In einem Modulationsraum wird die „Größe“ einer Funktion anhand ihres Spektrogramms bestimmt. Anschaulich wird das Spektrogramm in gleich große Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird; bei einer ähnlichen Beschreibung der Besov-Räume ist die Größe dieser Abschnitte exponentiell anwachsend. Bei Modulationsräumen handelt sich um eine Familie von Banachräumen, in denen eine Funktion mittels ihrer Kurzzeit-Fourier-Transformation mit einer Testfunktion in einem Schwartz-Raum gemessen wird. Ursprünglich von Hans Georg Feichtinger untersucht, erwiesen sich diese Räume als nützlicher Rahmen für die Zeit-Frequenz-Analyse.
Definition Bearbeiten
Für , eine nicht-negative Funktion auf und eine Testfunktion ist der Modulationsraum durch
definiert.
Dabei bedeutet die Kurzzeit-Fourier-Transformation von in Hinblick auf bei ausgewertet. Das heißt, ist äquivalent zu . Der Raum hängt nicht von ab. Die kanonische Wahl für die Testfunktion ist die Gauß-Funktion.
Feichtinger-Algebra Bearbeiten
Der Modulationsraum mit und , also wird auch als Feichtinger-Algebra bezeichnet und wurde von Feichtinger ursprünglich genannt, weil es sich um die kleinste Segal-Algebra handelt, die unter Zeit-Frequenzverschiebungen, also kombinierten Translations- und Modulationsoperatoren invariant ist. ist ein in eingebetteter Banachraum und unter der Fouriertransformation invariant. Aus diesem und anderen Gründen ist ein naheliegender Raum für Testfunktionen in der Zeit-Frequenz-Analyse.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Karlheinz Gröchenig: Foundations of Time-Frequency Analysis. Birkhäuser, Boston 2001, ISBN 978-0817640224
- (Memento vom 24. Dezember 2012 im Internet Archive)
- H. Feichtinger: On a new Segal algebra. Monatsh. Math. 92, S. 269–289, 1981, ( (Memento vom 25. September 2006 im Internet Archive)).