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Logarithmisches Windprofil Das logarithmische Windprofil wird als Näherung zur Beschreibung von Geschwindigkeitsprofilen

Logarithmisches Windprofil

Das logarithmische Windprofil wird als Näherung zur Beschreibung von Geschwindigkeitsprofilen verwendet, die durch die Bodenrauigkeit oder die Bebauung in Windströmungen entstehen. Das logarithmische Windprofil gilt in der bodennahen Prandtl-Schicht (bis ca. 60 m Höhe über dem Erdboden). Es ist von Bedeutung für die Windenergie.

Das logarithmische vertikale Windprofil gilt nur bei neutraler Schichtung. Bei einer nicht-neutralen Schichtung (also bei stabil und bei labil) gilt die Beziehung nicht.

Definition Bearbeiten

dynamische Rauigkeitslängen z0 für verschiedene Untergründe
Oberflächenbeschaffenheit z0 [m]
offshore (v10 = 5 m/s) 0,0001
offshore const. (Klasse 0) 0,0002
glatter Schnee 0,001
offshore (v10 = 25 m/s) 0,003
glatte Erde 0,005
Flughafen / kurzgeschnittene Wiese 0,01
Kulturlandschaft mit sehr wenigen Gebäuden, Bäumen etc. (Klasse 1) 0,03
Kulturlandschaft mit geschlossenem Erscheinungsbild (Klasse 2) 0,1
Klasse 3 0,4
Vorstädte 0,5
Wald 0,8
Stadt 1

In der Prandtl-Schicht nimmt die Windgeschwindigkeit mit der Höhe (annähernd) logarithmisch zu, also zunächst sehr rasch und dann zunehmend langsamer:

mit

  • der Schubspannungsgeschwindigkeit (d. h. der Wurzel aus dem spezifischen vertikalen Impulsfluss)
  • der Von-Karman-Konstante
  • der dynamischen Rauigkeitslänge (Höhe über Grund, in der das vertikale logarithmische Windprofil den Wert 0 annimmt bzw. sich die Geschwindigkeit nicht mehr ändert; s. nebenstehende Tabelle).

Häufig wird das logarithmische Profil bezogen auf die Windgeschwindigkeit in einer Referenzhöhe , so z. B. für die Daten des Deutschen Wetterdienstes DWD auf eine Höhe von über Grund. Mit folgender Formel kann auf eine beliebige andere Höhe umgerechnet werden:

Die starke, logarithmische Windzunahme mit der Höhe (vertikale Windscherung) in der Prandtl-Schicht sowie die Winddrehung in der Ekman-Schicht oberhalb der Prandtl-Schicht ist z. B. beim Bau von Windkraftanlagen zu berücksichtigen: durch den ungleichmäßigen Winddruck können hohe Spannungen auf die einzelnen Rotorblätter wirken.

Herleitung Bearbeiten

Die Atmosphärische Grenzschicht ist von Turbulenz dominiert und der vertikale turbulente Fluss horizontalen Impulses ergibt sich aus den Reynolds-Gleichungen als Kovarianz zwischen Vertikal- und Horizontalgeschwindigkeit. Nimmt man an, dass mittlere Windrichtung und mittlere Schubspannung zusammenfallen, so kann man schreiben:

mit der Schubspannungsgeschwindigkeit, der Luftdichte, u und w der horizontalen bzw. vertikalen Windgeschwindigkeit und z. B. den Abweichungen bzw. Schwankungen vom Mittelwert .

Mischungsweglängenansatz Bearbeiten

Die ursprüngliche Herleitung nach Ludwig Prandtl ist sehr anschaulich und basiert auf der Annahme, dass die Turbulenz bestimmte Strömungseigenschaften aus einer anderen Höhe an einen bestimmten Ort transportiert:

Nimmt man an, dass sich die Schwankungen und aus vertikalem, turbulentem Transport über eine Mischungsweglänge bzw. aus dem horizontalen Wind ergeben, so dass man

nähern kann, so führt dies durch Einsetzen zur Gleichung:

Die Mischungsweglängen sollten mit der Höhe zunehmen (größere Turbulenzelemente) und positiv korreliert sein (derselbe Auf- bzw. Abwind transportiert die und Störung heran). Der einfachste Ansatz hierzu ist:

mit einer Proportionalitätskonstante. Einsetzen führt zu

Wenn konstant mit der Höhe ist, dann lässt sich diese Gleichung integrieren. Die untere Integrationsgrenze wird dabei so definiert, dass hier der Horizontalwind verschwindet. Man erhält das logarithmische Windprofil:

In der Atmosphärischen Grenzschicht nimmt in den untersten 100 m nur um wenige Prozent ab, so dass die Annahme einer konstanten Schubspannungsgeschwindigkeit gerechtfertigt ist. Zu Ehren von Prandtl, der als Erster das logarithmische Windprofil hergeleitet hat, werden die untersten hundert Meter der atmosphärischen Grenzschicht, in denen die turbulenten Flüsse näherungsweise konstant sind, als Prandtl-Schicht bezeichnet.

Das logarithmische Windprofil findet man in der Natur bei neutraler Schichtung, das heißt, wenn sich die potentielle Temperatur nicht mit der Höhe ändert. Bei anderen Schichtungen findet man Abweichungen hiervon, die in der Monin-Obuchow-Theorie beschrieben werden. Obige Gleichung, die Gradient und Schubspannungsgeschwindigkeit verknüpft, enthält dann eine Korrekturfunktion , die man als Korrektur der Mischungsweglänge interpretieren kann:

Der Parameter heißt Obuchow-Länge und beschreibt die thermische Schichtung der Atmosphäre. Sie ist positiv bei stabiler (Temperatur nimmt nach oben zu) und negativ bei labiler Schichtung (Temperatur nimmt nach oben ab die Bodennahe Luft ist wärmer). Bei stabiler Schichtung werden Vertikalbewegungen unterdrückt, die Mischungsweglänge muss kleiner sein als bei neutraler Schichtung und folglich muss größer als eins sein. Bei labiler Schichtung reichen Vertikalbewegungen weiter als bei neutraler Schichtung, die Mischungsweglänge muss größer werden und folglich kleiner als eins sein.

Quellen Bearbeiten

  • Helmut Pichler: Dynamik der Atmosphäre
  • John A. Dutton: Dynamics of Atmospheric Motion
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Veröffentlichungsdatum:
Das logarithmische Windprofil wird als Naherung zur Beschreibung von Geschwindigkeitsprofilen verwendet die durch die Bodenrauigkeit oder die Bebauung in Windstromungen entstehen Das logarithmische Windprofil gilt in der bodennahen Prandtl Schicht bis ca 60 m Hohe uber dem Erdboden Es ist von Bedeutung fur die Windenergie Das logarithmische vertikale Windprofil gilt nur bei neutraler Schichtung Bei einer nicht neutralen Schichtung also bei stabil und bei labil gilt die Beziehung nicht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Herleitung 2 1 Mischungsweglangenansatz 3 QuellenDefinition Bearbeitendynamische Rauigkeitslangen z0 fur verschiedene Untergrunde Oberflachenbeschaffenheit z0 m offshore v10 5 m s 0 0001offshore const Klasse 0 0 0002glatter Schnee 0 001offshore v10 25 m s 0 003glatte Erde 0 005Flughafen kurzgeschnittene Wiese 0 01Kulturlandschaft mit sehr wenigen Gebauden Baumen etc Klasse 1 0 03Kulturlandschaft mit geschlossenem Erscheinungsbild Klasse 2 0 1Klasse 3 0 4Vorstadte 0 5Wald 0 8Stadt 1In der Prandtl Schicht nimmt die Windgeschwindigkeit u displaystyle u nbsp mit der Hohe z displaystyle z nbsp annahernd logarithmisch zu also zunachst sehr rasch und dann zunehmend langsamer u z u k ln z z 0 displaystyle u z frac u kappa ln left frac z z 0 right nbsp mit der Schubspannungsgeschwindigkeit u displaystyle u nbsp d h der Wurzel aus dem spezifischen vertikalen Impulsfluss der Von Karman Konstante k 0 4 displaystyle kappa approx 0 4 nbsp der dynamischen Rauigkeitslange z 0 displaystyle z 0 nbsp Hohe uber Grund in der das vertikale logarithmische Windprofil den Wert 0 annimmt bzw sich die Geschwindigkeit nicht mehr andert s nebenstehende Tabelle Haufig wird das logarithmische Profil bezogen auf die Windgeschwindigkeit u r displaystyle u r nbsp in einer Referenzhohe z r displaystyle z r nbsp so z B fur die Daten des Deutschen Wetterdienstes DWD auf eine Hohe von z r 10 m displaystyle z r 10 text m nbsp uber Grund Mit folgender Formel kann auf eine beliebige andere Hohe umgerechnet werden u z u r ln z z 0 ln z r z 0 displaystyle u z u r frac ln z z 0 ln z r z 0 nbsp denn u r ln z r z 0 u z ln z z 0 u k displaystyle frac u r ln z r z 0 frac u z ln z z 0 frac u kappa nbsp dd Die starke logarithmische Windzunahme mit der Hohe vertikale Windscherung in der Prandtl Schicht sowie die Winddrehung in der Ekman Schicht oberhalb der Prandtl Schicht ist z B beim Bau von Windkraftanlagen zu berucksichtigen durch den ungleichmassigen Winddruck konnen hohe Spannungen auf die einzelnen Rotorblatter wirken Herleitung BearbeitenDie Atmospharische Grenzschicht ist von Turbulenz dominiert und der vertikale turbulente Fluss horizontalen Impulses t displaystyle tau nbsp ergibt sich aus den Reynolds Gleichungen als Kovarianz zwischen Vertikal und Horizontalgeschwindigkeit Nimmt man an dass mittlere Windrichtung und mittlere Schubspannung zusammenfallen so kann man schreiben t r u w r u 2 displaystyle tau rho overline u w rho u 2 nbsp mit u displaystyle u nbsp der Schubspannungsgeschwindigkeit r displaystyle rho nbsp der Luftdichte u und w der horizontalen bzw vertikalen Windgeschwindigkeit und z B u u u displaystyle u u overline u nbsp den Abweichungen bzw Schwankungen vom Mittelwert u displaystyle overline u nbsp Mischungsweglangenansatz Bearbeiten Die ursprungliche Herleitung nach Ludwig Prandtl ist sehr anschaulich und basiert auf der Annahme dass die Turbulenz bestimmte Stromungseigenschaften aus einer anderen Hohe an einen bestimmten Ort transportiert Nimmt man an dass sich die Schwankungen u displaystyle u nbsp und w displaystyle w nbsp aus vertikalem turbulentem Transport uber eine Mischungsweglange l u displaystyle l u nbsp bzw l w displaystyle l w nbsp aus dem horizontalen Wind ergeben so dass man u l u d u d z displaystyle u l u cdot frac d overline u dz nbsp und w l w d u d z displaystyle w l w cdot frac d overline u dz nbsp nahern kann so fuhrt dies durch Einsetzen zur Gleichung u 2 l u l w d u d z 2 displaystyle u 2 overline l u l w cdot left frac d overline u dz right 2 nbsp Die Mischungsweglangen sollten mit der Hohe z displaystyle z nbsp zunehmen grossere Turbulenzelemente und positiv korreliert sein derselbe Auf bzw Abwind transportiert die u displaystyle u nbsp und w displaystyle w nbsp Storung heran Der einfachste Ansatz hierzu ist l u l w k z displaystyle sqrt overline l u l w kappa cdot z nbsp mit k displaystyle kappa nbsp einer Proportionalitatskonstante Einsetzen fuhrt zu d u d z u k z displaystyle frac d overline u dz frac u kappa cdot z nbsp Wenn u displaystyle u nbsp konstant mit der Hohe ist dann lasst sich diese Gleichung integrieren Die untere Integrationsgrenze z 0 displaystyle z 0 nbsp wird dabei so definiert dass hier der Horizontalwind verschwindet Man erhalt das logarithmische Windprofil u z u k ln z z 0 displaystyle overline u z frac u kappa cdot ln left frac z z 0 right nbsp In der Atmospharischen Grenzschicht nimmt u displaystyle u nbsp in den untersten 100 m nur um wenige Prozent ab so dass die Annahme einer konstanten Schubspannungsgeschwindigkeit gerechtfertigt ist Zu Ehren von Prandtl der als Erster das logarithmische Windprofil hergeleitet hat werden die untersten hundert Meter der atmospharischen Grenzschicht in denen die turbulenten Flusse naherungsweise konstant sind als Prandtl Schicht bezeichnet Das logarithmische Windprofil findet man in der Natur bei neutraler Schichtung das heisst wenn sich die potentielle Temperatur nicht mit der Hohe andert Bei anderen Schichtungen findet man Abweichungen hiervon die in der Monin Obuchow Theorie beschrieben werden Obige Gleichung die Gradient und Schubspannungsgeschwindigkeit verknupft enthalt dann eine Korrekturfunktion ϕ u displaystyle phi u nbsp die man als Korrektur der Mischungsweglange interpretieren kann d u d z u ϕ u z L k z displaystyle frac d overline u dz u frac phi u z L kappa cdot z nbsp Der Parameter L displaystyle L nbsp heisst Obuchow Lange und beschreibt die thermische Schichtung der Atmosphare Sie ist positiv bei stabiler Temperatur nimmt nach oben zu und negativ bei labiler Schichtung Temperatur nimmt nach oben ab die Bodennahe Luft ist warmer Bei stabiler Schichtung werden Vertikalbewegungen unterdruckt die Mischungsweglange muss kleiner sein als bei neutraler Schichtung und folglich muss ϕ u displaystyle phi u nbsp grosser als eins sein Bei labiler Schichtung reichen Vertikalbewegungen weiter als bei neutraler Schichtung die Mischungsweglange muss grosser werden und folglich ϕ u displaystyle phi u nbsp kleiner als eins sein Quellen BearbeitenHelmut Pichler Dynamik der Atmosphare John A Dutton Dynamics of Atmospheric Motion Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Logarithmisches Windprofil amp oldid 229068414