www.wikidata.de-de.nina.az

Modell harter Kugeln Harte Kugeln sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für Fluide und Festkörper in der statistisc

Modell harter Kugeln

Harte Kugeln sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für Fluide und Festkörper in der statistischen Mechanik. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige Moleküle auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation molekularer Dynamik sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten Kolloid-Modellsystemen. Siehe auch Hard-core-Prozess.

Formale Definition Bearbeiten

Harte Kugeln mit Durchmesser sind Teilchen mit dem folgenden paarweisen Wechselwirkungspotential:

wobei und die Positionen der beiden Teilchen beschreiben.

Harte-Kugeln-Modell für ein Gas Bearbeiten

Die ersten drei Virialkoeffizienten für harte Kugeln können analytisch ermittelt werden:

=
=
=

Koeffizienten höherer Ordnung können durch Monte-Carlo-Integration numerisch gefunden werden. Beispielhaft seien die folgenden aufgelistet:

=
=
=

Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki gefunden werden.

Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den Packungsdichten für Gefrieren und Schmelzen . Der Druck divergiert bei der dichtesten Zufallspackung für den metastabilen Flüssigkeitszweig und bei dichtesten Kugelpackung für den stabilen festen Zweig.

Harte-Kugeln-Modell für eine Flüssigkeit Bearbeiten

Der Strukturfaktor für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die Percus-Yevick-Näherung berechnet werden.

Phasendiagramm eines Systems harter Kugeln (Durchgezogene Line – stabiler Ast, gestrichelte Line – metastabiler Ast): Druck als Funktion der Packungsdichte (Kristallographie)

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Nicht nur Kugeln können mit einem harten Wechselwirkungspotential ausgestattet werden, sondern auch Körper beliebiger Geometrie.

Literatur Bearbeiten

  • J. P. Hansen, I. R. McDonald: Theory of Simple Liquids. 4. Auflage, Academic Press, London 2013, ISBN 978-0-12-387032-2.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hard sphere: virial coefficients page. In: SklogWiki – a wiki for statistical mechanics and thermodynamics. 20. Mai 2014, abgerufen am 20. Juli 2015 (englisch).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Harte Kugeln sind ein haufig verwendetes Teilchenmodell fur Fluide und Festkorper in der statistischen Mechanik Sie sind definiert als nicht durchdringbare Kugeln im Raum die sich nicht uberlappen konnen und modellieren die starke Abstossung die Atome und kugelformige Molekule auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden durch Simulation molekularer Dynamik sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten Kolloid Modellsystemen Siehe auch Hard core Prozess Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Harte Kugeln Modell fur ein Gas 3 Harte Kugeln Modell fur eine Flussigkeit 4 Verallgemeinerungen 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseFormale Definition BearbeitenHarte Kugeln mit Durchmesser s displaystyle sigma nbsp sind Teilchen mit dem folgenden paarweisen Wechselwirkungspotential V r 1 r 2 0 r 1 r 2 s r 1 r 2 lt s displaystyle V left mathbf r 1 mathbf r 2 right begin cases 0 amp left mathbf r 1 mathbf r 2 right geq sigma infty amp left mathbf r 1 mathbf r 2 right lt sigma end cases nbsp wobei r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp und r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp die Positionen der beiden Teilchen beschreiben Harte Kugeln Modell fur ein Gas BearbeitenDie ersten drei Virialkoeffizienten fur harte Kugeln konnen analytisch ermittelt werden B 2 v 0 displaystyle frac B 2 v 0 nbsp 4 displaystyle 4 frac nbsp B 3 v 0 2 displaystyle frac B 3 v 0 2 nbsp 10 displaystyle 10 frac nbsp B 4 v 0 3 displaystyle frac B 4 v 0 3 nbsp 712 35 219 2 35 p 4131 35 p arccos 1 3 18 365 displaystyle frac 712 35 frac 219 sqrt 2 35 pi frac 4131 35 pi arccos frac 1 sqrt 3 approx 18 365 nbsp Koeffizienten hoherer Ordnung konnen durch Monte Carlo Integration numerisch gefunden werden Beispielhaft seien die folgenden aufgelistet B 5 v 0 4 displaystyle frac B 5 v 0 4 nbsp 28 24 0 08 displaystyle 28 24 pm 0 08 nbsp B 6 v 0 5 displaystyle frac B 6 v 0 5 nbsp 39 5 0 4 displaystyle 39 5 pm 0 4 nbsp B 7 v 0 6 displaystyle frac B 7 v 0 6 nbsp 56 5 1 6 displaystyle 56 5 pm 1 6 nbsp Eine Tabelle von Virialkoeffizienten fur bis zu acht Dimensionen konnen im SklogWiki 1 gefunden werden Das Harte Kugeln System bildet einen Flussig Fest Phasenubergang zwischen den Packungsdichten fur Gefrieren h f 0 494 displaystyle eta mathrm f approx 0 494 nbsp und Schmelzen h m 0 545 displaystyle eta mathrm m approx 0 545 nbsp Der Druck divergiert bei der dichtesten Zufallspackung h r c p 0 644 displaystyle eta mathrm rcp approx 0 644 nbsp fur den metastabilen Flussigkeitszweig und bei dichtesten Kugelpackung h c p 2 p 6 0 740 48 displaystyle eta mathrm cp sqrt 2 pi 6 approx 0 74048 nbsp fur den stabilen festen Zweig Harte Kugeln Modell fur eine Flussigkeit BearbeitenDer Strukturfaktor fur eine Flussigkeit aus harten Kugeln kann uber die Percus Yevick Naherung berechnet werden nbsp Phasendiagramm eines Systems harter Kugeln Durchgezogene Line stabiler Ast gestrichelte Line metastabiler Ast Druck P displaystyle P nbsp als Funktion der Packungsdichte Kristallographie h displaystyle eta nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenNicht nur Kugeln konnen mit einem harten Wechselwirkungspotential ausgestattet werden sondern auch Korper beliebiger Geometrie Literatur BearbeitenJ P Hansen I R McDonald Theory of Simple Liquids 4 Auflage Academic Press London 2013 ISBN 978 0 12 387032 2 Weblinks BearbeitenHard sphere model SklogWiki zum Harte Kugeln Modell Einzelnachweise Bearbeiten Hard sphere virial coefficients page In SklogWiki a wiki for statistical mechanics and thermodynamics 20 Mai 2014 abgerufen am 20 Juli 2015 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Modell harter Kugeln amp oldid 216911145