Ein q displaystyle q Analogon Pl q displaystyle q Analoga ist ein mathematischer Begriff welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt Ein q displaystyle q Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusatzlichen Parameters q displaystyle q so dass man im Fall q 1 displaystyle q to 1 wieder die ursprungliche Aussage erhalt Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der q displaystyle q Polynome Inhaltsverzeichnis 1 Elementare Beispiele 1 1 Kombinatorik 1 1 1 q Fakultat 1 1 2 q Pochhammer Symbol 1 1 3 q Binomialkoeffizient 1 1 4 Eigenschaften 2 q Spezielle Funktionen 2 1 q hypergeometrische Funktion 2 1 1 q orthogonale Polynome 3 Analysis 3 1 q Kalkul 3 1 1 q Taylorreihe 4 Literatur 5 EinzelnachweiseElementare Beispiele BearbeitenEine naturliche Zahl n displaystyle n nbsp besitzt das q displaystyle q nbsp Analogon n q 1 q n 1 q 1 q q 2 q n 1 displaystyle n q frac 1 q n 1 q 1 q q 2 cdots q n 1 nbsp dd da lim q 1 n q n displaystyle lim q rightarrow 1 n q n nbsp Kombinatorik Bearbeiten q Fakultat Bearbeiten Die q displaystyle q nbsp Fakultat ist fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp 1 n q n q n 1 q 1 q k 1 n 1 q k 1 q displaystyle n q n q n 1 q cdots 1 q prod limits k 1 n frac 1 q k 1 q nbsp und 0 q 1 displaystyle 0 q 1 nbsp Durch ausmultiplizieren erhalt man n q 1 1 q 1 q q n 2 1 q q n 1 displaystyle n q 1 cdot 1 q cdots 1 q cdots q n 2 cdot 1 q cdots q n 1 nbsp q Pochhammer Symbol Bearbeiten Das q displaystyle q nbsp Pochhammer Symbol auch q displaystyle q nbsp Shiftfakultat genannt ist a q n k 1 n 1 a q k 1 displaystyle a q n prod limits k 1 n 1 aq k 1 nbsp oder allgemeiner a 1 a 2 a m q n a 1 q n a 2 q n a m q n displaystyle a 1 a 2 ldots a m q n a 1 q n a 2 q n ldots a m q n nbsp q Binomialkoeffizient Bearbeiten Der q displaystyle q nbsp Binomialkoeffizient ist n k q n q k q n k q j 1 k 1 q n j 1 1 q j displaystyle binom n k q frac n q k q n k q prod limits j 1 k frac 1 q n j 1 1 q j nbsp Eigenschaften Bearbeiten Es gilt n q q q n 1 q n displaystyle n q frac q q n 1 q n nbsp und n k q q q n q q k q q n k displaystyle binom n k q frac q q n q q k q q n k nbsp q Spezielle Funktionen Bearbeitenq hypergeometrische Funktion Bearbeiten Das q displaystyle q nbsp Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die q displaystyle q nbsp hypergeometrische Funktion 1 r ϕ s a 1 a 2 a r b 1 b 2 b s q z n 0 a 1 a 2 a r q n q b 1 b 2 b s q n z n q n 1 2 n s 1 r displaystyle r phi s left begin matrix a 1 amp a 2 amp ldots amp a r b 1 amp b 2 amp ldots amp b s end matrix q z right sum n 0 infty frac a 1 a 2 ldots a r q n q b 1 b 2 ldots b s q n z n left q n 1 2 right n s 1 r nbsp q orthogonale Polynome Bearbeiten Die stetigen q displaystyle q nbsp Hermitischen Polynome H n x q displaystyle H n x mid q nbsp sind durch folgende Rekursion gegeben 2 2 x H n x q H n 1 x q 1 q n H n 1 x q displaystyle 2xH n x mid q H n 1 x mid q 1 q n H n 1 x mid q nbsp mit Anfangswerten H 0 x q 1 H 1 x q 2 x displaystyle H 0 x mid q 1 H 1 x mid q 2x nbsp Analysis BearbeitenDas q displaystyle q nbsp Analogon der Exponentialfunktion ist e q x n 0 x n n q displaystyle e q x sum limits n 0 infty frac x n n q nbsp q Kalkul Bearbeiten Das q displaystyle q nbsp Analogon der Ableitung einer Funktion f displaystyle f nbsp ist die Q Differenz D q f x f x f q x 1 q x displaystyle D q f x frac f x f qx 1 q x nbsp dadurch entsteht das sogenannte q displaystyle q nbsp Kalkul q Taylorreihe Bearbeiten Das q displaystyle q nbsp Analogon von x a n displaystyle x a n nbsp ist x a q n k 0 n 1 x q k a displaystyle x a q n prod limits k 0 n 1 x q k a nbsp zusammen mit der q displaystyle q nbsp Differenz und der q displaystyle q nbsp Fakultat lasst sich nun ein q displaystyle q nbsp Analogon zur Taylorreihe fur f displaystyle f nbsp herleiten f x n 0 D q n f a x a q n n q displaystyle f x sum limits n 0 infty frac D q n f a x a q n n q nbsp Literatur BearbeitenMourad E H Ismail Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable Hrsg Cambridge University Press 2005 doi 10 1017 CBO9781107325982 Einzelnachweise Bearbeiten a b Mourad E H Ismail Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable Hrsg Cambridge University Press 2005 S 299 doi 10 1017 CBO9781107325982 Mourad E H Ismail Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable Hrsg Cambridge University Press 2005 S 319 doi 10 1017 CBO9781107325982 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Q Analogon amp oldid 228474116
