Das Reduktionsverfahren von d Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen das nach dem Mathematiker und Physiker Jean Baptiste le Rond d Alembert benannt ist Es wird verwendet um eine lineare Differentialgleichung n displaystyle n ter Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer Losung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung n 1 displaystyle n 1 ter Ordnung zuruckzufuhren Grob beschrieben gilt Folgendes Um eine inhomogene lineare Differentialgleichung n displaystyle n ter Ordnung L y f displaystyle L y f zu losen beschaffe man sich eine nichttriviale Losung der zugehorigen homogenen linearen Differentialgleichung L u 0 displaystyle L u 0 Dann fuhrt der Ansatz y x c x u x displaystyle y x c x u x also die Variation der Konstanten fur die ursprungliche Gleichung L y f displaystyle L y f auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung L c f displaystyle tilde L c f der niedrigeren Ordnung n 1 displaystyle n 1 fur c x displaystyle c x Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 1 1 Beweis 1 2 Beispiel 2 Spezialfall Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 2 1 Beweis 2 2 Beispiel 3 LiteraturFormulierung des Satzes BearbeitenMan betrachte den Differentialoperator n displaystyle n nbsp ter Ordnung L v x k 0 n a k x v k x displaystyle L v x sum k 0 n a k x v k x nbsp Hierzu sei eine Losung u x displaystyle u x nbsp der homogenen linearen Differentialgleichung L u 0 displaystyle L u 0 nbsp bekannt Fur y x c x u x displaystyle y x c x u x nbsp gilt dann L y x j 0 n 1 k j 1 n k j 1 a k x u k j 1 x c j 1 x displaystyle L y x sum j 0 n 1 left sum k j 1 n k choose j 1 a k x u k j 1 x right c j 1 x nbsp Mit anderen Worten y x displaystyle y x nbsp lost die inhomogene Differentialgleichung n displaystyle n nbsp ter Ordnung L y f x displaystyle mathcal L y f x nbsp genau dann wenn z x c x displaystyle z x c x nbsp die inhomogene lineare Differentialgleichung n 1 displaystyle n 1 nbsp ter Ordnung j 0 n 1 k j 1 n k j 1 a k x u k j 1 x z j x f x displaystyle sum j 0 n 1 left sum k j 1 n k choose j 1 a k x u k j 1 x right z j x f x nbsp lost Beweis Bearbeiten Nach der leibnizschen Regel gilt c u k x j 0 k k j c j x u k j x displaystyle c cdot u k x sum j 0 k k choose j c j x u k j x nbsp also k 0 n a k x c u k x k 0 n j 0 k k j a k x c j x u k j x j 0 n k j n k j a k x u k j x c j x displaystyle sum k 0 n a k x c cdot u k x sum k 0 n sum j 0 k binom k j a k x c j x u k j x sum j 0 n sum k j n binom k j a k x u k j x c j x nbsp Hierbei gibt die Doppelsumme j 0 n k j n k j a k x u k j x c j x displaystyle textstyle sum j 0 n sum k j n binom k j a k x u k j x c j x nbsp an dass nunmehr uber die Ableitungen von c j x displaystyle c j x nbsp summiert wird Nun ist nach Voraussetzung k 0 n k 0 a k x u k x L u 0 displaystyle textstyle sum k 0 n binom k 0 a k x u k x L u 0 nbsp und somit entfallt das 0te Glied in der Summe uber j displaystyle j nbsp so dass folgt L y k 0 n a k x c u k x j 1 n k j n k j a k x u k j x c j x displaystyle L y sum k 0 n a k x c cdot u k x sum j 1 n left sum k j n binom k j a k x u k j x right c j x nbsp Indexverschiebung liefert das Resultat L y j 0 n 1 k j 1 n k j 1 a k x u k j 1 x c j 1 x displaystyle L y sum j 0 n 1 left sum k j 1 n binom k j 1 a k x u k j 1 x right c j 1 x nbsp oder unter Verwendung von z x c x displaystyle z x c x nbsp L y j 0 n 1 k j 1 n k j 1 a k x u k j 1 x z j x displaystyle L y sum j 0 n 1 left sum k j 1 n binom k j 1 a k x u k j 1 x right z j x nbsp displaystyle Box nbsp Beispiel Bearbeiten Gegeben sei die homogene lineare Differentialgleichung 2 Ordnung mit konstanten Koeffizienten u x 4 u x 4 u x 0 displaystyle u x 4u x 4u x 0 nbsp Aus der Charakteristischen Gleichung l 2 4 l 4 0 displaystyle lambda 2 4 lambda 4 0 nbsp mit der zweifachen Nullstelle l 1 2 2 displaystyle lambda 1 2 2 nbsp ergibt sich eine Losung u x e 2 x displaystyle u x e 2x nbsp der Differentialgleichung Mithilfe des Reduktionsverfahrens wird die zweite linear unabhangige Losung unter Verwendung der bereits bekannten Losung gefunden Mit dem Ansatz der Variation der Konstanten folgt y x c x u x displaystyle y x c x u x nbsp und die gegebene Differentialgleichung erhalt folgende Darstellung c x u x 2 c x u x c x u x 4 c x u x c x u x 4 c x u x 0 displaystyle big c x u x 2c x u x c x u x big 4 big c x u x c x u x big 4c x u x 0 nbsp Durch Umsortieren der Differentialgleichung nach den Ableitungen von c x displaystyle c x nbsp ergibt sich u x c x 2 u x 4 u x c x u x 4 u x 4 u x c x 0 displaystyle u x c x big 2u x 4u x big c x big u x 4u x 4u x big c x 0 nbsp Im dritten Term kommt die Differentialgleichung u x 4 u x 4 u x 0 displaystyle u x 4u x 4u x 0 nbsp zum Ausdruck und entfallt daher Die Differentialgleichung lautet nun u x c x 2 u x 4 u x c x 0 displaystyle u x c x left 2u x 4u x right c x 0 nbsp und ergibt mit der bereits bekannten Losung u x e 2 x displaystyle u x e 2x nbsp fur den zweiten Term 2 u x 4 u x 4 e 2 x 4 e 2 x 0 displaystyle 2u x 4u x 4e 2x 4e 2x 0 nbsp so dass die Differentialgleichung reduziert wird auf u x c x 0 displaystyle u x c x 0 nbsp Da u x displaystyle u x nbsp die Exponentialfunktion reprasentiert daher uberall grosser null ist folgt als Bedingung fur die zweite Losung der Differentialgleichung c x 0 displaystyle c x 0 nbsp Durch zweimalige Integration erhalten wir mit den Integrationskonstanten c 1 c 2 displaystyle c 1 c 2 nbsp c x c 1 x c 2 displaystyle c x c 1 x c 2 nbsp Als Ansatz fur die zweite Losung der Differentialgleichung ergibt sich somit y x c 1 x c 2 u x c 1 x u x c 2 u x displaystyle y x c 1 x c 2 u x c 1 xu x c 2 u x nbsp Da der zweite Term c 2 u x displaystyle c 2 u x nbsp lediglich ein skalares Vielfaches der ersten Losung ist und somit linear abhangig ist lautet die zweite Losung der Differentialgleichung unter Auslassung der Integrationskonstante y x x u x x e 2 x displaystyle y x xu x xe 2x nbsp Abschliessend kann mit der Wronski Determinante die lineare Unabhangigkeit der beiden Losungen nachgewiesen werden W u y x u x u u u x u u u x u x u u u 2 e 4 x 0 displaystyle W u y x begin vmatrix u amp xu u amp u xu end vmatrix u u xu xuu u 2 e 4x neq 0 nbsp Spezialfall Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung BearbeitenSei u x displaystyle u x nbsp Losung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung u x p x u x q x u x 0 displaystyle u x p x u x q x u x 0 nbsp Dann ist y x c x u x displaystyle y x c x u x nbsp Losung der inhomogenen Differentialgleichung y x p x y x q x y x f x displaystyle y x p x y x q x y x f x nbsp genau dann wenn z x c x displaystyle z x c x nbsp der Gleichung u x z x p x u x 2 u x z x f x displaystyle u x z x big p x u x 2u x big z x f x nbsp genugt Diese Gleichung lasst sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollstandig losen Beweis Bearbeiten Sei die inhomogene lineare Differentialgleichung y x p x y x q x y x f x displaystyle y x p x y x q x y x f x nbsp gegeben deren Losung u x displaystyle u x nbsp fur die homogene Differentialgleichung bekannt ist Dann ergibt sich die Losung der inhomogenen Differentialgleichung unter Verwendung des Ansatzes der Variation der Konstanten durch y x c x u x displaystyle y x c x u x nbsp wobei c x displaystyle c x nbsp eine beliebige Funktion ist Somit ist y x c x u x c x u x displaystyle y x c x u x c x u x nbsp und y x c x u x 2 c x u x c x u x displaystyle y x c x u x 2c x u x c x u x nbsp Daraus folgt c x u x 2 c x u x c x u x p x c x u x c x u x q x c x u x f x displaystyle big c x u x 2c x u x c x u x big p x big c x u x c x u x big q x c x u x f x nbsp und durch umsortieren nach den Ableitungen von c x displaystyle c x nbsp u x c x p x u x 2 u x c x u x p x u x q x u x c x f x displaystyle u x c x big p x u x 2u x big c x big u x p x u x q x u x big c x f x nbsp Da u x displaystyle u x nbsp eine Losung der homogenen Differentialgleichung ist also u x p x u x q x u x 0 displaystyle u x p x u x q x u x 0 nbsp lasst sich die inhomogene Differentialgleichung um diesen Term reduzieren und es gilt u x c x p x u x 2 u x c x f x displaystyle u x c x big p x u x 2u x big c x f x nbsp Damit ist eine Reduktion der Ordnung der inhomogenen Differentialgleichung erreicht Dies wird ersichtlich wenn z x c x displaystyle z x c x nbsp eingefuhrt wird so dass gilt u x z x p x u x 2 u x z x f x displaystyle u x z x big p x u x 2u x big z x f x nbsp Division durch u x 0 displaystyle u x neq 0 nbsp liefert z x p x 2 u x u x z x f x u x displaystyle z x Bigg p x frac 2u x u x Bigg z x frac f x u x nbsp Die weitere Berechnung erfordert den integrierenden Faktor m x e a x 2 u t u t p t d t e a x log u 2 t p t d t e a x d log u 2 t d t p t d t e a x d log u 2 t e a x p t d t u 2 x e a x p t d t displaystyle mu x e int a x frac 2u t u t p t mathrm d t e int a x log u 2 t p t mathrm d t e int a x frac mathrm d log u 2 t mathrm d t p t mathrm d t e int a x mathrm d log u 2 t e int a x p t mathrm d t u 2 x e int a x p t mathrm d t nbsp wobei d log u 2 t displaystyle mathrm d log u 2 t nbsp ein totales Differential darstellt und die untere Integrationsgrenze a displaystyle a nbsp geeignet zu wahlen ist Nach der Multiplikation mit dem integrierenden Faktor nimmt die inhomogene Differentialgleichung folgende Gestalt an d d x z x u 2 x e a x p t d t u x f x e a x p t d t displaystyle frac mathrm d mathrm d x z x u 2 x e int a x p t mathrm d t u x f x e int a x p t mathrm d t nbsp Nach Integration dieser Gleichung folgt z x displaystyle z x nbsp und damit eine Losung fur c x displaystyle c x nbsp Eine weitere Integration von c x displaystyle c x nbsp ergibt unter Auslassung der Integrationskonstanten die gesuchte Losung der inhomogenen Differentialgleichung y x c x u x displaystyle y x c x u x nbsp Beispiel Bearbeiten Betrachtet wird die homogene Differentialgleichung mit nicht konstanten Koeffizienten v x 2 x v x 2 v x 0 displaystyle v x 2xv x 2v x 0 nbsp Eine Losung dieser homogenen Differentialgleichung ist u x e x 2 displaystyle u x e x 2 nbsp Der Ansatz der Variation der Konstanten y x c x e x 2 displaystyle y x c x e x 2 nbsp liefert nun 2 4 x 2 e x 2 c x 2 x e x 2 c x e x 2 c x 2 x 2 x e x 2 c x e x 2 c x 2 e x 2 c x 0 displaystyle big 2 4x 2 e x 2 c x 2xe x 2 c x e x 2 c x big 2x big 2xe x 2 c x e x 2 c x big 2e x 2 c x 0 nbsp und nach umsortieren nach Ableitungen von c x displaystyle c x nbsp e x 2 c x 2 x c x 0 displaystyle e x 2 big c x 2xc x big 0 nbsp Da e x 2 0 displaystyle e x 2 neq 0 nbsp und z x c x displaystyle z x c x nbsp ist kann die homogene Differentialgleichung umgeformt werden zu z x z x 2 x 0 displaystyle frac z x z x 2x 0 nbsp und damit d log z x d x 2 x displaystyle frac mathrm d log z x mathrm d x 2x nbsp oder z x e x 2 displaystyle z x e x 2 nbsp Daher ist die zweite Losung der homogenen Differentialgleichung gegeben durch c x 0 x z t d t displaystyle c x int 0 x z t mathrm d t nbsp also c x 0 x e t 2 d t p 2 erf x displaystyle c x int 0 x e t 2 mathrm d t frac sqrt pi 2 operatorname erf x nbsp Hierbei bedeutet erf x displaystyle operatorname erf x nbsp die Gausssche Fehlerfunktion Literatur BearbeitenGerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Graduate Studies in Mathematics Band 140 American Mathematical Society Providence 2012 ISBN 978 0 8218 8328 0 mat univie ac at Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reduktionsverfahren von d Alembert amp oldid 223339356
