Das Jacobi Verfahren nach Carl Gustav Jacob Jacobi 1846 1 ist ein iteratives Verfahren zur numerischen Berechnung aller Eigenwerte und vektoren kleiner symmetrischer Matrizen Praktikabel wurde das Verfahren mit dem Aufkommen von Computern Die verwendeten Drehmatrizen werden nach Wallace Givens der sich damit Mitte der 1950er Jahre befasste auch Givens Rotation genannt Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Klassisches und zyklische Jacobi Verfahren 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseBeschreibung BearbeitenDa die Ausgangsmatrix A R n n displaystyle A in mathbb R n times n nbsp als symmetrisch vorausgesetzt wird ist sie orthogonal ahnlich zu einer Diagonalmatrix D R n n displaystyle D in mathbb R n times n nbsp D S T A S displaystyle D S T cdot A cdot S nbsp wobei die Diagonale von D displaystyle D nbsp die Eigenwerte l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp von A displaystyle A nbsp enthalt und S displaystyle S nbsp spaltenweise die zugehorigen Eigenvektoren D diag l 1 l n S E l 1 E l n displaystyle D text diag lambda 1 ldots lambda n qquad S lbrace E lambda 1 ldots E lambda n rbrace nbsp Die Idee des Jacobi Verfahrens besteht darin das jeweils betragsgrosste Ausserdiagonalelement mit Hilfe einer Givens Rotation auf 0 zu bringen und sich auf diese Art mehr und mehr einer Diagonalmatrix anzunahern Es ergibt sich die Iterationsvorschrift A 0 A A k 1 R k T A k R k R k T R k 1 T R 0 T S k T A 0 R 0 R k 1 R k S k displaystyle begin array lll A 0 amp amp A A k 1 amp amp R k T A k R k underbrace R k T R k 1 T ldots R 0 T S k T A 0 underbrace R 0 ldots R k 1 R k S k end array nbsp mit R k 1 0 0 0 0 cos f sin f 0 0 sin f cos f 0 0 0 0 1 displaystyle R k begin bmatrix 1 amp cdots amp 0 amp cdots amp 0 amp cdots amp 0 vdots amp ddots amp vdots amp amp vdots amp amp vdots 0 amp cdots amp cos varphi amp cdots amp sin varphi amp cdots amp 0 vdots amp amp vdots amp ddots amp vdots amp amp vdots 0 amp cdots amp sin varphi amp cdots amp cos varphi amp cdots amp 0 vdots amp amp vdots amp amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp cdots amp 0 amp cdots amp 0 amp cdots amp 1 end bmatrix nbsp wobei cos f displaystyle cos varphi nbsp und sin f displaystyle sin varphi nbsp jeweils in der p displaystyle p nbsp ten und q displaystyle q nbsp ten p lt q displaystyle p lt q nbsp Zeile und Spalte stehen und a p q k a i j k 1 i j n i j displaystyle a pq k geq a ij k quad forall 1 leq i j leq n i not j nbsp das betragsgrosste Ausserdiagonalelement von A k displaystyle A k nbsp darstellt Die Komponenten von R k displaystyle R k nbsp ergeben sich nun aus folgender Uberlegung Die Transformation R k T A k R k displaystyle R k T A k R k nbsp bewirkt speziell in den Kreuzungselementen folgende Veranderungen a p p k 1 a p p k cos 2 f 2 a p q k cos f sin f a q q k sin 2 f a q q k 1 a p p k sin 2 f 2 a p q k cos f sin f a q q k cos 2 f a p q k 1 a q p k 1 a p p k a q q k cos f sin f a p q k cos 2 f sin 2 f displaystyle begin array lll a pp k 1 amp amp a pp k cos 2 varphi 2a pq k cos varphi sin varphi a qq k sin 2 varphi a qq k 1 amp amp a pp k sin 2 varphi 2a pq k cos varphi sin varphi a qq k cos 2 varphi a pq k 1 amp amp a qp k 1 a pp k a qq k cos varphi sin varphi a pq k cos 2 varphi sin 2 varphi qquad ast end array nbsp Da a p q k 1 0 displaystyle a pq k 1 0 nbsp sein soll ergibt sich aus 8 a q q k a p p k 2 a p q k cot 2 f 1 tan 2 f 2 tan f displaystyle ast quad Theta frac a qq k a pp k 2a pq k cot 2 varphi frac 1 tan 2 varphi 2 tan varphi nbsp tan f 1 8 sgn 8 1 8 2 8 0 1 8 0 cos f 1 1 tan 2 f sin f tan f cos f displaystyle Rightarrow tan varphi begin cases frac 1 Theta operatorname sgn Theta sqrt 1 Theta 2 amp Theta not 0 1 amp Theta 0 end cases Rightarrow cos varphi frac 1 sqrt 1 tan 2 varphi sin varphi tan varphi cos varphi nbsp Da die Rotationsmatrizen orthogonal sind und Produkte orthogonaler Matrizen wieder orthogonal sind wird auf diese Art eine orthogonale Ahnlichkeitstransformation beschrieben Es lasst sich zeigen dass die Folge der Matrizen A k displaystyle A k nbsp gegen eine Diagonalmatrix konvergiert Diese muss aufgrund der Ahnlichkeit dieselben Eigenwerte besitzen A k k diag l 1 l n displaystyle A k xrightarrow k rightarrow infty text diag lambda 1 ldots lambda n nbsp Klassisches und zyklische Jacobi Verfahren BearbeitenBeim klassischen Jacobi Verfahren wird in jedem Iterationsschritt das betragsmassig grosste Element zu Null gesetzt Da die Suche nach diesem der Hauptaufwand des Algorithmus ist wendet das zyklische Jacobi Verfahren in jedem Iterationsschritt je eine Givensrotation auf jedes Element des strikten oberen Dreiecks an Literatur BearbeitenKaspar Nipp Daniel Stoffer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Ingenieure unter besonderer Berucksichtigung numerischer Aspekte VDF Hochschulverlag AG 2002 ISBN 978 3 7281 2818 8 Abschnitt 10 2 S 222 228 eingeschrankte Online Version Google Books Weblinks BearbeitenWebseite der Fullerton Universitat zum Jacobi Verfahren inklusive einer Linksammlung Einzelnachweise Bearbeiten Jacobi Uber ein leichtes Verfahren die in der Theorie der Sakularstorungen vorkommenden Gleichungen numerisch aufzulosen Crelle s Journal Band 30 1846 S 51 94 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jacobi Verfahren Eigenwerte amp oldid 190195829
