsig-Palais) wurde angenommen, dass a) die vordere Gebäudekante in wahrer Länge vorliegt, b) der Hauptpunkt in der Mitte des Bildhorizonts liegt. Bei unbeschnitten Fotografien liegt der Hauptpunkt immer in der Bildmitte. In diesem Fall wird also angenommen, dass am unteren Teil des Bildes ein Stück der Straße abgeschnitten wurde. Will man diese Annahme nicht machen, so benötigt man weitere Informationen über das Gebäude (z. B. Verhältnisse von Fensterkanten), um den Hauptpunkt zu ermitteln. Dass die vordere Gebäutekante in der Bildtafel liegt, ist eine technische Annahme. Dadurch ergeben sich alle Maße bis auf einen festen Faktor (Skalierung). Dieser Skalierungsfaktor kann über die tatsächliche Länge irgendeiner Kante bestimmt werden. Man darf also das Wort „wahr“ bei wahrer Länge nicht zu wörtlich nehmen. Aber auf einem Bauplan eines Architekten sind auch nicht die tatsächlichen, sondern die mit einem Skalierungsfaktor (z. B. 1:100) verkleinerte Maße zu sehen.

Messpunkte und wahre Längen Bearbeiten

2: wahre Länge einer Strecke in der Standebene (Grundriss)
3: wahre Länge einer Strecke in der Standebene (Perspektive)
4: wahre Länge, Strecken parallel zur Bildtafel
5: wahre Länge, Breite, Höhe eines Hauses

Für die folgenden Überlegungen gehen wir von der sog. Standardanordnung aus:

  1. Die Bildtafel ist senkrecht.
  2. Der Hauptpunkt , der Horizont , die Standlinie und die Distanz sind bekannt.

Der Horizont ergibt sich meistens aus den Fluchtpunkten zweier zueinander senkrechter horizontaler Richtungen (s. Foto). Im Grundriss bilden ein rechtwinkliges Dreieck, d. h. liegt auf dem Thaleskreis über . Die Standlinie s ist immer parallel zum Horizont h. Eine Variation der Standlinie erzeugt ähnliche Rekonstruktionen, d. h. sie sind bis auf einen Skalierungsfaktor gleich.

Bei der Zweitafelprojektion (Parallelprojektion) wird die Strecke, deren wahre Länge bestimmt werden soll, parallel zu einer der Risstafeln gedreht und dann die wahre Länge in der anderen Risstafel abgelesen (s. wahre Länge). Bei Zentralprojektion genügt das Paralleledrehen zur Bildtafel nicht, da bei der Zentralprojektion die Länge einer zur Bildtafel parallelen Strecke verändert wird. Es sei denn, die gedrehte Strecke liegt schon in der Bildtafel.

Falls die Strecke in der Standebene (Grundrissebene) liegt und nicht parallel zur Bildtafel ist: Man denkt sich die Strecke um den Spurpunkt (der Geraden durch ) mit senkrechter Drehachse in die Bildtafel auf die Standlinie gedreht (s. Abbildung). Da eine Drehung im perspektiven Bild nur schwer darstellbar ist, denkt man sich eine Parallelprojektion aus, die dasselbe bewirkt. Den zugehörigen Fluchtpunkt nennt man Messpunkt . Er ist für alle zu parallelen Strecken gleich. Im Falle einer horizontalen Strecke, wie hier angenommen, liegt auf dem Horizont und wird durch Drehung von um in die Bildtafel bestimmt. Rechtfertigung dieser Konstruktion: Das Dreieck ist gleichschenklig. Wegen der bestehenden Parallelitäten (s. Bild) ist auch gleichschenklig, d. h. die Strecken und sind gleich lang. Da wir aber den Grundriss nicht als bekannt voraussetzen, müssen wir den Messpunkt im perspektiven Bild (Foto) bestimmen (s. Bild).

Falls die Strecke (in der Standebene) parallel zur Bildtafel ist, kann man einen beliebigen Punkt auf dem Horizont als Messpunkt wählen.

Zusammenfassung: Bestimmung der wahren Länge einer Strecke in der Standebene.

  • Falls die Strecke parallel zur Bildtafel liegt, kann man auf beliebig wählen.
  • Falls die Strecke nicht zur Bildtafel parallel ist.
  1. Zeichne den Fluchtpunkt der Gerade, auf der die Strecke liegt.
  2. Zeichne über oder unter dem Hauptpunkt im Abstand (Distanz) und drehe um auf den Horizont . Dadurch erhält man den Messpunkt .

Die Projektion der Strecke von aus auf die Standlinie liefert die wahre Länge der Strecke.

Falls die Strecke senkrecht steht, d. h. parallel zur Bildtafel ist, kann man auch den Messpunkt beliebig auf dem Horizont wählen. Der Messpunkt (Fluchtpunkt) und die Strecke bestimmen eine senkrechte Ebene, die die Bildtafel in der zugehörigen Spur schneidet. Analog zum horizontalen Fall wird die Strecke vom Messpunkt aus auf die Spur der Ebene projiziert (siehe Bild).

Die wahre Länge einer nicht horizontalen und nicht senkrechten Strecke bestimmt man mit Hilfe einer geeigneten Ebene, die die Strecke enthält. Der Messpunkt liegt dann auf der Ferngerade der Hilfsebene. Wie im obigen Fall wird die Strecke vom Messpunkt aus auf die Spur der Hilfsebene projiziert.

Im Bild 5 ist das perspektive Bild eines Hauses samt Hauptpunkt, Horizont und Standlinie vorgegeben. Die Zahlen geben die Reihenfolge der Konstruktionsschritte an, um die wahre Länge, Breite, Höhe und Firsthöhe zu bestimmen.

Bemerkung zum Borsig-Palais (s. o.): Die Standlinie () ist in diesem Fall zur Bestimmung von wahren Längen nicht geeignet, da bei Projektionen von einem Messpunkt () aus auf die Standlinie schleifende Schnitte entstehen würden, was die Konstruktion ungenau machen würde. Deshalb wurden Länge und Breite des Gebäudes in einer Ersatz-Standebene mit Standlinie (oberhalb der Fenster) konstruiert.

Bemerkung: In der Literatur wird beschrieben, a) wie man bei geneigter Bildtafel wahre Längen bestimmt und b) die Voraussetzungen der Standardanordnung (s. o.) durch weitere Informationen über das Gebäude abschwächen kann.

Rekonstruktion von Grund- und Aufriss Bearbeiten

6: Rekonstruktion von Grund- und Aufriss eines Hauses, äußere Orientierung

Unter der äußeren Orientierung einer Zentralprojektion versteht man die Lage des Augpunktes und der Bildtafel relativ zum Objekt, das abgebildet wird. Um die äußere Orientierung bei bekannter Standardanordnung (senkrechte Bildtafel, H,h und d sind bekannt, s. o.) kehrt man die Architektenanordnung, die man zur Konstruktion von Zentralprojektionen verwendet, um. In Bild 6 sind die einzelnen Rekonstruktionsschritte und ihre Reihenfolge (s. Zahlen) zu erkennen:

  1. Zeichne unter- oder oberhalb des perspektiven Bildes eine Parallele zum Horizont . ist der Grundriss der Bildtafel (s. Architektenanordnung).
  2. Übertrage den Hauptpunkt und alle notwendigen Fluchtpunkte in den Grundriss. Der Grundriss des Augpunktes liegt auf dem Lot zu in im Abstand , der Distanz.
  3. Rekonstruktion einer Gerade, die in der Standebene liegt: Bestimme (falls nicht schon in 2. geschehen) die Grundrisse des Flucht- und Spurpunktes der Geraden . ist dann eine Parallele zu durch .
  4. Rekonstruktion eines Punktes , der in der Standebene liegt: Zeichne mit Hilfe des Lotes von auf und den Grundriss des Projektionsstrahls (Gerade ). Mit Hilfe des Grundrisses einer weiteren Gerade durch (z. B. Tiefenlinien oder Hauskanten, …) erhält man schließlich .
  5. Ein Punkt, der nicht in der Standebene liegt (z. B. ein Firstpunkt), lässt sich analog rekonstruieren, falls sein Grundriss im perspektiven Bild bekannt oder konstruierbar ist. Die Höhe eines solchen Punktes erhält man über deren wahre Länge (s. o.).

Siehe auch Bearbeiten

wahre Länge

Literatur Bearbeiten

  • Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 247
  • Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 242

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Unter Rekonstruktion versteht man in der Darstellenden Geometrie eine Sammlung von Methoden um anhand eines Fotos Zentralprojektion unter gewissen Annahmen wahre Langen oder ganze Grund und Aufrisse inklusive des Standortes des Fotografen Augpunkt zu ermitteln 1 wahre Langen Borsig Palais Wikimedia File 1881 Palais Borsig jpg Will man nur wahre Abmessungen bestimmen so genugt es die fur die entsprechenden Richtungen zugehorigen Messpunkte zu konstruieren Messpunkte sind Fluchtpunkte von denen aus man die zu messenden Strecken auf eine Spurgerade Gerade der Bildtafel projiziert s unten Will man Grund und Aufriss und die Lage des Augpunktes rekonstruieren so benutzt man eine Umkehrung der Architektenanordnung mit der man normalerweise Zentralprojektionen konstruiert In dem ersten Bild Borsig Palais wurde angenommen dass a die vordere Gebaudekante in wahrer Lange vorliegt b der Hauptpunkt in der Mitte des Bildhorizonts liegt Bei unbeschnitten Fotografien liegt der Hauptpunkt immer in der Bildmitte In diesem Fall wird also angenommen dass am unteren Teil des Bildes ein Stuck der Strasse abgeschnitten wurde Will man diese Annahme nicht machen so benotigt man weitere Informationen uber das Gebaude z B Verhaltnisse von Fensterkanten um den Hauptpunkt zu ermitteln Dass die vordere Gebautekante in der Bildtafel liegt ist eine technische Annahme Dadurch ergeben sich alle Masse bis auf einen festen Faktor Skalierung Dieser Skalierungsfaktor kann uber die tatsachliche Lange irgendeiner Kante bestimmt werden Man darf also das Wort wahr bei wahrer Lange nicht zu wortlich nehmen Aber auf einem Bauplan eines Architekten sind auch nicht die tatsachlichen sondern die mit einem Skalierungsfaktor z B 1 100 verkleinerte Masse zu sehen Inhaltsverzeichnis 1 Messpunkte und wahre Langen 2 Rekonstruktion von Grund und Aufriss 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksMesspunkte und wahre Langen Bearbeiten nbsp 2 wahre Lange einer Strecke in der Standebene Grundriss nbsp 3 wahre Lange einer Strecke in der Standebene Perspektive nbsp 4 wahre Lange Strecken parallel zur Bildtafel nbsp 5 wahre Lange Breite Hohe eines HausesFur die folgenden Uberlegungen gehen wir von der sog Standardanordnung aus Die Bildtafel p displaystyle pi nbsp ist senkrecht Der Hauptpunkt H displaystyle H nbsp der Horizont h displaystyle h nbsp die Standlinie s displaystyle s nbsp und die Distanz d displaystyle d nbsp sind bekannt Der Horizont h displaystyle h nbsp ergibt sich meistens aus den Fluchtpunkten F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp zweier zueinander senkrechter horizontaler Richtungen s Foto Im Grundriss bilden O F 1 F 2 displaystyle O F 1 F 2 nbsp ein rechtwinkliges Dreieck d h O displaystyle O nbsp liegt auf dem Thaleskreis uber F 1 F 2 displaystyle F 1 F 2 nbsp Die Standlinie s ist immer parallel zum Horizont h Eine Variation der Standlinie erzeugt ahnliche Rekonstruktionen d h sie sind bis auf einen Skalierungsfaktor gleich Bei der Zweitafelprojektion Parallelprojektion wird die Strecke deren wahre Lange bestimmt werden soll parallel zu einer der Risstafeln gedreht und dann die wahre Lange in der anderen Risstafel abgelesen s wahre Lange Bei Zentralprojektion genugt das Paralleledrehen zur Bildtafel nicht da bei der Zentralprojektion die Lange einer zur Bildtafel parallelen Strecke verandert wird Es sei denn die gedrehte Strecke liegt schon in der Bildtafel Falls die Strecke in der Standebene Grundrissebene liegt und nicht parallel zur Bildtafel ist Man denkt sich die Strecke A B displaystyle AB nbsp um den Spurpunkt S g displaystyle S g nbsp der Geraden g displaystyle g nbsp durch A B displaystyle A B nbsp mit senkrechter Drehachse in die Bildtafel auf die Standlinie s displaystyle s nbsp gedreht s Abbildung Da eine Drehung im perspektiven Bild nur schwer darstellbar ist denkt man sich eine Parallelprojektion aus die dasselbe bewirkt Den zugehorigen Fluchtpunkt nennt man Messpunkt M g displaystyle M g nbsp Er ist fur alle zu A B displaystyle AB nbsp parallelen Strecken gleich Im Falle einer horizontalen Strecke wie hier angenommen liegt M g displaystyle M g nbsp auf dem Horizont und wird durch Drehung von O displaystyle O nbsp um F g displaystyle F g nbsp in die Bildtafel bestimmt Rechtfertigung dieser Konstruktion Das Dreieck S g B B displaystyle S g B tilde B nbsp ist gleichschenklig Wegen der bestehenden Parallelitaten s Bild ist auch F g O M g displaystyle F g O M g nbsp gleichschenklig d h die Strecken F g O displaystyle F g O nbsp und F g M g displaystyle F g M g nbsp sind gleich lang Da wir aber den Grundriss nicht als bekannt voraussetzen mussen wir den Messpunkt M g displaystyle M g nbsp im perspektiven Bild Foto bestimmen s Bild Falls die Strecke in der Standebene parallel zur Bildtafel ist kann man einen beliebigen Punkt auf dem Horizont als Messpunkt wahlen Zusammenfassung Bestimmung der wahren Lange einer Strecke A B displaystyle AB nbsp in der Standebene Falls die Strecke parallel zur Bildtafel liegt kann man M g displaystyle M g nbsp auf h displaystyle h nbsp beliebig wahlen Falls die Strecke nicht zur Bildtafel parallel ist Zeichne den Fluchtpunkt F g displaystyle F g nbsp der Gerade auf der die Strecke liegt Zeichne uber oder unter dem Hauptpunkt im Abstand d displaystyle d nbsp Distanz O displaystyle O nbsp und drehe O displaystyle O nbsp um F g displaystyle F g nbsp auf den Horizont h displaystyle h nbsp Dadurch erhalt man den Messpunkt M g displaystyle M g nbsp Die Projektion der Strecke A B displaystyle AB nbsp von M g displaystyle M g nbsp aus auf die Standlinie s displaystyle s nbsp liefert die wahre Lange der Strecke Falls die Strecke senkrecht steht d h parallel zur Bildtafel ist kann man auch den Messpunkt beliebig auf dem Horizont wahlen Der Messpunkt Fluchtpunkt und die Strecke A B displaystyle AB nbsp bestimmen eine senkrechte Ebene die die Bildtafel in der zugehorigen Spur schneidet Analog zum horizontalen Fall wird die Strecke vom Messpunkt aus auf die Spur der Ebene projiziert siehe Bild Die wahre Lange einer nicht horizontalen und nicht senkrechten Strecke bestimmt man mit Hilfe einer geeigneten Ebene die die Strecke enthalt Der Messpunkt liegt dann auf der Ferngerade der Hilfsebene Wie im obigen Fall wird die Strecke vom Messpunkt aus auf die Spur der Hilfsebene projiziert Im Bild 5 ist das perspektive Bild eines Hauses samt Hauptpunkt Horizont und Standlinie vorgegeben Die Zahlen geben die Reihenfolge der Konstruktionsschritte an um die wahre Lange Breite Hohe und Firsthohe zu bestimmen Bemerkung zum Borsig Palais s o Die Standlinie s 1 displaystyle s 1 nbsp ist in diesem Fall zur Bestimmung von wahren Langen nicht geeignet da bei Projektionen von einem Messpunkt M 1 M 2 displaystyle M 1 M 2 nbsp aus auf die Standlinie schleifende Schnitte entstehen wurden was die Konstruktion ungenau machen wurde Deshalb wurden Lange und Breite des Gebaudes in einer Ersatz Standebene mit Standlinie s 2 displaystyle s 2 nbsp oberhalb der Fenster konstruiert Bemerkung In der Literatur wird beschrieben a wie man bei geneigter Bildtafel wahre Langen bestimmt und b die Voraussetzungen der Standardanordnung s o durch weitere Informationen uber das Gebaude abschwachen kann Rekonstruktion von Grund und Aufriss Bearbeiten nbsp 6 Rekonstruktion von Grund und Aufriss eines Hauses aussere OrientierungUnter der ausseren Orientierung einer Zentralprojektion versteht man die Lage des Augpunktes und der Bildtafel relativ zum Objekt das abgebildet wird Um die aussere Orientierung bei bekannter Standardanordnung senkrechte Bildtafel H h und d sind bekannt s o kehrt man die Architektenanordnung die man zur Konstruktion von Zentralprojektionen verwendet um In Bild 6 sind die einzelnen Rekonstruktionsschritte und ihre Reihenfolge s Zahlen zu erkennen Zeichne unter oder oberhalb des perspektiven Bildes eine Parallele p displaystyle pi nbsp zum Horizont h displaystyle h nbsp p displaystyle pi nbsp ist der Grundriss der Bildtafel s Architektenanordnung Ubertrage den Hauptpunkt H displaystyle H nbsp und alle notwendigen Fluchtpunkte in den Grundriss Der Grundriss O displaystyle O nbsp des Augpunktes liegt auf dem Lot zu p displaystyle pi nbsp in H displaystyle H nbsp im Abstand d displaystyle d nbsp der Distanz Rekonstruktion einer Gerade die in der Standebene liegt Bestimme falls nicht schon in 2 geschehen die Grundrisse F g S g displaystyle F g S g nbsp des Flucht und Spurpunktes der Geraden g displaystyle g nbsp g displaystyle g nbsp ist dann eine Parallele zu O F g displaystyle O F g nbsp durch S g displaystyle S g nbsp Rekonstruktion eines Punktes P displaystyle P nbsp der in der Standebene liegt Zeichne P displaystyle overline P nbsp mit Hilfe des Lotes von P displaystyle overline P nbsp auf p displaystyle pi nbsp und den Grundriss des Projektionsstrahls Gerade O P displaystyle O overline P nbsp Mit Hilfe des Grundrisses einer weiteren Gerade durch P displaystyle P nbsp z B Tiefenlinien oder Hauskanten erhalt man schliesslich P displaystyle P nbsp Ein Punkt der nicht in der Standebene liegt z B ein Firstpunkt lasst sich analog rekonstruieren falls sein Grundriss im perspektiven Bild bekannt oder konstruierbar ist Die Hohe eines solchen Punktes erhalt man uber deren wahre Lange s o Siehe auch Bearbeitenwahre LangeLiteratur BearbeitenFucke Kirch Nickel Darstellende Geometrie Fachbuch Verlag Leipzig 1998 ISBN 3 446 00778 4 S 247 Cornelie Leopold Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung Verlag W Kohlhammer Stuttgart 2005 ISBN 3 17 018489 X S 242Weblinks BearbeitenNormale orthogonale Axonometrie mit einfachen Beispielen Darstellende Geometrie fur Architekten PDF 1 5 MB Skript Uni Darmstadt S 116 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rekonstruktion Darstellende Geometrie amp oldid 211833137