Das Prinzip der grossen Abweichungen kurz LDP von Large Deviation Principle ist ein Begriff aus der Theorie der grossen Abweichungen Es handelt sich um eine Charakterisierung des Grenzverhaltens einer Folge von Wahrscheinlichkeitsmassen in Relation zu einer Rate Funktion siehe Konvergenzrate Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Rate Funktion 1 2 Prinzip der grossen Abweichungen 2 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenRate Funktion Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum der Hausdorff ist mit borelscher s Algebra B displaystyle mathcal B nbsp Eine Funktion I X 0 displaystyle I X to 0 infty nbsp heisst Rate Funktion auch Cramer Funktion genannt falls Folgendes gilt I displaystyle I nbsp ist unterhalbstetig d h es gilt K l x X I x l displaystyle K l x in X I x leq l nbsp ist geschlossen fur jedes l lt displaystyle l lt infty nbsp Man spricht von einer guten Rate Funktion falls zusatzlich gilt K l displaystyle K l nbsp sind kompakt Prinzip der grossen Abweichungen Bearbeiten Sei m e displaystyle mu varepsilon nbsp eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmassen auf X displaystyle X nbsp Weiter sei l e 0 R displaystyle lambda varepsilon 0 infty to mathbb R nbsp so dass lim e 0 l e displaystyle lim limits varepsilon to 0 lambda varepsilon infty nbsp Dann gilt fur m e displaystyle mu varepsilon nbsp das Prinzip der grossen Abweichungen falls eine Rate Funktion I displaystyle I nbsp auf X displaystyle X nbsp existiert mit Rate l e displaystyle lambda varepsilon nbsp so dass Folgendes gilt 1 Fur alle offenen O X displaystyle O subset X nbsp gilt lim inf e 0 1 l e log m e O inf x O I x displaystyle liminf varepsilon to 0 frac 1 lambda varepsilon log mu varepsilon O geq inf limits x in O I x nbsp Fur alle abgeschlossenen C X displaystyle C subset X nbsp gilt lim sup e 0 1 l e log m e C inf x C I x displaystyle limsup varepsilon to 0 frac 1 lambda varepsilon log mu varepsilon C leq inf limits x in C I x nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Annals of Probability Volume 36 Number 2 Large deviations by S R S Varadhan Abgerufen am 3 Februar 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Prinzip der grossen Abweichungen amp oldid 222695415
