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Ramanujan Thetafunktion Die ist eine infinitesimalanalytische Elliptische Funktion Sie wurde nach dem indischen Mathemat

Ramanujan-Thetafunktion

Die Ramanujan-Thetafunktion ist eine infinitesimalanalytische Elliptische Funktion. Sie wurde nach dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan benannt. Und sie stellt einen Allgemeinfall für die Jacobische Theta-Nullwert-Funktion dar.

Definition Bearbeiten

So ist die Ramanujansche Thetafunktion definiert:

Hierbei muss zusätzlich folgendes Kriterium gelten:

Identitäten Bearbeiten

Summenidentitäten und Produktidentitäten Bearbeiten

Es gilt (die Funktion ist symmetrisch in den beiden Variablen). Für die ersten Terme ergibt sich:

So lauten hiermit die ersten Summanden dieser Reihe:

Mit dem q-Pochhammer-Symbol drückt sich die Ramanujansche Thetafunktion so aus:

was äquivalent zum Jacobi-Tripelprodukt ist. Für den Spezialfall

ergibt sich aus dem Jacobi-Tripelprodukt der Pentagonalzahlensatz. Manchmal wird geschrieben. Die Funktion ist eng mit der Dedekindschen η-Funktion verbunden und ihr Kehrwert die erzeugende Funktion für Partitionen.

Integralidentitäten Bearbeiten

Die Ramanujansche Thetafunktion kann über Integrale ausgedrückt werden:

Die kanadische Mathematikerin Maxie Schmidt aus der Universität Georgia erforschte die Integralidentitäten der Ramanujanschen Thetafunktion. In ihrem Werk Square Series Generating Function Transformations behandelte sie die Integraldarstellungen modulärer und nicht modulärer elliptischer Funktionen.

Nevillesche Thetafunktion Bearbeiten

Die Ramanujansche Thetafunktion kann mit Hilfe der Nevillesche Thetafunktion dargestellt werden:

Und umgekehrt gilt damit diese Formel für die genannte Nevillesche Thetafunktion und kann als Definition dieser Funktion herangezogen werden:

Der Vorfaktor vor dem Produkt aus gezeigter Exponentialfunktion und Ramanujanscher Thetafunktion in dieser Formel ist gleich dem Kehrwert der Quadratwurzel aus dem reduzierten K-Integral des Pythagoräischen Komplementärmoduls, des oft mit k' gekennzeichneten Moduls. Das vollständige standardisierte K-Integral vom Pythagoräisch komplementären Modul k' stimmt selbst mit dem Ausdruck K'(k) überein, welches als komplementäres K-Integral gilt. Die hier gezeigte Exponentialfunktion stellt bezüglich der Variable aus dem linken Klammereintrag des Nevilleschen Theta eine Gaußsche Glockenkurvenfunktion dar. Und in diesem Exponentialterm stehen der elliptische Modul und der Pythagoräische Komplementärmodul zueinander symmetrisch. Das Produkt der beiden Klammereinträge von dem genannten Abschnitt des Ramanujanschen Theta ergibt exakt das Quadrat des Komplementären Elliptischen Nomens in dieser Formel. Mit dem Begriff Komplementäres Elliptisches Nomen wird exakt folgende Funktion ausgedrückt:

Im Gegensatz dazu ist das ursprüngliche elliptische Nomen so definiert:

Theta-Nullwert und Ramanujansche Psifunktion Bearbeiten

Weitere Spezialfälle sind die Ramanujansche -Funktion und Ramanujans -Funktion, welche jedoch auf keinen Fall mit den gleichnamigen Hermiteschen elliptischen Funktionen φ und ψ verwechselt werden dürfen!

Für die Ramanujansche -Funktion gilt diese Formel:

Mit ϑ₀₀ wird die Hauptfunktion unter den Jacobischen Thetafunktionen bezeichnet. Sie ist als sogenannte Nullwert-Funktion mit der Ramanujanschen -Funktion exakt identisch. Wenn als das eingetragene Nomen hier direkt die standardisierte elliptische Nomenfunktion eingesetzt wird, dann lässt sich der entstehende Wert direkt mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art K darstellen:

Und für Ramanujans ψ-Funktion gilt die folgende Formel:

Jacobische Thetafunktionen Bearbeiten

Die Jacobische Thetafunktion ergibt sich als:

mit , , so dass sich die übliche Darstellung ergibt:

Literatur Bearbeiten

  • Maxie D. Schmidt: Square series generating function transformations. Journal of Inequalities and Special Functions, Band 8, 2017, Heft 2, Arxiv 2016.
  • W. N. Bailey: Generalized Hypergeometric Series. 1935, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 32. Auflage, Cambridge University Press
  • George Gasper und Mizan Rahman: Basic Hypergeometric Series. Zweite Auflage, 2004, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96. Auflage, Cambridge University Press, isbn=0-521-83357-4

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Ramanujan Thetafunktion ist eine infinitesimalanalytische Elliptische Funktion Sie wurde nach dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan benannt Und sie stellt einen Allgemeinfall fur die Jacobische Theta Nullwert Funktion dar Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Identitaten 2 1 Summenidentitaten und Produktidentitaten 2 2 Integralidentitaten 2 3 Nevillesche Thetafunktion 2 4 Theta Nullwert und Ramanujansche Psifunktion 2 5 Jacobische Thetafunktionen 3 Literatur 4 WeblinksDefinition BearbeitenSo ist die Ramanujansche Thetafunktion definiert f a b ϑ R a b n a n n 1 2 b n n 1 2 n a n b n 1 displaystyle f a b vartheta R a b sum n infty infty a n n 1 2 b n n 1 2 sum n infty infty a bigtriangleup n b bigtriangleup n 1 nbsp Hierbei muss zusatzlich folgendes Kriterium gelten a b lt 1 displaystyle ab lt 1 nbsp Identitaten BearbeitenSummenidentitaten und Produktidentitaten Bearbeiten Es gilt f a b f b a displaystyle f a b f b a nbsp die Funktion ist symmetrisch in den beiden Variablen Fur die ersten Terme ergibt sich f a b ϑ R a b 1 v w n 1 v w n v n 1 w n 1 displaystyle f a b vartheta R a b 1 v w sum n 1 infty vw bigtriangleup n v n 1 w n 1 nbsp So lauten hiermit die ersten Summanden dieser Reihe f a b 1 a b a b a 2 b 2 a b 3 a 3 b 3 a b 6 a 4 b 4 displaystyle f a b 1 a b ab a 2 b 2 ab 3 a 3 b 3 ab 6 a 4 b 4 cdot cdot cdot nbsp Mit dem q Pochhammer Symbol a q n displaystyle a q n nbsp druckt sich die Ramanujansche Thetafunktion so aus f a b a a b b a b a b a b m 0 1 a a b m 1 b a b m 1 a b m 1 displaystyle f a b a ab infty b ab infty ab ab infty prod m 0 infty left 1 a ab m right left 1 b ab m right left 1 ab m 1 right nbsp was aquivalent zum Jacobi Tripelprodukt ist Fur den Spezialfall f q q 2 n 1 n q n 3 n 1 2 q q n 1 1 q n displaystyle f q q 2 sum n infty infty 1 n q n 3n 1 2 q q infty prod n 1 infty 1 q n nbsp ergibt sich aus dem Jacobi Tripelprodukt der Pentagonalzahlensatz Manchmal wird f q q 2 f q displaystyle f q q 2 f q nbsp geschrieben Die Funktion ist eng mit der Dedekindschen h Funktion verbunden und ihr Kehrwert die erzeugende Funktion fur Partitionen Integralidentitaten Bearbeiten Die Ramanujansche Thetafunktion kann uber Integrale ausgedruckt werden f a b ϑ R a b 1 2 a p 0 exp x 2 1 a a b cos 2 ln a b x 1 2 a a b cos 2 ln a b x a 3 b d x displaystyle f a b vartheta R a b 1 frac 2a sqrt pi int 0 infty exp x 2 biggl frac 1 a sqrt ab cos bigl sqrt 2 ln ab x bigr 1 2a sqrt ab cos bigl sqrt 2 ln ab x bigr a 3 b biggr mathrm d x nbsp 2 b p 0 exp x 2 1 b a b cos 2 ln a b x 1 2 b a b cos 2 ln a b x a b 3 d x displaystyle frac 2b sqrt pi int 0 infty exp x 2 biggl frac 1 b sqrt ab cos bigl sqrt 2 ln ab x bigr 1 2b sqrt ab cos bigl sqrt 2 ln ab x bigr ab 3 biggr mathrm d x nbsp Die kanadische Mathematikerin Maxie Schmidt aus der Universitat Georgia erforschte die Integralidentitaten der Ramanujanschen Thetafunktion In ihrem Werk Square Series Generating Function Transformations behandelte sie die Integraldarstellungen modularer und nicht modularer elliptischer Funktionen Nevillesche Thetafunktion Bearbeiten Die Ramanujansche Thetafunktion kann mit Hilfe der Nevillesche Thetafunktion 8 d displaystyle theta d nbsp dargestellt werden f a b ϑ R a b exp ln a b 2 8 ln a b ϑ 00 a b 8 d 1 4 ln a b ϑ 00 a b 2 ps H a b 4 displaystyle f a b vartheta R a b exp biggl frac ln a div b 2 8 ln ab biggr vartheta 00 sqrt ab theta d bigl frac 1 4 ln a div b vartheta 00 sqrt ab 2 psi H sqrt ab 4 bigr nbsp Und umgekehrt gilt damit diese Formel fur die genannte Nevillesche Thetafunktion und kann als Definition dieser Funktion herangezogen werden 8 d z k p 2 1 2 K k 1 2 exp p z 2 4 K k K k ϑ R exp p z K k K k exp p z K k K k displaystyle theta d z k bigl frac pi 2 bigr 1 2 K k 1 2 exp biggl frac pi z 2 4 K k K k biggr vartheta R biggl exp biggl pi frac z K k K k biggr exp biggl pi frac z K k K k biggr biggr nbsp Der Vorfaktor vor dem Produkt aus gezeigter Exponentialfunktion und Ramanujanscher Thetafunktion in dieser Formel ist gleich dem Kehrwert der Quadratwurzel aus dem reduzierten K Integral des Pythagoraischen Komplementarmoduls des oft mit k gekennzeichneten Moduls Das vollstandige standardisierte K Integral vom Pythagoraisch komplementaren Modul k stimmt selbst mit dem Ausdruck K k uberein welches als komplementares K Integral gilt Die hier gezeigte Exponentialfunktion stellt bezuglich der Variable z displaystyle z nbsp aus dem linken Klammereintrag des Nevilleschen Theta eine Gausssche Glockenkurvenfunktion dar Und in diesem Exponentialterm stehen der elliptische Modul und der Pythagoraische Komplementarmodul zueinander symmetrisch Das Produkt der beiden Klammereintrage von dem genannten Abschnitt des Ramanujanschen Theta ergibt exakt das Quadrat des Komplementaren Elliptischen Nomens in dieser Formel Mit dem Begriff Komplementares Elliptisches Nomen wird exakt folgende Funktion ausgedruckt q k q 1 k exp p K k K k displaystyle q k q 1 k exp bigl pi K k div K k bigr nbsp Im Gegensatz dazu ist das ursprungliche elliptische Nomen so definiert q k exp p K k K k displaystyle q k exp bigl pi K k div K k bigr nbsp Theta Nullwert und Ramanujansche Psifunktion Bearbeiten Weitere Spezialfalle sind die Ramanujansche f displaystyle varphi nbsp Funktion und Ramanujans ps displaystyle psi nbsp Funktion welche jedoch auf keinen Fall mit den gleichnamigen Hermiteschen elliptischen Funktionen f und ps verwechselt werden durfen Fur die Ramanujansche f displaystyle varphi nbsp Funktion gilt diese Formel f q ϑ 00 q f q q n q n 2 q q 2 q 2 q 2 q 2 q 2 q q 2 q q q q 1 2 q 2 q 4 2 q 9 2 q 16 2 q 25 displaystyle varphi q vartheta 00 q f q q sum n infty infty q n 2 frac q q 2 infty q 2 q 2 infty q 2 q 2 infty q q 2 infty frac q q infty q q infty 1 2q 2q 4 2q 9 2q 16 2q 25 nbsp Mit ϑ wird die Hauptfunktion unter den Jacobischen Thetafunktionen bezeichnet Sie ist als sogenannte Nullwert Funktion mit der Ramanujanschen f displaystyle varphi nbsp Funktion exakt identisch Wenn als das eingetragene Nomen hier direkt die standardisierte elliptische Nomenfunktion q k displaystyle q k nbsp eingesetzt wird dann lasst sich der entstehende Wert direkt mit dem vollstandigen elliptischen Integral erster Art K darstellen f q k ϑ 00 q k f q k q k ϑ R q k q k 2 p K k 1 2 displaystyle varphi q k vartheta 00 q k f q k q k vartheta R q k q k biggl frac 2 pi K k biggr 1 2 nbsp Und fur Ramanujans ps Funktion gilt die folgende Formel ps q f q q 3 n 0 q n n 1 2 q 2 q 2 q q 2 displaystyle psi q f q q 3 sum n 0 infty q n n 1 2 frac q 2 q 2 infty q q 2 infty nbsp Jacobische Thetafunktionen Bearbeiten Die Jacobische Thetafunktion ergibt sich als ϑ w q f q w 2 q w 2 n q n 2 w 2 n displaystyle vartheta w q f qw 2 qw 2 sum n infty infty q n 2 w 2n nbsp mit q e p i t displaystyle q e pi i tau nbsp w e p i z displaystyle w e pi iz nbsp so dass sich die ubliche Darstellung ergibt ϑ z t n exp p i n 2 t 2 p i n z displaystyle vartheta z tau sum n infty infty exp pi in 2 tau 2 pi inz nbsp Literatur BearbeitenMaxie D Schmidt Square series generating function transformations Journal of Inequalities and Special Functions Band 8 2017 Heft 2 Arxiv 2016 W N Bailey Generalized Hypergeometric Series 1935 Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 32 Auflage Cambridge University Press George Gasper und Mizan Rahman Basic Hypergeometric Series Zweite Auflage 2004 Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 96 Auflage Cambridge University Press isbn 0 521 83357 4Weblinks BearbeitenRamanujan Theta Function Mathworld englisch Ramanujan Function Encyclopedia of Mathematics englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ramanujan Thetafunktion amp oldid 238753753