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Realer Transformator

In diesem Artikel fehlen noch folgende wichtige Informationen:
Dieser Artikel sollte mit mehr Quellen belegt werden (In den meisten Fachbüchern wird der realte Transformator nur kurz erwähnt, wer stichhaltige Literatur findet, Bitte ergänzen). Auch fehlt das Modell für hohe Frequenzen mit Windungskapazitäten.
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Der reale Transformator ist ein in der Regel linearisiertes Modell eines Transformators, das den idealen Transformator um Streufelder, ohmsche Verluste, Hystereseverluste und ggf. kapazitive Effekte erweitert.

In einem realen Transformator fließt nicht der gesamte magnetische Fluss, den eine der Spulen hervorruft auch durch die andere Spule. Dieses Phänomen heißt Streuung. In vielen Anwendungsfällen ist Streuung unerwünscht, in anderen wiederum (z. B. resonante Wandler) wichtiger Bestandteil der Topologie, da mit gezielt gewählten Streufaktoren zusätzliche Spulen eingespart werden können.

Ersatzschaltbild für niedrige Frequenzen Bearbeiten

Ein realer Transformator mit Wicklungen und magnetischen Flüssen

Elektrischer und magnetischer Kreis Bearbeiten

Die nebenstehende Abbildung wird anschaulich in folgendem Schaltplan abgebildet:

Dieser Schaltplan beinhaltet zwei elektrische Kreise und einen Magnetischen. Die Spulenwicklungen N1 und N2 fungieren als Kopplung zwischen elektrischem und magnetischem Kreis.

Die Streuflüsse werden im Ersatzschaltplan als magnetische Widerstände Rm,σ1 und Rm,σ2 dargestellt. Ein Strom I1 erzeugt im magnetischen Kreis an N1 eine Durchflutung , sodass . Der magnetische Widerstand Rm,h, den der Hauptfluss Φh erfährt, ist hier aus Symmetriegründen geteilt. In sehr guter Näherung ist Rm,h der magnetische Widerstand des Eisenjochs. Die Widerstände R1 und R2 repräsentieren den Widerstand der Spulenwicklungen.

Symmetrisches Ersatzschaltbild Bearbeiten

Im nächsten Schritt wird der magnetische Kreis in die elektrischen Kreise transformiert:

Die Spulenwicklungen N1 und N2 verschmelzen zu einem idealen Transformator mit Übersetzungsverhältnis . Bei der Transformation durch die gyratorischen Spulenkopplungen werden parallel geschaltete, magnetische Widerstände zu in Reihe geschalteten Induktivitäten: , , und .

Anmerkung: Oftmals ist auch von primärer- und sekundärer Hauptinduktivität die Rede, welche aber die Transformation beider Spulenhälften auf eine Seite meinen und daher nie im gleichen Ersatzschaltbild eingezeichnet werden dürfen! Dies führt oft zu Verwechslungen.

T-Ersatzschaltbild Bearbeiten

Jedes lineare Zweitor kann als T-Ersatzschaltbild dargestellt werden. Über die oben gezeigten Schritte bekommen die einzelnen Komponenten dieses Schaltbilds hier einen direkten, realen Bezug. Der ideale Transformator wird dafür aus dem Schaltbild herausgezogen:

Neu hinzugekommen ist hier der Widerstand RFe, der die bislang nicht beachteten Hystereseverluste im Kern symbolisiert.

Bei der Transformation durch die transformatorische Kopplung [ü] bleiben Parallel-/Reihenschaltungen erhalten und es gilt: und Die beiden Induktivitäten Lh,1 und Lh,2 verschmelzen zur (primären) Hauptinduktivität .

Das oben gezeigte T-Ersatzschaltbild erweitert also den idealen Transformator [ü] um die realen Effekte. Das Übertragungsverhalten des realen Transformators ergibt sich durch die Verkettung des idealen- und des realen Transformators in Kettenparametern (Stromrichtung I2 von Zweitor weg!) somit zu:

Für Schaltungsanalysen wird in aller Regel das T-Ersatzschaltbild verwendet.

Kenngrößen Bearbeiten

Indizierung

Selbstinduktivität Bearbeiten

Die Selbstinduktivitäten eines Transformators berechnen sich wie folgt:

wobei der magnetische Leitwert und Φ11 der Anteil des magnetischen Flusses ist, der vom Strom I1 hervorgerufen wird (Superposition) und durch die Spulenwicklungen N1 verläuft (Φ22 äquivalent).

Die Selbstinduktivitäten können an den Transformatorklemmen gemessen werden, wenn die andere Seite des Transformators offen (im Leerlauf) ist. Anmerkung: Im magnetischen Kreis aus dem ersten Schaltplan wirkt N2 wie ein Kurzschluss, wenn die Klemmen im elektrischen Kreis offen sind (gyratorische Kopplung).

Gegeninduktivität Bearbeiten

Die Gegeninduktivitäten sind definiert als:

Wie oben gezeigt, sind die beiden Gegeninduktivitäten im Falle linearer Materialien (wie bisher angenommen) gleich. Somit wird die Größe als Gegeninduktivität bezeichnet.

Kopplungsfaktor Bearbeiten

Die sogenannten Flusskoppelfaktoren sind wie folgt definiert:

ist der Anteil des magnetischem Flusses durch , der von Strom hervorgerufen wird. Demnach gilt: .

Weiter lässt sich schreiben:

mit gemeinsamem Kopplungsfaktor wobei ist. Für vollkommene Kopplung ist .

Streufaktor Bearbeiten

Messung der Kurzschlussinduktivität

Äquivalent zum Kopplungsfaktor lassen sich Streufaktoren wie folgt definieren:

Der Faktor heißt Blondel-Koeffizient oder einfach Streufaktor.

Im Falle eines symmetrischen, kapazitätsfreien Transformators ( ) lässt sich der Blondel-Koeffizient z. B. mit einem LCR-Meter durch Induktivitätsmessung leicht bestimmen:

wobei Loffen = L1 die messbare Induktivität am Eingang bei offenem Ausgangs ist und Lkurz die messbare Kurzschlussinduktivität am Eingang bei Kurzschluss des Ausgangs ist (Eingang und Ausgang sind hier vertauschbar).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. vgl. Dieter Zastrow: Elektrotechnik: Ein Grundlagenlehrbuch. 17. Auflage. Springer-Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0562-1, Abschnitt: Realer Transformator, S. 330.
  2. Manfred Albach: Induktivitäten in der Leistungselektronik. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-15080-8, doi:10.1007/978-3-658-15081-5.
  3. (Memento des Originals vom 5. November 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.htw-dresden.de HTW Dresden, August 2011, abgerufen am 5. September 2015, S. 9.
  4. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 : Elektrizität und Optik. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68219-6, S. 150–154.
  5. Ing: GdE: Modelle des Transformators – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. In: de.wikibooks.org. Abgerufen am 4. November 2016.
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In diesem Artikel fehlen noch folgende wichtige Informationen Dieser Artikel sollte mit mehr Quellen belegt werden In den meisten Fachbuchern wird der realte Transformator nur kurz erwahnt wer stichhaltige Literatur findet Bitte erganzen Auch fehlt das Modell fur hohe Frequenzen mit Windungskapazitaten Hilf der Wikipedia indem du sie recherchierst und einfugst Der reale Transformator ist ein in der Regel linearisiertes Modell eines Transformators das den idealen Transformator um Streufelder ohmsche Verluste Hystereseverluste und ggf kapazitive Effekte erweitert In einem realen Transformator fliesst nicht der gesamte magnetische Fluss den eine der Spulen hervorruft auch durch die andere Spule Dieses Phanomen heisst Streuung In vielen Anwendungsfallen ist Streuung unerwunscht in anderen wiederum z B resonante Wandler wichtiger Bestandteil der Topologie da mit gezielt gewahlten Streufaktoren zusatzliche Spulen eingespart werden konnen Inhaltsverzeichnis 1 Ersatzschaltbild fur niedrige Frequenzen 1 1 Elektrischer und magnetischer Kreis 1 2 Symmetrisches Ersatzschaltbild 1 3 T Ersatzschaltbild 2 Kenngrossen 2 1 Selbstinduktivitat 2 2 Gegeninduktivitat 2 3 Kopplungsfaktor 2 4 Streufaktor 3 EinzelnachweiseErsatzschaltbild fur niedrige Frequenzen Bearbeiten nbsp Ein realer Transformator mit Wicklungen und magnetischen FlussenElektrischer und magnetischer Kreis Bearbeiten Die nebenstehende Abbildung wird anschaulich in folgendem Schaltplan abgebildet nbsp Dieser Schaltplan beinhaltet zwei elektrische Kreise und einen Magnetischen Die Spulenwicklungen N1 und N2 fungieren als Kopplung zwischen elektrischem und magnetischem Kreis Die Streuflusse werden im Ersatzschaltplan als magnetische Widerstande Rm s1 und Rm s2 dargestellt Ein Strom I1 erzeugt im magnetischen Kreis an N1 eine Durchflutung 8 1 N 1 I 1 displaystyle Theta 1 N 1 cdot I 1 nbsp sodass F s 1 8 1 R m s 1 textstyle Phi sigma 1 frac Theta 1 R m sigma 1 nbsp Der magnetische Widerstand Rm h den der Hauptfluss Fh erfahrt ist hier aus Symmetriegrunden geteilt In sehr guter Naherung ist Rm h der magnetische Widerstand des Eisenjochs Die Widerstande R1 und R2 reprasentieren den Widerstand der Spulenwicklungen Symmetrisches Ersatzschaltbild Bearbeiten Im nachsten Schritt wird der magnetische Kreis in die elektrischen Kreise transformiert nbsp Die Spulenwicklungen N1 und N2 verschmelzen zu einem idealen Transformator mit Ubersetzungsverhaltnis u N 1 N 2 textstyle ddot u frac N 1 N 2 nbsp Bei der Transformation durch die gyratorischen Spulenkopplungen werden parallel geschaltete magnetische Widerstande zu in Reihe geschalteten Induktivitaten L s 1 N 1 2 R m s 1 textstyle L sigma 1 frac N 1 2 R m sigma 1 nbsp L s 2 N 2 2 R m s 2 textstyle L sigma 2 frac N 2 2 R m sigma 2 nbsp L h 1 N 1 2 R m h 2 textstyle L h 1 frac N 1 2 R m h 2 nbsp und L h 2 N 2 2 R m h 2 textstyle L h 2 frac N 2 2 R m h 2 nbsp Anmerkung Oftmals ist auch von primarer und sekundarer Hauptinduktivitat die Rede welche aber die Transformation beider Spulenhalften auf eine Seite meinen und daher nie im gleichen Ersatzschaltbild eingezeichnet werden durfen 1 Dies fuhrt oft zu Verwechslungen T Ersatzschaltbild Bearbeiten Jedes lineare Zweitor kann als T Ersatzschaltbild dargestellt werden Uber die oben gezeigten Schritte bekommen die einzelnen Komponenten dieses Schaltbilds hier einen direkten realen Bezug Der ideale Transformator wird dafur aus dem Schaltbild herausgezogen nbsp Neu hinzugekommen ist hier der Widerstand RFe der die bislang nicht beachteten Hystereseverluste im Kern symbolisiert Bei der Transformation durch die transformatorische Kopplung u bleiben Parallel Reihenschaltungen erhalten und es gilt L s 2 u 2 L s 2 textstyle L sigma 2 ddot u 2 cdot L sigma 2 nbsp und R 2 u 2 R 2 textstyle R 2 ddot u 2 cdot R 2 nbsp Die beiden Induktivitaten Lh 1 und Lh 2 verschmelzen zur primaren Hauptinduktivitat L h L h 1 L h 2 L h 1 L h 2 N 1 2 R m h textstyle L h frac L h 1 cdot L h 2 L h 1 L h 2 frac N 1 2 R m h nbsp Das oben gezeigte T Ersatzschaltbild erweitert also den idealen Transformator u um die realen Effekte Das Ubertragungsverhalten des realen Transformators ergibt sich durch die Verkettung des idealen und des realen Transformators in Kettenparametern Stromrichtung I2 von Zweitor weg somit zu U 1 I 1 T real U 2 I 2 displaystyle begin pmatrix U 1 I 1 end pmatrix T text real cdot begin pmatrix U 2 I 2 end pmatrix nbsp wobei T real 1 Z 1 Z h Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 Z h 1 Z h 1 Z 2 Z h u 0 0 1 u displaystyle T text real begin pmatrix 1 frac Z 1 Z h amp Z 1 Z 2 frac Z 1 cdot Z 2 Z h frac 1 Z h amp 1 frac Z 2 Z h end pmatrix cdot begin pmatrix ddot u amp 0 0 amp frac 1 ddot u end pmatrix nbsp mit Z 1 R 1 i w L s 1 Z 2 R 2 i w L s 2 Z h R Fe i w L h R Fe i w L h displaystyle begin aligned amp Z 1 R 1 i omega L sigma 1 amp Z 2 R 2 i omega L sigma 2 amp Z h frac R text Fe cdot i omega L h R text Fe i omega L h end aligned nbsp Fur Schaltungsanalysen wird in aller Regel das T Ersatzschaltbild verwendet Kenngrossen Bearbeiten nbsp IndizierungSelbstinduktivitat Bearbeiten Die Selbstinduktivitaten eines Transformators berechnen sich wie folgt 2 L 1 N 1 F 11 I 1 N 1 L h L s 1 8 1 I 1 N 1 2 L h L s 1 L h L s 1 displaystyle L 1 frac N 1 cdot Phi 11 I 1 frac N 1 cdot Lambda h Lambda sigma 1 cdot Theta 1 I 1 N 1 2 cdot Lambda h Lambda sigma 1 L h L sigma 1 nbsp L 2 N 2 F 22 I 2 L h u 2 L s 2 displaystyle L 2 frac N 2 cdot Phi 22 I 2 frac L h ddot u 2 L sigma 2 nbsp wobei L 1 R m displaystyle Lambda frac 1 R m nbsp der magnetische Leitwert und F11 der Anteil des magnetischen Flusses ist der vom Strom I1 hervorgerufen wird Superposition und durch die Spulenwicklungen N1 verlauft F22 aquivalent Die Selbstinduktivitaten konnen an den Transformatorklemmen gemessen werden wenn die andere Seite des Transformators offen im Leerlauf ist Anmerkung Im magnetischen Kreis aus dem ersten Schaltplan wirkt N2 wie ein Kurzschluss wenn die Klemmen im elektrischen Kreis offen sind gyratorische Kopplung Gegeninduktivitat Bearbeiten Die Gegeninduktivitaten sind definiert als M 12 N 1 F 12 I 2 N 1 k 2 F 22 I 2 N 1 I 2 L h L h L s 2 L h L s 2 8 2 N 1 N 2 L h displaystyle M 12 frac N 1 cdot Phi 12 I 2 frac N 1 cdot k 2 cdot Phi 22 I 2 frac N 1 I 2 cdot frac Lambda h Lambda h Lambda sigma 2 cdot Lambda h Lambda sigma 2 cdot Theta 2 N 1 cdot N 2 cdot Lambda h nbsp M 21 N 2 F 21 I 1 N 2 k 1 F 11 I 1 N 1 N 2 L h displaystyle M 21 frac N 2 cdot Phi 21 I 1 frac N 2 cdot k 1 cdot Phi 11 I 1 N 1 cdot N 2 cdot Lambda h nbsp Wie oben gezeigt sind die beiden Gegeninduktivitaten M 12 M 21 M displaystyle M 12 M 21 M nbsp im Falle linearer Materialien wie bisher angenommen gleich Somit wird die Grosse M displaystyle M nbsp als Gegeninduktivitat bezeichnet Kopplungsfaktor Bearbeiten Die sogenannten Flusskoppelfaktoren sind wie folgt definiert 3 k 1 F 21 F 11 L h L h L s 1 displaystyle k 1 frac Phi 21 Phi 11 frac Lambda h Lambda h Lambda sigma 1 nbsp k 2 F 12 F 22 L h L h L s 2 displaystyle k 2 frac Phi 12 Phi 22 frac Lambda h Lambda h Lambda sigma 2 nbsp F 12 displaystyle Phi 12 nbsp ist der Anteil des magnetischem Flusses durch N 1 displaystyle N 1 nbsp der von Strom I 2 displaystyle I 2 nbsp hervorgerufen wird Demnach gilt F h F 12 F 21 displaystyle Phi h Phi 12 Phi 21 nbsp Weiter lasst sich schreiben k 1 L 1 N 1 2 L h displaystyle k 1 cdot L 1 N 1 2 cdot Lambda h nbsp L h k 1 L 1 N 1 2 k 2 L 2 N 2 2 displaystyle Lambda h frac k 1 cdot L 1 N 1 2 frac k 2 cdot L 2 N 2 2 nbsp L h 2 L h L h k 1 L 1 N 1 2 k 2 L 2 N 2 2 displaystyle Lambda h 2 Lambda h cdot Lambda h left frac k 1 cdot L 1 N 1 2 right cdot left frac k 2 cdot L 2 N 2 2 right nbsp M N 1 N 2 L h N 1 N 2 k 1 L 1 N 1 2 k 2 L 2 N 2 2 k 1 k 2 L 1 L 2 k L 1 L 2 displaystyle M N 1 cdot N 2 cdot Lambda h N 1 cdot N 2 cdot sqrt left frac k 1 cdot L 1 N 1 2 right cdot left frac k 2 cdot L 2 N 2 2 right sqrt k 1 cdot k 2 cdot L 1 cdot L 2 k cdot sqrt L 1 cdot L 2 nbsp mit gemeinsamem Kopplungsfaktor k k 1 k 2 M L 1 L 2 displaystyle k sqrt k 1 cdot k 2 frac M sqrt L 1 cdot L 2 nbsp wobei 0 lt k lt 1 displaystyle 0 lt k lt 1 nbsp ist Fur vollkommene Kopplung ist k 1 displaystyle k 1 nbsp 4 Streufaktor Bearbeiten nbsp Messung der KurzschlussinduktivitatAquivalent zum Kopplungsfaktor lassen sich Streufaktoren wie folgt definieren s 1 1 k 1 L s 1 L h L s 1 L s 1 L 1 displaystyle sigma 1 1 k 1 frac Lambda sigma 1 Lambda h Lambda sigma 1 frac L sigma 1 L 1 nbsp s 2 1 k 2 L s 2 L h L s 2 L s 2 L 2 displaystyle sigma 2 1 k 2 frac Lambda sigma 2 Lambda h Lambda sigma 2 frac L sigma 2 L 2 nbsp Der Faktor s 1 k 2 s 1 s 2 s 1 s 2 displaystyle sigma 1 k 2 sigma 1 sigma 2 sigma 1 cdot sigma 2 nbsp heisst Blondel Koeffizient oder einfach Streufaktor Im Falle eines symmetrischen kapazitatsfreien Transformators L s 1 L s 2 L s 1 L s 2 s 1 s 2 textstyle Lambda sigma 1 Lambda sigma 2 leftrightarrow L sigma 1 L sigma 2 leftrightarrow sigma 1 sigma 2 nbsp lasst sich der Blondel Koeffizient z B mit einem LCR Meter durch Induktivitatsmessung leicht bestimmen s 2 s 1 s 1 2 L k u r z L o f f e n displaystyle sigma 2 sigma 1 sigma 1 2 frac L mathrm kurz L mathrm offen nbsp wobei Loffen L1 die messbare Induktivitat am Eingang bei offenem Ausgangs ist und Lkurz die messbare Kurzschlussinduktivitat am Eingang bei Kurzschluss des Ausgangs ist Eingang und Ausgang sind hier vertauschbar 5 Einzelnachweise Bearbeiten vgl Dieter Zastrow Elektrotechnik Ein Grundlagenlehrbuch 17 Auflage Springer Verlag 2010 ISBN 978 3 8348 0562 1 Abschnitt Realer Transformator S 330 Manfred Albach Induktivitaten in der Leistungselektronik Springer Fachmedien Wiesbaden Wiesbaden 2017 ISBN 978 3 658 15080 8 doi 10 1007 978 3 658 15081 5 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik Versuch Magnetischer Kreis Memento des Originals vom 5 November 2016 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www htw dresden de HTW Dresden August 2011 abgerufen am 5 September 2015 S 9 Wolfgang Demtroder Experimentalphysik 2 Elektrizitat und Optik 5 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 68219 6 S 150 154 Ing GdE Modelle des Transformators Wikibooks Sammlung freier Lehr Sach und Fachbucher In de wikibooks org Abgerufen am 4 November 2016 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Realer Transformator amp oldid 232608560