Im mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen ist das Kriterium von Mackey ein von George Mackey aufgestelltes Kriterium, um die Irreduzibilität von induzierten Darstellungen endlicher Gruppen zu überprüfen.
Begriffe und Notation Bearbeiten
Zwei Darstellungen und einer endlichen Gruppe heißen disjunkt, falls sie keine irreduzible Komponente gemeinsam haben, d. h., falls für das Skalarprodukt von Charakteren.
Sei eine Gruppe und sei eine Untergruppe. Definiere für
Sei eine Darstellung der Untergruppe Diese definiert durch Einschränkung eine Darstellung von Wir schreiben für Außerdem definiert eine weitere Darstellung von definiert durch Diese beiden Darstellungen sollten nicht verwechselt werden.
Weiterhin bezeichnen wir mit oder die von der Darstellung induzierte Darstellung von .
Mackeys Irreduzibilitätskriterium Bearbeiten
Die induzierte Darstellung ist genau dann irreduzibel, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- ist irreduzibel.
- Für jedes sind die zwei Darstellungen und von disjunkt.
Ein Beweis dieses Satzes findet sich in .
Aus dem Satz erhalten wir direkt folgendes
Korollar
Sei eine normale Untergruppe von Dann ist genau dann irreduzibel, wenn irreduzibel und nicht isomorph zu den Konjugaten für ist.
Beweis
Ist normal, so gilt und und damit folgt die Aussage direkt aus dem Kriterium von Mackey.
Literatur Bearbeiten
- Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977.