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Komplexes Volumen In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3 dimensionaler Mannigfaltigkeiten Für Komp

Komplexes Volumen

In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.

Definition Bearbeiten

Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens wird das komplexe Volumen definiert als

wobei das hyperbolische Volumen und die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen das komplexe Volumen definieren als

wobei das flache Bündel mit Holonomie ,

seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und

die Fundamentalklasse von ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten die Gleichung

wobei das -te gefärbte Jones-Polynom von bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

  • W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf
  • S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf
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In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3 dimensionaler Mannigfaltigkeiten Fur Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her Definition BearbeitenFur eine hyperbolische 3 Mannigfaltigkeit endlichen Volumens M displaystyle M nbsp wird das komplexe Volumen definiert als vol C M vol M i cs M C 4 p 2 Z i displaystyle operatorname vol mathbb C M operatorname vol M i operatorname cs M in mathbb C 4 pi 2 mathbb Z i nbsp wobei vol M displaystyle operatorname vol M nbsp das hyperbolische Volumen und cs M displaystyle operatorname cs M nbsp die SO 3 Chern Simons Invariante des Levi Civita Zusammenhangs ist Allgemeiner kann man fur Darstellungen r p 1 M S L n C displaystyle rho colon pi 1 M to SL n mathbb C nbsp das komplexe Volumen definieren als vol C r i c 2 E r M C 4 p 2 Z i displaystyle operatorname vol mathbb C rho i left langle hat c 2 E rho left M right right rangle in mathbb C 4 pi 2 mathbb Z i nbsp wobei E r displaystyle E rho nbsp das flache Bundel mit Holonomie r displaystyle rho nbsp c 2 E r H 3 M C 4 p 2 Z i displaystyle hat c 2 E rho in H 3 M mathbb C 4 pi 2 mathbb Z i nbsp seine 2 Cheeger Chern Simons Klasse und M H 3 M Z displaystyle left M right in H 3 M mathbb Z nbsp die Fundamentalklasse von M displaystyle M nbsp ist Die Volumen Vermutung postuliert fur hyperbolische Knoten K displaystyle K nbsp die Gleichung vol C S 3 K 2 p lim N 1 N log J N K e 2 p i N displaystyle operatorname vol mathbb C S 3 setminus K 2 pi lim N to infty frac 1 N log J N K e frac 2 pi i N nbsp wobei J N K q displaystyle J N K q nbsp das N displaystyle N nbsp te gefarbte Jones Polynom von K displaystyle K nbsp bezeichnet Literatur BearbeitenW D Neumann Extended Bloch group and the Cheeger Chern Simons class Geom Topol 8 413 474 2004 pdf S Garoufalidis D Thurston C Zickert The complex volume of SL n C representations of 3 manifolds Duke Math J 164 2099 2160 2015 pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Komplexes Volumen amp oldid 212885204