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Persistenzlänge Die P displaystyle P ist in der Polymerphysik eine Länge die ein Maß für die Steifigkeit einer Polymerke

Persistenzlänge

Die Persistenzlänge ist in der Polymerphysik eine Länge, die ein Maß für die Steifigkeit einer Polymerkette ist. Sie ist als die Länge definiert, über welche die Richtungskorrelation der Segmente in der Polymerkette verloren geht.

In einer Polymerschmelze oder -lösung nimmt ein Polymer eine zufällige Knäuelgestalt an. Abhängig von der Art der chemischen Bindung zwischen den Monomeren ist eine Polymerkette eher „steif“ oder eher flexibel, was in einer mehr oder weniger lockeren Knäuelkonformation resultiert.

Mathematische Definition Bearbeiten

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In der Literatur gibt es unterschiedliche Definitionen — Johannes Kalliauer 17:22, 8. Apr. 2017 (CEST)

Definition über die Korrelationsfunktion Bearbeiten

Verallgemeinert man dies auf ungleichmäßige Längen, bedeutet dies: Bezeichnet eine lineare Koordinate entlang der Kontur der Kette und einen Einheitsvektor, der die lokale Orientierung der Kette angibt, so wird die Korrelationsfunktion

mit

  • [-] der Korrelationsfunktion, mit (üblicherweise: )
  • [-] der relativen Länge mit , mit
  • [-] der Einheitsvektor in Tangentialrichtung mit
  • [m] der Laufkoordinate entlang der Achse der Kette
  • [m] die Gesamtlänge muss deutlich größer sein als , wobei beliebig sein darf.

für große gegen Null streben. Je kompakter das Polymerknäuel ist, desto schneller fällt die Korrelationsfunktion ab.

Die Persistenzlänge P als Maß für die Kompaktheit der Knäuelstruktur ist definiert als das Integral über die Korrelationsfunktion:

mit

  • [m] der Persistenzlänge
  • [-] der Korrelationsfunktion, mit

Alternative Version Bearbeiten

Verallgemeinerung der Kuhn-Länge Bearbeiten

Bei einer unendlich langen Polymerkette, deren Bindungsvektoren ΔL alle gleich lang sind und der Länge ΔLi entsprechen, ist die Persistenzlänge eines beliebigen Bindungsvektor aus der Kette definiert als die Summe der Projektionen von allen Bindungsvektoren ΔL mit L > Li auf die Richtung von ΔLi.

Das heißt, es gilt:

Hier ist ΔLi die Bindungslänge und Θi,j der Winkel zwischen den Bindungsvektoren ΔLi und ΔL in einer augenblicklichen Konformation. Das Produkt ist gleich der Länge der Projektion des Bindungsvektors ΔL an der Stelle L_j in die Richtung von ΔLi. Das bedeutet, ist der Mittelwert über alle Konformationen der Projektion von ΔL auf ΔLi. Für alle Bindungsvektoren ΔLi und ΔL gilt sowohl als auch , dennoch gilt für hinreichend weit entfernte Bindungsvektoren: .

In der Praxis ist die Persistenzlänge ein Maß für die innere Flexibilität einer Polymerkette. Für ein „steifes“ Polymermolekül mit stark eingeschränkter Rotation ist P „groß“ und für ein „statistisches Knäuel“ „klein“.

Exponentielle Definitionen Bearbeiten

Steifigkeitsdefinition Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • G. Strobl: The Physics of Polymers. Springer, Berlin (u. a.) 1996, ISBN 3-540-60768-4

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Peter W. Atkins, Julio De Paula: Physikalische Chemie. John Wiley & Sons, 2013, ISBN 978-3-527-33247-2, S. 703 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Atsushi Ikai: Einführung in die Nanobiomechanik Bildgebung und Messung durch Rasterkraftmikroskopie. John Wiley & Sons, 2012, ISBN 3-527-63295-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. ↑ M. D. Lechner, Klaus Gehrke, Eckhard H. Nordmeier: Makromolekulare Chemie Ein Lehrbuch für Chemiker, Physiker, Materialwissenschaftler und Verfahrenstechniker. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-41769-6, S. 50 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. ↑ John A. Schellman: The flexibility of DNA: II. Spontaneous and ligand induced distortions. In: Elsevier (Hrsg.): Biophysical Chemistry. Band 11, Nr. 3, Juni 1980, ISSN 0301-4622, S. 329–337, doi:10.1016/0301-4622(80)87005-0.
  5. ↑ Quellen siehe 2.Referenz und 3.Referenz der englischen Wikipedia
  6. Ott, A. und Magnasco, M. und Simon, A. und Libchaber, A.: Measurement of the persistence length of polymerized actin using fluorescence microscopy. In: American Physical Society (Hrsg.): Phys. Rev. E. Band 48, Nr. 3, September 1993, S. R1642-R1645, doi:10.1103/PhysRevE.48.R1642.
  7. C. Bouchiat und M.D. Wang und J.-F. Allemand und T. Strick und S.M. Block und V. Croquette: Estimating the Persistence Length of a Worm-Like Chain Molecule from Force-Extension Measurements. In: Biophysical Journal. Band 76, Nr. 1, 1999, ISSN 0006-3495, S. 409–413, doi:10.1016/S0006-3495(99)77207-3.
  8. Lev Davidovich Landau und Evgenii Mikhailovich Lifshitz: Statistical physics Part1. Pergamon, Oxford 1958, Chapter XII Fluctuations: §127 Fluctuations in the curvature of long molecules, S. §127 (englisch, scribd.com – russisch: Курс теоретической физики Ландау и Лифшица.).
  9. Lev Davidovich Landau, und Evgenii Mikhailovich Lifshitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik Band V: Statistische Physik Teil1[Statistical physics Part1]. In: Lehrbuch der theoretischen Physik. Akademie Verlag, Berlin 1966, Kapitel XII Fluktuationen: §127 Fluktuationen der Biegung langer Moleküle, S. §127 (scribd.com – russisch: Курс теоретической физики Ландау и Лифшица.).
  10. Jeffrey Skolnick und Marshall Fixman: Electrostatic persistence length of a wormlike polyelectrolyte. In: ACS Publications (Hrsg.): Macromolecules. Band 5, September 1977, S. 944–948, doi:10.1021/ma60059a011.
  11. Barkley, Mary D and Zimm, Bruno H: Theory of twisting and bending of chain macromolecules; analysis of the fluorescence depolarization of {DNA}. In: AIP Publishing (Hrsg.): The Journal of Chemical Physics. Band 70, Nr. 6, März 1979, S. 2991–3007, doi:10.1063/1.437838.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Persistenzlange P displaystyle P ist in der Polymerphysik eine Lange die ein Mass fur die Steifigkeit einer Polymerkette ist 1 Sie ist als die Lange definiert uber welche die Richtungskorrelation der Segmente in der Polymerkette verloren geht 2 In einer Polymerschmelze oder losung nimmt ein Polymer eine zufallige Knauelgestalt an Abhangig von der Art der chemischen Bindung zwischen den Monomeren ist eine Polymerkette eher steif oder eher flexibel was in einer mehr oder weniger lockeren Knauelkonformation resultiert Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Definition 1 1 Definition uber die Korrelationsfunktion 1 1 1 Alternative Version 1 2 Verallgemeinerung der Kuhn Lange 1 3 Exponentielle Definitionen 1 4 Steifigkeitsdefinition 2 Literatur 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseMathematische Definition Bearbeiten nbsp Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst In der Literatur gibt es unterschiedliche Definitionen Johannes Kalliauer 17 22 8 Apr 2017 CEST Definition uber die Korrelationsfunktion Bearbeiten Verallgemeinert man dies auf ungleichmassige Langen bedeutet dies Bezeichnet l displaystyle l nbsp eine lineare Koordinate entlang der Kontur der Kette und e l displaystyle vec e l nbsp einen Einheitsvektor der die lokale Orientierung der Kette angibt so wird die Korrelationsfunktion K D L e l e l D l 1 L g e s D L 0 L g e s D L e L L g e s D L e L D L L g e s D L d L 0 1 e l e l D L L g e s D L d l displaystyle K Delta L langle vec e l cdot vec e l Delta l rangle frac 1 L ges Delta L cdot int 0 L ges Delta L vec e frac L L ges Delta L vec e frac L Delta L L ges Delta L mbox d L int 0 1 vec e l vec e l frac Delta L L ges Delta L mbox d l nbsp dd mit K displaystyle K nbsp der Korrelationsfunktion mit 1 K 1 displaystyle 1 leq K leq 1 nbsp ublicherweise 0 lt K lt 1 displaystyle 0 lt K lt 1 nbsp l displaystyle l nbsp der relativen Lange mit l L L g e s D L displaystyle l frac L L ges Delta L nbsp mit 0 l 1 displaystyle 0 leq l leq 1 nbsp e displaystyle vec e nbsp der Einheitsvektor in Tangentialrichtung mit e 1 displaystyle vec e 1 nbsp L displaystyle L nbsp m der Laufkoordinate entlang der Achse der Kette D L L g e s displaystyle Delta L ll L ges approx infty nbsp m die Gesamtlange L g e s displaystyle L ges nbsp muss deutlich grosser sein als D L displaystyle Delta L nbsp wobei D L displaystyle Delta L nbsp beliebig sein darf fur grosse D L P displaystyle frac Delta L P nbsp gegen Null streben Je kompakter das Polymerknauel ist desto schneller fallt die Korrelationsfunktion ab Die Persistenzlange P als Mass fur die Kompaktheit der Knauelstruktur ist definiert als das Integral uber die Korrelationsfunktion P 0 L g e s K D L d D L displaystyle P int 0 L ges approx infty K Delta L mbox d Delta L nbsp mit P displaystyle P nbsp m der Persistenzlange K displaystyle K nbsp der Korrelationsfunktion mit 1 K 1 displaystyle 1 leq K leq 1 nbsp Alternative Version Bearbeiten 0 P K D l d D l P K D l d D l displaystyle int 0 P K Delta l mathrm d Delta l int P infty K Delta l mathrm d Delta l nbsp Verallgemeinerung der Kuhn Lange Bearbeiten Bei einer unendlich langen Polymerkette deren Bindungsvektoren DL alle gleich lang sind und der Lange DLi entsprechen ist die Persistenzlange eines beliebigen Bindungsvektor aus der Kette definiert als die Summe der Projektionen von allen Bindungsvektoren DL mit L gt Li auf die Richtung von DLi 3 Das heisst es gilt P lim D L 0 D L j i 1 j cos 8 i j lim D L 0 D L j i 1 j e L i e L i D L lim D L 0 D L j i 1 j K D L L L i L d L K d L L L i L K d L d L displaystyle P equiv lim Delta L to 0 left Delta L cdot sum j i 1 j to infty langle cos Theta i j rangle right lim Delta L to 0 left Delta L cdot sum j i 1 j to infty langle vec e L i cdot vec e L i Delta L rangle right lim Delta L to 0 left Delta L cdot sum j i 1 j to infty K Delta L right int L L i L to infty left mathrm d L cdot K mathrm d L right int L L i L to infty left K mathrm d L cdot mathrm d L right nbsp 3 Hier ist DLi die Bindungslange und 8i j der Winkel zwischen den Bindungsvektoren DLi und DL in einer augenblicklichen Konformation Das Produkt D L cos 8 i j displaystyle Delta L cdot langle cos Theta i j rangle nbsp ist gleich der Lange der Projektion des Bindungsvektors DL an der Stelle L j in die Richtung von DLi Das bedeutet cos 8 i j displaystyle langle cos Theta i j rangle nbsp ist der Mittelwert uber alle Konformationen der Projektion von DL auf DLi Fur alle Bindungsvektoren DLi und DL gilt sowohl 1 cos 8 i j 1 displaystyle 1 leq cos Theta i j leq 1 nbsp als auch cos 8 i j gt 0 displaystyle langle cos Theta i j rangle gt 0 nbsp dennoch gilt fur hinreichend weit entfernte Bindungsvektoren lim l i cos 8 i j 0 displaystyle lim l i to infty left langle cos Theta i j rangle right 0 nbsp In der Praxis ist die Persistenzlange ein Mass fur die innere Flexibilitat einer Polymerkette Fur ein steifes Polymermolekul mit stark eingeschrankter Rotation ist P gross und fur ein statistisches Knauel klein 3 P P L 1 i 1 L i L 0 displaystyle P P infty langle L 1 cdot sum i 1 L i rangle L 0 nbsp 4 P a L 0 1 L 2 L 1 L 0 2 L 3 L 1 L 0 2 displaystyle P alpha L 0 cdot 1 L 2 cdot L 1 L 0 2 L 3 cdot L 1 L 0 2 nbsp 4 Exponentielle Definitionen Bearbeiten cos 8 e L P displaystyle langle cos theta rangle e L P nbsp 5 t s t s x e x 2 P displaystyle langle t s cdot t s x rangle e x 2P nbsp 6 Steifigkeitsdefinition Bearbeiten P B s k B T displaystyle P frac B s k B cdot T nbsp 5 7 8 9 10 11 Literatur BearbeitenG Strobl The Physics of Polymers Springer Berlin u a 1996 ISBN 3 540 60768 4Siehe auch BearbeitenKonturlange Kuhn LangeEinzelnachweise Bearbeiten Peter W Atkins Julio De Paula Physikalische Chemie John Wiley amp Sons 2013 ISBN 978 3 527 33247 2 S 703 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Atsushi Ikai Einfuhrung in die Nanobiomechanik Bildgebung und Messung durch Rasterkraftmikroskopie John Wiley amp Sons 2012 ISBN 3 527 63295 6 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche a b c M D Lechner Klaus Gehrke Eckhard H Nordmeier Makromolekulare Chemie Ein Lehrbuch fur Chemiker Physiker Materialwissenschaftler und Verfahrenstechniker Springer Verlag 2014 ISBN 978 3 642 41769 6 S 50 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche a b John A Schellman The flexibility of DNA II Spontaneous and ligand induced distortions In Elsevier Hrsg Biophysical Chemistry Band 11 Nr 3 Juni 1980 ISSN 0301 4622 S 329 337 doi 10 1016 0301 4622 80 87005 0 a b Quellen siehe 2 Referenz und 3 Referenz der englischen Wikipedia Ott A und Magnasco M und Simon A und Libchaber A Measurement of the persistence length of polymerized actin using fluorescence microscopy In American Physical Society Hrsg Phys Rev E Band 48 Nr 3 September 1993 S R1642 R1645 doi 10 1103 PhysRevE 48 R1642 C Bouchiat und M D Wang und J F Allemand und T Strick und S M Block und V Croquette Estimating the Persistence Length of a Worm Like Chain Molecule from Force Extension Measurements In Biophysical Journal Band 76 Nr 1 1999 ISSN 0006 3495 S 409 413 doi 10 1016 S0006 3495 99 77207 3 Lev Davidovich Landau und Evgenii Mikhailovich Lifshitz Statistical physics Part1 Pergamon Oxford 1958 Chapter XII Fluctuations 127 Fluctuations in the curvature of long molecules S 127 englisch scribd com russisch Kurs teoreticheskoj fiziki Landau i Lifshica Lev Davidovich Landau und Evgenii Mikhailovich Lifshitz Lehrbuch der Theoretischen Physik Band V Statistische Physik Teil1 Statistical physics Part1 In Lehrbuch der theoretischen Physik Akademie Verlag Berlin 1966 Kapitel XII Fluktuationen 127 Fluktuationen der Biegung langer Molekule S 127 scribd com russisch Kurs teoreticheskoj fiziki Landau i Lifshica Jeffrey Skolnick und Marshall Fixman Electrostatic persistence length of a wormlike polyelectrolyte In ACS Publications Hrsg Macromolecules Band 5 September 1977 S 944 948 doi 10 1021 ma60059a011 Barkley Mary D and Zimm Bruno H Theory of twisting and bending of chain macromolecules analysis of the fluorescence depolarization of DNA In AIP Publishing Hrsg The Journal of Chemical Physics Band 70 Nr 6 Marz 1979 S 2991 3007 doi 10 1063 1 437838 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Persistenzlange amp oldid 239337196