In der geometrischen Gruppentheorie einem Teilgebiet der Mathematik ist der Begriff der hyperbolisch eingebetteten Familien von Untergruppen eine Verallgemeinerung der peripheralen Struktur relativ hyperbolischer Gruppen Definition BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine Gruppe Eine Familie von Untergruppen H l l L displaystyle left H lambda right lambda in Lambda nbsp heisst hyperbolisch eingebettet wenn es eine Teilmenge X G displaystyle X subset G nbsp gibt so dass gilt die Menge X l L H l displaystyle X cup bigcup lambda in Lambda H lambda nbsp ist ein Erzeugendensystem von G displaystyle G nbsp und der zugehorige Cayley Graph G G X H displaystyle Gamma G X sqcup mathcal H nbsp mit der disjunkten Vereinigung H H l displaystyle mathcal H bigsqcup H lambda nbsp ist hyperbolisch und fur jedes l L displaystyle lambda in Lambda nbsp ist H l d l displaystyle H lambda hat d lambda nbsp ein eigentlicher metrischer Raum Dabei ist die Metrik d l displaystyle d lambda nbsp auf H l displaystyle H lambda nbsp definiert als die Lange kurzester Wege in G G X H displaystyle Gamma G X cup mathcal H nbsp die keine Kanten des Cayley Graphen G H l H l displaystyle Gamma H lambda H lambda nbsp enthalten Man sagt in diesem Fall auch dass H displaystyle H nbsp in G X displaystyle G X nbsp hyperbolisch eingebettet ist Beispiele BearbeitenFur jede Gruppe G displaystyle G nbsp ist G displaystyle G nbsp hyperbolisch eingebettet in G displaystyle G nbsp Man kann X displaystyle X emptyset nbsp nehmen Sei G H Z displaystyle G H times mathbb Z nbsp und X 1 displaystyle X left 1 right nbsp ein Erzeuger von Z displaystyle mathbb Z nbsp Dann ist G G X H displaystyle Gamma G X sqcup H nbsp quasi isometrisch zu R displaystyle mathbb R nbsp und deshalb hyperbolisch Jedoch ist d h 1 h 2 3 displaystyle hat d h 1 h 2 leq 3 nbsp fur alle H 1 h 2 H displaystyle H 1 h 2 in H nbsp Wenn H displaystyle H nbsp unendlich ist ist H displaystyle H nbsp damit nicht in G X displaystyle G X nbsp hyperbolisch eingebettet Sei G H Z displaystyle G H mathbb Z nbsp und X 1 displaystyle X left 1 right nbsp ein Erzeuger mit Z displaystyle mathbb Z nbsp Dann ist G G X H displaystyle Gamma G X sqcup H nbsp quasi isometrisch zu einem Baum und d h 1 h 2 displaystyle hat d h 1 h 2 infty nbsp fur alle h 1 h 2 displaystyle h 1 not h 2 nbsp Damit ist H displaystyle H nbsp in G X displaystyle G X nbsp hyperbolisch eingebettet Nach einem Satz von Dahmani Guirardel Osin ist G displaystyle G nbsp genau dann hyperbolisch relativ zu H l l L displaystyle left H lambda right lambda in Lambda nbsp wenn es eine endliche Teilmenge X G displaystyle X subset G nbsp gibt so dass H l l L displaystyle left H lambda right lambda in Lambda nbsp hyperbolisch in G X displaystyle G X nbsp eingebettet ist Literatur BearbeitenF Dahmani V Guirardel D Osin Hyperbolically embedded subgroups and rotating families in groups acting on hyperbolic spaces Mem Amer Math Soc 1156 2016 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperbolisch eingebettete Untergruppe amp oldid 223480879
