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Klassische Laminattheorie Die klassische Laminattheorie ist ein Verfahren zur Berechnung der Scheiben und Plattensteifig

Klassische Laminattheorie

Die klassische Laminattheorie ist ein Verfahren zur Berechnung der Scheiben- und Plattensteifigkeit sowie der Spannungen eines ebenen Mehrschichtenverbunds. Die Schichten des Verbunds bestehen für gewöhnlich aus orthotropen Faser-Kunststoff-Verbunden bzw. unidirektionalen Schichten. Es können aber auch isotrope Schichten behandelt werden. Von besonderer Bedeutung ist die Berechnung der Kopplung zwischen Scheibenbelastungen und Plattenverformungen. Bei vorhandener Kopplung kann sich ein Bauteil z. B. unter Zug krümmen, man spricht umgangssprachlich dann von Verzug.

Die klassische Laminattheorie ist die Grundlage einer Vielzahl von Berechnungsprogrammen für faserverstärkte Kunststoffe. Für eine Festigkeitsberechnung ist die Ermittlung der Schichtspannungen eines Mehrschichtenverbunds nach der klassischen Laminattheorie unerlässlich.

Die klassische Laminattheorie wird auch im deutschsprachigen Raum, in Anlehnung an den englischen Begriff classical laminate theory, als CLT abgekürzt. Daneben gibt es auch noch den Begriff Mehrschichttheorie.

Annahmen Bearbeiten

Die klassische Laminattheorie beruht in großen Zügen auf der Kirchhoff'schen Plattentheorie. Sie gilt nur für einen infinitesimalen ungestörten Ausschnitt. Es werden also keine Laminatrandeffekte oder Lasteinleitungsprobleme berücksichtigt. Im Einzelnen gelten die folgenden Annahmen:

  • Das Elastizitätsgesetz der Einzelschichten ist ideal linear elastisch.
  • Das Laminat ist dünn (Dicke ist klein gegenüber den restlichen Abmessungen)
  • Die Laminatdicke ist konstant
  • Die Theorie I. Ordnung ist gültig (kleine Verformungen)
  • Die Bernoullische Annahmen sind gültig (ebene Querschnitte, schubstarr in Dickenrichtung)
  • Der Spannungszustand ist aufgrund der Dünnwandigkeit eben ().
  • Die Schichten sind ideal miteinander verklebt.
  • Das Laminat liegt in der -Ebene.

Berechnungsablauf Bearbeiten

Vor der Berechnung müssen folgende Größen der Schichten festgelegt werden:

  • Steifigkeitsmatrix jeder UD-Schicht (Elastizitätsgesetz der Unidirektionale Schicht)
  • Schichtwinkel der unidirektionalen Schichten. Bei isotropen Schichten ist der Schichtwinkel beliebig.
  • Schichtdicken
  • Schichtreihenfolge

Der Konstrukteur versucht die obigen Größen so zu wählen, dass durch die äußeren Belastungen des Laminats eine möglichst günstige Beanspruchung jeder UD-Schicht entsteht. Des Weiteren muss er dafür sorgen, dass er die geforderten Steifigkeitsanforderungen erfüllt. Der nachfolgende Berechnungsgang wird daher oft iterativ durchlaufen.

  1. Transformation der Scheibensteifigkeitsmatrizen der UD-Schichten ins globale -System
  2. Berechnung der Scheibensteifigkeitsmatrix , Plattensteifigkeitsmatrix und Koppelsteifigkeitsmatrix
  3. Zusammensetzen der Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix
  4. Invertieren der Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix
  5. Berechnen der globalen Dehnungen und Krümmungen
  6. Transformieren der globalen Dehnung in die Dehnungen jeder UD-Schicht im Schichtkoordinatensystem
  7. Berechnung der Spannungen in jeder UD-Schicht im Schichtkoordinatensystem mit Hilfe der Scheibensteifigkeitsmatrix der UD-Schicht
  8. Es folgt für gewöhnlich eine Festigkeitsanalyse mittels Bruchkriterien für Faserkunststoffverbunde.

Als Nebenprodukt erhält man aus der Inversen der Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix die Ingenieurskonstanten des geschichteten Verbunds.

Äußere Lasten Bearbeiten

In der klassischen Laminattheorie wird nicht mit Spannungen, als äußere Lasten, sondern mit deren Flüssen gerechnet. Ein Kraft- oder Momentenfluss ist eine breitenbezogene Größe.

Bei isotropen Scheiben und Platten führen Scheibenlasten nur zu Scheibenverformungen (Dehnungen und Schiebungen). Bei geschichteten Laminaten können Scheibenlasten auch zu Plattenverformungen führen (Krümmungen und Drillungen). Daher ist die folgende Unterscheidung in Scheiben- und Plattenlasten notwendig.

Scheibenlasten Bearbeiten

Scheibenlasten sind Normal- und Schubspannungen in der Laminatebene bzw. deren Flüsse. entspricht der Koordinatenrichtung normal zur Laminatebene.

Plattenlasten Bearbeiten

Die Plattenlasten bestehen aus den Biegemomentflüssen sowie dem Drillmomentenfluss. Das Drillmoment kann als Torsionsmoment interpretiert werden.

Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix Bearbeiten

Die Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix beschreibt das elastische Verhalten des gesamten Laminats. Sie setzt sich aus drei Untermatrizen zusammen, der Scheibensteifigkeitsmatrix A, der Plattensteifigkeitsmatrix D und der Koppelmatrix B, die die beiden ersten Matrizen koppelt.

Scheibensteifigkeitsmatrix Aij Bearbeiten

Schematische Darstellung der Dehnungs-Schiebungs-Kopplung durch die oder Terme

Die Scheibensteifigkeitsmatrix ergibt sich aus der Parallelschaltung der Scheibensteifigkeiten aller Einzelschichten (unidirektionale Schicht) unter Gewichtung der Schichtdicke der Einzelschicht.

Plattensteifigkeitsmatrix Dij Bearbeiten

Schematische Darstellung der Biege-Drill-Kopplung durch die oder Terme

Die Plattensteifigkeitsmatrix ergibt sich aus der Parallelschaltung der Biegesteifigkeiten aller Einzelschichten (unidirektionale Schicht) zuzüglich deren Steiner Anteil.

Koppelsteifigkeitsmatrix Bij Bearbeiten

Schematische Darstellung der Dehnungs-Krümmungs-Kopplung durch die oder Terme

Die Koppelsteifigkeitsmatrix setzt sich aus den Scheibensteifigkeiten der Einzelschichten, gewichtet mit deren statischem Moment, zusammen. Daraus ergibt sich, dass für symmetrisch geschichtete Laminate die Kopplung zwischen Scheibe und Platte verschwindet.
Die Kopplung zwischen Dehnungen und Krümmungen wird bei Bimetallschaltern ausgenutzt.

Interpretation Bearbeiten

Zusammengesetzt schreibt sich das Elastizitätsgesetz des Scheiben-Platten-Elements, bezogen auf die Neutralebene (Index 0), als

Ausgewählte Laminate und deren Eigenschaften des Elastizitätsgesetzes:

Die Platten-Orthotropie wird aufgrund der fehlenden Wölbungs-Drillungs-Kopplung auch Wölbungsorthotropie genannt.

Ingenieurskonstanten Bearbeiten

Die Ingenieurskonstanten erhält man aus der inversen Scheiben-Platten-Steifigkeitsmatrix. stellt dabei die Schichtdicke des Laminates dar.

Grenzen der Theorie Bearbeiten

Die Gültigkeitsgrenzen der CLT ergeben sich hauptsächlich aus den Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie (siehe: Annahmen). Für dicke und gedrungene Platten nimmt die Qualität der Lösung ab. Auch sehr schubweiche Schichten unter Querkraftbelastung sollten nicht mit der CLT berechnet werden. Grund ist der steigende Anteil der Schubabsenkung gegenüber der Biegeabsenkung der Platte.

Bei reiner Scheibenbelastung beeinflusst die Scheibendicke die Qualität der Lösung nicht. Bei sehr dicken Einzelschichten kann es zu Abweichungen kommen, da bei der Scheibenbelastung die Verformung durch den interlaminaren Schub nicht berücksichtigt wird. Für die Praxis ist dies jedoch kaum von Bedeutung, da Laminate gewöhnlich aus dünnen Einzelschichten bestehen.

Anwendung in der Finite-Elemente-Methode Bearbeiten

Die Ingenieurskonstanten können direkt in der Finite-Elemente-Methode in Kombination mit Volumenelementen benutzt werden, um das globale Verhalten eines geschichteten Verbunds zu simulieren. Sind die Schichtspannungen von Interesse, müssen diese, wie in der manuellen CLT-Rechnung, aus den globalen Dehnungen berechnet werden. Die in der FEM berechneten Spannungen stellen die globalen Spannungen des Verbunds dar und entsprechen nicht den Schichtspannungen. Die globale Spannung darf nicht direkt in die Schichtspannungen transformiert werden. Jedoch sind moderne FEM-Programme in der Lage bei geeigneter Modellierung auch die Schichtspannungen auszugeben. Hingewiesen wird hier auf die Modellierung einer Sandwichpanel-Biegeprobe mittels des FEM-Programmes Patran/Nastran. Das Sandwichpanel besteht aus insgesamt 5 Schichten, jeweils 2 Deckschichten (Prepreg Lage 1 und Lage 2), der Kernschicht (Wabenkern) und anschließend wieder zwei Deckschichten Prepreg (die Prepregschichten können als Laminat angesehen werden). Je nach Modellierungsart kann das Modell als Laminat-Variante ausgeführt werden. Hierzu werden den Shell-Elementen (Schalenelementen) einfach über das Composite-Tool die 2-d orthotropen Elementeigenschaften zugeordnet. Bei der Ergebnisausgabe kann dann sowohl die Spannung als auch die Dehnung der Einzelschicht angezeigt werden. Bei der Formulierung über die Ingenieurskonstanten unter Verwendung von 3-dimensionalen Volumenelementen werden weder Schiebe-Dehn-Kopplungen (Anisotropie als Scheibe) noch Biege-Dehn-Kopplungen berücksichtigt. Auch die Anisotropie als Platte kann nicht abgebildet werden. Es existieren spezielle Schalenelemente, die diese Kopplungen berücksichtigen können.

Für den in der Praxis häufigen Fall der symmetrisch geschichteten, ausgeglichenen Laminate (Orthotropie) ist die Modellierung über Volumenelemente und Ingenieurskonstanten jedoch zulässig.

Berechnungsprogramme Bearbeiten

Es existieren eine Vielzahl von CLT-Programmen, die zum Teil kostenfrei erhältlich sind. Sie basieren zumeist auf Tabellenkalkulationsprogrammen. Teilweise ist eine Datenbank mit Faserhalbzeugen und Matrixsystemen angeschlossen.

  • LamiCens (kostenfrei) [1]
  • ESAComp (kommerziell)
  • Compositor (kommerziell)
  • AlfaLam (lineares Werkstoffgesetz), AlfaLam.nl (nichtlineares Werkstoffgesetz), beide Programme sind kostenfrei [2]
  • eLamX 2.7 (Java, kostenfrei) [3]
  • RF-LAMINATE 5.xx (kommerziell) [4]

...

Literatur Bearbeiten

  • J. Wiedemann: Leichtbau, Band 1: Elemente. Springer-Verlag, Berlin 1986. ISBN 3-5-40164049
  • H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-3-42006811
  • H. Altenbach, J. Altenbach, W. Kissing: Mechanics of Composite Structural Elements (2nd ed.). Springer, Singapore, 2018. ISBN 978-981-10-8934-3
  • H. Schürmann: Konstruieren mit Faser-Kunststoff-Verbunden, Springer-Verlag, Berlin 2007. ISBN 978-3-54-072189-5

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Manfred Flemming, Siegfried Roth: Faserverbundbauweisen Eigenschaften. mechanische, konstruktive, thermische, elektrische, ökologische, wirtschaftliche Aspekte. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 978-3-642-55468-1, Die Theorie zur Berechnung dünnwandiger Laminate, S. 47.
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Veröffentlichungsdatum:
Die klassische Laminattheorie ist ein Verfahren zur Berechnung der Scheiben und Plattensteifigkeit sowie der Spannungen eines ebenen Mehrschichtenverbunds Die Schichten des Verbunds bestehen fur gewohnlich aus orthotropen Faser Kunststoff Verbunden bzw unidirektionalen Schichten Es konnen aber auch isotrope Schichten behandelt werden Von besonderer Bedeutung ist die Berechnung der Kopplung zwischen Scheibenbelastungen und Plattenverformungen Bei vorhandener Kopplung kann sich ein Bauteil z B unter Zug krummen man spricht umgangssprachlich dann von Verzug Die klassische Laminattheorie ist die Grundlage einer Vielzahl von Berechnungsprogrammen fur faserverstarkte Kunststoffe Fur eine Festigkeitsberechnung ist die Ermittlung der Schichtspannungen eines Mehrschichtenverbunds nach der klassischen Laminattheorie unerlasslich Die klassische Laminattheorie wird auch im deutschsprachigen Raum in Anlehnung an den englischen Begriff classical laminate theory als CLT abgekurzt Daneben gibt es auch noch den Begriff Mehrschichttheorie 1 Inhaltsverzeichnis 1 Annahmen 2 Berechnungsablauf 3 Aussere Lasten 3 1 Scheibenlasten 3 2 Plattenlasten 4 Scheiben Platten Steifigkeitsmatrix 4 1 Scheibensteifigkeitsmatrix Aij 4 2 Plattensteifigkeitsmatrix Dij 4 3 Koppelsteifigkeitsmatrix Bij 4 4 Interpretation 4 5 Ingenieurskonstanten 5 Grenzen der Theorie 6 Anwendung in der Finite Elemente Methode 7 Berechnungsprogramme 8 Literatur 9 EinzelnachweiseAnnahmen BearbeitenDie klassische Laminattheorie beruht in grossen Zugen auf der Kirchhoff schen Plattentheorie Sie gilt nur fur einen infinitesimalen ungestorten Ausschnitt Es werden also keine Laminatrandeffekte oder Lasteinleitungsprobleme berucksichtigt Im Einzelnen gelten die folgenden Annahmen Das Elastizitatsgesetz der Einzelschichten ist ideal linear elastisch Das Laminat ist dunn Dicke t displaystyle t nbsp ist klein gegenuber den restlichen Abmessungen Die Laminatdicke t displaystyle t nbsp ist konstant Die Theorie I Ordnung ist gultig kleine Verformungen Die Bernoullische Annahmen sind gultig ebene Querschnitte schubstarr in Dickenrichtung Der Spannungszustand ist aufgrund der Dunnwandigkeit eben s z t z x t z y 0 displaystyle sigma z tau zx tau zy 0 nbsp Die Schichten sind ideal miteinander verklebt Das Laminat liegt in der x y displaystyle x y nbsp Ebene Berechnungsablauf BearbeitenVor der Berechnung mussen folgende Grossen der Schichten festgelegt werden Steifigkeitsmatrix Q i j displaystyle Q ij nbsp jeder UD Schicht Elastizitatsgesetz der Unidirektionale Schicht Schichtwinkel a displaystyle alpha nbsp der unidirektionalen Schichten Bei isotropen Schichten ist der Schichtwinkel beliebig Schichtdicken t displaystyle t nbsp SchichtreihenfolgeDer Konstrukteur versucht die obigen Grossen so zu wahlen dass durch die ausseren Belastungen des Laminats eine moglichst gunstige Beanspruchung jeder UD Schicht entsteht Des Weiteren muss er dafur sorgen dass er die geforderten Steifigkeitsanforderungen erfullt Der nachfolgende Berechnungsgang wird daher oft iterativ durchlaufen Transformation der N displaystyle N nbsp Scheibensteifigkeitsmatrizen der UD Schichten ins globale x y displaystyle x y nbsp System Q k Q k displaystyle Q k rightarrow hat Q k nbsp Berechnung der Scheibensteifigkeitsmatrix A displaystyle A nbsp Plattensteifigkeitsmatrix D displaystyle D nbsp und Koppelsteifigkeitsmatrix B displaystyle B nbsp Zusammensetzen der Scheiben Platten Steifigkeitsmatrix Invertieren der Scheiben Platten Steifigkeitsmatrix Berechnen der globalen Dehnungen ϵ displaystyle hat epsilon nbsp und Krummungen k displaystyle hat kappa nbsp Transformieren der globalen Dehnung in die Dehnungen jeder UD Schicht im Schichtkoordinatensystem Berechnung der Spannungen in jeder UD Schicht im Schichtkoordinatensystem mit Hilfe der Scheibensteifigkeitsmatrix der UD Schicht Q i j displaystyle Q ij nbsp Es folgt fur gewohnlich eine Festigkeitsanalyse mittels Bruchkriterien fur Faserkunststoffverbunde Als Nebenprodukt erhalt man aus der Inversen der Scheiben Platten Steifigkeitsmatrix die Ingenieurskonstanten des geschichteten Verbunds Aussere Lasten BearbeitenIn der klassischen Laminattheorie wird nicht mit Spannungen als aussere Lasten sondern mit deren Flussen gerechnet Ein Kraft oder Momentenfluss ist eine breitenbezogene Grosse Bei isotropen Scheiben und Platten fuhren Scheibenlasten nur zu Scheibenverformungen Dehnungen und Schiebungen Bei geschichteten Laminaten konnen Scheibenlasten auch zu Plattenverformungen fuhren Krummungen und Drillungen Daher ist die folgende Unterscheidung in Scheiben und Plattenlasten notwendig Scheibenlasten Bearbeiten Scheibenlasten sind Normal und Schubspannungen in der Laminatebene bzw deren Flusse z displaystyle z nbsp entspricht der Koordinatenrichtung normal zur Laminatebene n x n y n x y t s x s y t x y d z displaystyle begin bmatrix n x n y n xy end bmatrix int t begin bmatrix sigma x sigma y tau xy end bmatrix mathrm d z nbsp Plattenlasten Bearbeiten Die Plattenlasten bestehen aus den Biegemomentflussen sowie dem Drillmomentenfluss Das Drillmoment kann als Torsionsmoment interpretiert werden m x m y m x y t s x s y t x y z d z displaystyle begin bmatrix m x m y m xy end bmatrix int t begin bmatrix sigma x sigma y tau xy end bmatrix cdot z mathrm d z nbsp Scheiben Platten Steifigkeitsmatrix BearbeitenDie Scheiben Platten Steifigkeitsmatrix beschreibt das elastische Verhalten des gesamten Laminats Sie setzt sich aus drei Untermatrizen zusammen der Scheibensteifigkeitsmatrix A der Plattensteifigkeitsmatrix D und der Koppelmatrix B die die beiden ersten Matrizen koppelt Scheibensteifigkeitsmatrix Aij Bearbeiten nbsp Schematische Darstellung der Dehnungs Schiebungs Kopplung durch die A 16 displaystyle A 16 nbsp oder A 26 displaystyle A 26 nbsp TermeDie Scheibensteifigkeitsmatrix ergibt sich aus der Parallelschaltung der Scheibensteifigkeiten Q i j displaystyle hat Q ij nbsp aller N displaystyle N nbsp Einzelschichten unidirektionale Schicht unter Gewichtung der Schichtdicke der Einzelschicht A i j k 1 N Q i j k t k displaystyle A ij sum k 1 N hat Q ij k cdot t k nbsp Plattensteifigkeitsmatrix Dij Bearbeiten nbsp Schematische Darstellung der Biege Drill Kopplung durch die D 16 displaystyle D 16 nbsp oder D 26 displaystyle D 26 nbsp TermeDie Plattensteifigkeitsmatrix ergibt sich aus der Parallelschaltung der Biegesteifigkeiten aller Einzelschichten unidirektionale Schicht zuzuglich deren Steiner Anteil D i j k 1 N Q i j k t k t k 2 12 Biegesteifigkeit z k t k 2 2 Steiner Anteil displaystyle D ij sum k 1 N hat Q ij k cdot t k cdot left underbrace frac t k 2 12 text Biegesteifigkeit underbrace left z k frac t k 2 right 2 text Steiner Anteil right nbsp Koppelsteifigkeitsmatrix Bij Bearbeiten nbsp Schematische Darstellung der Dehnungs Krummungs Kopplung durch die B 11 B 12 displaystyle B 11 B 12 nbsp oder B 22 displaystyle B 22 nbsp TermeDie Koppelsteifigkeitsmatrix setzt sich aus den Scheibensteifigkeiten der Einzelschichten gewichtet mit deren statischem Moment zusammen Daraus ergibt sich dass fur symmetrisch geschichtete Laminate die Kopplung zwischen Scheibe und Platte verschwindet Die Kopplung zwischen Dehnungen und Krummungen wird bei Bimetallschaltern ausgenutzt B i j k 1 N Q i j k t k z k t k 2 stat Moment displaystyle B ij sum k 1 N hat Q ij k cdot t k cdot underbrace left z k frac t k 2 right text stat Moment nbsp Interpretation Bearbeiten Zusammengesetzt schreibt sich das Elastizitatsgesetz des Scheiben Platten Elements bezogen auf die Neutralebene Index 0 als n x n y n x y m x m y m x y A 11 A 12 A 16 B 11 B 12 B 16 A 12 A 22 A 26 B 12 B 22 B 26 A 16 A 26 A 66 B 16 B 26 B 66 B 11 B 12 B 16 D 11 D 12 D 16 B 12 B 22 B 16 D 12 D 22 D 26 B 16 B 26 B 66 D 16 D 26 D 66 ϵ x ϵ y g x y k x k y k x y 0 displaystyle begin bmatrix n x n y n xy m x m y m xy end bmatrix begin bmatrix A 11 amp A 12 amp A 16 amp B 11 amp B 12 amp B 16 A 12 amp A 22 amp A 26 amp B 12 amp B 22 amp B 26 A 16 amp A 26 amp A 66 amp B 16 amp B 26 amp B 66 B 11 amp B 12 amp B 16 amp D 11 amp D 12 amp D 16 B 12 amp B 22 amp B 16 amp D 12 amp D 22 amp D 26 B 16 amp B 26 amp B 66 amp D 16 amp D 26 amp D 66 end bmatrix begin bmatrix epsilon x epsilon y gamma xy kappa x kappa y kappa xy end bmatrix 0 nbsp Ausgewahlte Laminate und deren Eigenschaften des Elastizitatsgesetzes UD Schicht orthotrop als Scheibe A 16 A 26 0 displaystyle A 16 A 26 0 nbsp orthotrop als Platte D 16 D 26 0 displaystyle D 16 D 26 0 nbsp keine Scheiben Platten Kopplung B i j 0 displaystyle B ij 0 nbsp UD Schicht ausserhalb der Symmetrieebene anisotrop als Scheibe A 16 A 26 0 displaystyle A 16 A 26 neq 0 nbsp anisotrop als Platte D 16 D 26 0 displaystyle D 16 D 26 neq 0 nbsp Scheiben Platten Kopplung B i j 0 displaystyle B ij neq 0 nbsp ausgeglichener Winkelverbund oder Kreuzverbund orthotrop als Scheibe A 16 A 26 0 displaystyle A 16 A 26 0 nbsp orthotrop als Platte D 16 D 26 0 displaystyle D 16 D 26 0 nbsp Scheiben Platten Kopplung B 11 B 22 0 displaystyle B 11 B 22 neq 0 nbsp ausgeglichener Winkelverbund oder Kreuzverbund symmetrisch geschichtet orthotrop als Scheibe A 16 A 26 0 displaystyle A 16 A 26 0 nbsp anisotrop als Platte D 16 D 26 0 displaystyle D 16 D 26 neq 0 nbsp keine Scheiben Platten Kopplung B i j 0 displaystyle B ij 0 nbsp Die Platten Orthotropie wird aufgrund der fehlenden Wolbungs Drillungs Kopplung auch Wolbungsorthotropie genannt Ingenieurskonstanten Bearbeiten Die Ingenieurskonstanten E x E y G x y n x y displaystyle hat E x hat E y hat G xy hat nu xy nbsp erhalt man aus der inversen Scheiben Platten Steifigkeitsmatrix t g e s displaystyle t ges nbsp stellt dabei die Schichtdicke des Laminates dar A B B T D A B B D 1 displaystyle begin bmatrix bar A amp bar B bar B T amp bar D end bmatrix begin bmatrix A amp B B amp D end bmatrix 1 nbsp E x 1 A 11 t g e s displaystyle hat E x frac 1 bar A 11 t ges nbsp E y 1 A 22 t g e s displaystyle hat E y frac 1 bar A 22 t ges nbsp G x y 1 A 66 t g e s displaystyle hat G xy frac 1 bar A 66 t ges nbsp n y x A 12 A 11 displaystyle hat nu yx frac bar A 12 bar A 11 nbsp Grenzen der Theorie BearbeitenDie Gultigkeitsgrenzen der CLT ergeben sich hauptsachlich aus den Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie siehe Annahmen Fur dicke und gedrungene Platten nimmt die Qualitat der Losung ab Auch sehr schubweiche Schichten unter Querkraftbelastung sollten nicht mit der CLT berechnet werden Grund ist der steigende Anteil der Schubabsenkung gegenuber der Biegeabsenkung der Platte Bei reiner Scheibenbelastung beeinflusst die Scheibendicke die Qualitat der Losung nicht Bei sehr dicken Einzelschichten kann es zu Abweichungen kommen da bei der Scheibenbelastung die Verformung durch den interlaminaren Schub nicht berucksichtigt wird Fur die Praxis ist dies jedoch kaum von Bedeutung da Laminate gewohnlich aus dunnen Einzelschichten bestehen Anwendung in der Finite Elemente Methode BearbeitenDie Ingenieurskonstanten konnen direkt in der Finite Elemente Methode in Kombination mit Volumenelementen benutzt werden um das globale Verhalten eines geschichteten Verbunds zu simulieren Sind die Schichtspannungen von Interesse mussen diese wie in der manuellen CLT Rechnung aus den globalen Dehnungen berechnet werden Die in der FEM berechneten Spannungen stellen die globalen Spannungen des Verbunds dar und entsprechen nicht den Schichtspannungen Die globale Spannung darf nicht direkt in die Schichtspannungen transformiert werden Jedoch sind moderne FEM Programme in der Lage bei geeigneter Modellierung auch die Schichtspannungen auszugeben Hingewiesen wird hier auf die Modellierung einer Sandwichpanel Biegeprobe mittels des FEM Programmes Patran Nastran Das Sandwichpanel besteht aus insgesamt 5 Schichten jeweils 2 Deckschichten Prepreg Lage 1 und Lage 2 der Kernschicht Wabenkern und anschliessend wieder zwei Deckschichten Prepreg die Prepregschichten konnen als Laminat angesehen werden Je nach Modellierungsart kann das Modell als Laminat Variante ausgefuhrt werden Hierzu werden den Shell Elementen Schalenelementen einfach uber das Composite Tool die 2 d orthotropen Elementeigenschaften zugeordnet Bei der Ergebnisausgabe kann dann sowohl die Spannung als auch die Dehnung der Einzelschicht angezeigt werden Bei der Formulierung uber die Ingenieurskonstanten unter Verwendung von 3 dimensionalen Volumenelementen werden weder Schiebe Dehn Kopplungen Anisotropie als Scheibe noch Biege Dehn Kopplungen berucksichtigt Auch die Anisotropie als Platte kann nicht abgebildet werden Es existieren spezielle Schalenelemente die diese Kopplungen berucksichtigen konnen Fur den in der Praxis haufigen Fall der symmetrisch geschichteten ausgeglichenen Laminate Orthotropie ist die Modellierung uber Volumenelemente und Ingenieurskonstanten jedoch zulassig Berechnungsprogramme BearbeitenEs existieren eine Vielzahl von CLT Programmen die zum Teil kostenfrei erhaltlich sind Sie basieren zumeist auf Tabellenkalkulationsprogrammen Teilweise ist eine Datenbank mit Faserhalbzeugen und Matrixsystemen angeschlossen LamiCens kostenfrei 1 ESAComp kommerziell Compositor kommerziell AlfaLam lineares Werkstoffgesetz AlfaLam nl nichtlineares Werkstoffgesetz beide Programme sind kostenfrei 2 eLamX 2 7 Java kostenfrei 3 RF LAMINATE 5 xx kommerziell 4 Literatur BearbeitenJ Wiedemann Leichtbau Band 1 Elemente Springer Verlag Berlin 1986 ISBN 3 5 40164049 H Altenbach J Altenbach R Rikards Einfuhrung in die Mechanik der Laminat und Sandwichtragwerke Deutscher Verlag fur Grundstoffindustrie 1996 ISBN 3 3 42006811 H Altenbach J Altenbach W Kissing Mechanics of Composite Structural Elements 2nd ed Springer Singapore 2018 ISBN 978 981 10 8934 3 H Schurmann Konstruieren mit Faser Kunststoff Verbunden Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 54 072189 5Einzelnachweise Bearbeiten Manfred Flemming Siegfried Roth Faserverbundbauweisen Eigenschaften mechanische konstruktive thermische elektrische okologische wirtschaftliche Aspekte Springer Verlag Berlin Heidelberg 2003 ISBN 978 3 642 55468 1 Die Theorie zur Berechnung dunnwandiger Laminate S 47 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Klassische Laminattheorie amp oldid 239091787